《三角函数的诱导公式》提高练习

《三角函数的诱导公式》提高练习 一、填空题 1．已知 ，那么 α 的终边在（ ） A．第一象限 B．第三或第四象限 C．第三象限 D．第四象限 解析： ∴ 终边在第三或第四象限． 答案：B 2．设 cosα=t，则 tan（π－α）等于（ ） A． B．－ C．± D．± 解析：tan（π－α）=－tanα=－ ． ∵cosα=t，又∵sinα=± ，∴tan（π－α）=± ． 答案：C 3．α 是第二象限角，P（x， ）为其终边上一点且 cosα= x，则 x 的值为（ ） A． B．± C．－ D．－ 解析：∵cosα= = = x， ∴x=0（舍去）或 x= （舍去）或 x=－ ． 答案：C 4．角 α 的终边过点 P（－8m，－6cos60°）且 cosα=－ ，则 m 的值是（ ） A． B．－ C．－ D． 解析：P（－8m，－3），cosα= =－ ． sin 0,cos 02 2 α α> < ( )sin 0,cos 0, 2 2 ,2 2 2 2k k k α α απ> < ∴ π + ≤ ≤ π + π ∈Z ( )4 4 2k k kα∴ π + π ≤ ≤ π + π ∈Z α t t 21− t t 21− t t 21− 21 t t − α α cos sin 21 t− t t 21− 5 4 2 3 3 3 2 r x 52 +x x 4 2 3 3 5 4 2 1 2 1 2 3 2 3 964 8 2 + − m m 5 4∴m= 或 m=－ （舍去）． 答案：A 5．设 α、β 是第二象限的角，且 sinα＜sinβ，则下列不等式能成立的是（ ） A．cosα＜cosβ B．tanα＜tanβ C． D． 解析：A 与 D 互斥，B 与 C 等价，则只要判断 A 与 D 对错即可．利用单位圆或特殊值 法，易知选 A． 答案：A 二、填空题 6．若 = ，则 α 的取值范围是_______． 解析：∵ = = ， ∴cosα＞0．∴α∈（2kπ－ ，2kπ+ ）（k∈Z）． 答案：α∈（2kπ－ ，2kπ+ ）（k∈Z） 7．化简 =_________． 解析： = =|sin4－cos4|=sin4－cos4． 答案：sin4－cos4 8．已知 tan110°=a，则 tan50°=_________． 解析：tan50°=tan（110°－60°）= = ． 答案： 9．已知 sinα+cosα= ，那么角 α 是第_______象限的角． 解析：两边平方得 1+2sinαcosα= ， 2 1 2 1 1 1 tan tanα β> 1 1 cos cosα β< α α sin sin1 −1 + α α cos sin1+ α α sin sin1 −1 + |cos| sin1 α α+ α α cos sin1+ 2 π 2 π 2 π 2 π 8sin1− 8sin1− 24cos4sin ）（ − °°+ °−° 60tan110tan1 60tan110tan a a 31 3 + − a a 31 3 + − 5 1 25 1∴sinαcosα=－ ＜0． ∴α 是第二或第四象限角． 答案：第二或第四 三、解答题 10．（1）若 θ 是第二象限的角，则 的符号是什么? （2）π＜α+β＜ ，－π＜α－β＜－ ，求 2α－β 的范围． 剖析：（1）确定符号，关键是确定每个因式的符号，而要分析每个因式的符号，则关 键看角所在象限． （2）可以把 α+β 与 α－β 看成两个变量（整体思想），然后把 2α－β 用这两个变量表示 出来即可． 解：（1）∵2kπ+ ＜θ＜2kπ+π（k∈Z）， ∴－1＜cosθ＜0，4kπ+π＜2θ＜4kπ+2π，－1＜sin2θ＜0． ∴sin（cosθ）＜0，cos（sin2θ）＞0． ∴ ＜0． （2）设 x=α+β，y=α－β，2α－β=mx+ny， 则 2α－β=mα+mβ+nα－nβ=（m+n）α+（m－n）β． ∴ ∴m= ，n= ． ∴2α－β= x+ y． ∵π＜x＜ ，－π＜y＜－ ， ∴ ＜ x＜ ，－ ＜ y＜－ ． ∴－π＜ x+ y＜ ． 11．已知 sinβ= ，sin（α+β）=1，求 sin（2α+β）的值． 剖析：由已知 sin（α+β）=1，则 α+β=2kπ+ ，再将 2α+β 改造成 2（α+β）－β 即可求 25 12 ）（ ）（ θ θ 2sincos cossin 3 π4 3 π 2 π ）（ ）（ θ θ 2sincos cossin    −=− =+ .1 2 nm nm ， 2 1 2 3 2 1 2 3 3 π4 3 π 2 π 2 1 3 π2 2 π3 2 3 2 π 2 1 2 3 6 π 3 1 2 π之． 解：∵sin（α+β）=1，∴α+β=2kπ+ ． ∴sin（2α+β）=sin［2（α+β）－β］=sinβ= ． 评述：整体代入是常用的技巧，这里要分析已知和要求的结论之间的角的关系和三角 函数名称之间的关系． 12．若 sinα·cosα＜0，sinα·tanα＜0， 化简 + ． 解：由所给条件知 α 是第二象限角，则 是第一或第三象限角． 原式= = = 13．化简 （k∈Z）． 解：当 k=2n（n∈Z）时， 原式= = =－1． 当 k=2n+1（n∈Z）时， 原式= = =－1． 综上结论，原式=－1． 14．已知 sinθ= ，cosθ= ，若 θ 是第二象限角，求实数 a 的值． 2 π 3 1 2sin1 2sin1 α α + − 2sin1 2sin1 α α − + 2 α 2sin1 2sin12sin1 2 α αα − ++− |2cos| 2 α      − .22sec2 22sec2 是第三象限角）（ 是第一象限角），（ αα αα [ ] [ ] ）（）（ ）（）（ θθ θθ +⋅− −+⋅++ πcosπsin π1cosπ1sin kk kk ）（）（ ）（）（ θθ θθ +⋅− −+⋅++ π2cosπ2sin ππ2cosππ2sin nn nn θθ θθ cossin cossin ⋅− −⋅− ）（ [ ] [ ] ）（）（ ）（）（ θθ θθ ++⋅−+ −+⋅++ ππ2cosππ2sin π22cosπ22sin nn nn ）（ θθ θθ cossin cossin −⋅ ⋅ a a + − 1 1 a a + − 1 13解：依题意得 解得 a= 或 a=1（舍去）． 故实数 a= ． 15．设 α∈（0， ），试证明：sinα＜α＜tanα． 证明：如下图，在平面直角坐标系中作单位圆，设角 α 以 x 轴正半轴为始边，终边与单 位圆交于 P 点． ∵S△OPA＜S 扇形 OPA＜S△OAT， ∴ |MP|＜ α＜ |AT|． ∴sinα＜α＜tanα． 16．是否存在 α、β，α∈（－ ， ），β∈（0，π）使等式 sin（3π－α）= cos （ －β）， cos（－α）=－ cos（π+β）同时成立?若存在，求出 α、β 的值；若不存在， 请说明理由． 解：由条件得 ①2+②2 得 sin2α+3cos2α=2，∴cos2α= ． ∵α∈（－ ， ）， ∴α= 或 α=－ ． 将 α= 代入②得 cosβ= ．又 β∈（0，π）， ∴β= ，代入①可知，符合．          =+ −++ −