数学试卷（文科）
考生注意：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分.考试时间 120 分钟.
2.请将各题答案填写在答题卡上.
3.本试卷主要考试内容：高考全部内容.
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的.
1.设集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2.已知复数 满足 ，则复数 的虚部是（ ）
A．1 B． C． D．
3.已知向量 ， ， 的夹角为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4.若各项均为正数的等比数列 满足 ，则公比 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5.某单位去年的开支分布的折线图如图 1 所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图 2 所示，
则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为（ ）
{ | ln( 1)}A x y x= = − 2{ | 4 }B x y x= = − A B∩ =
[1,2] [1,2) (1,2] (1,2)
z (1 ) 2z i i+ = z
1− i i−
(4, 3)a = − ( 1,2)b = − ,a b θ sinθ =
1
2
5
5
1
3
2 5
5
{ }na 3 1 23 2a a a= + q =
A． B． C． D．
6.已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
7.若 满足约束条件 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C．5 D．6
8.已知函数 的值域为 ，函数 ，则 的图
象的对称中心为（ ）
A． B．
C． D．
9.过双曲线 的右焦点 作双曲线 的一条弦 ，且 ，若以
为直径的圆经过双曲线 的左顶点，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
10.在三棱锥 中， 平面 ， ， ， ， 为线段 上的动
点.若 C 与底面 所成角为 ，则 与底面 所成角的正切值的最大值为（ ）
6.25% 7.5% 10.25% 31.25%
2
51
3a =
1
32
5b
− = 2
1log 3c =
a b c< < c b a< < b c a< < c a b< <
,x y
0,
2,
1 0,
x y
x y
x
−
+
+
4z x y= +
5− 1−
( ) sin3 ( 0, )f x a x a b a x= − + + > ∈R [ 5,3]− ( ) cosg x b ax= − ( )g x
, 5 ( )4
k k
π − ∈ Z , 5 ( )4 8
k k
π π + − ∈ Z
, 4 ( )5
k k
π − ∈ Z , 4 ( )5 10
k k
π π + − ∈ Z
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
− = > > F C AB 0FA FB+ = AB
C C
2 3 5
P ABC− PA ⊥ ABC 2AB = 3AC = 120BAC∠ = ° D BC
PC ABC 30° PD ABCA． B． C． D．
11.已知定义在 上的函数 满足 ，且在 上是增函数，不等式
对于 恒成立，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12.已知函数 恰有一个极值点为 1，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡中的横线上.
13.等差数列 的前 项和为 ，已知 ， ，则 _____.
14.中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一，《周髀算经》中称直角三角形较短的直角边为勾，另一直
角边为股，斜边为弦，其三边长组成的一组数据成为勾股数.现从 1~5 这 5 个数中随机抽取 3 个不同的数，
则这三个数为勾股数的概率为______.
15.如图，圆锥 的母线长为 ，轴截面 的顶角 ，则过此圆锥的顶点作该圆锥的任意截
面 ，则 面积的最大值是______，此时 ______.（本题第一空 3 分，第二空 2 分）
19
3 19 2 3
R ( )f x ( ) ( )f x f x= − (0, )+∞ 2) ( 1)(f a fx + −
[1,2]x ∈ a
3 , 12
− −
11, 2
− −
1 ,02
− [0,1]
e 2( ) ln
x
f x t x xx x
= − + + t
1 e, 3 3
−∞ ∪
1, 3
−∞
1 e, 2 3
−∞ ∪
1, 2
−∞
{ }na n nS 5 7 2a S+ = 9 18S = 6a =
VO l VAB 150AB∠ = °
VCD VCD△ VCD∠ =16.已知抛物线 的焦点为 ，准线与 轴的交点为 为抛物线 上一点，且 在第一象限，
当 取得最小值时，点 的坐标为______.
三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题，每道试题考生都
必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共 60 分.
17. 的内角 的对边分别为 ，已知 ， .
（1）求 ；
（2）若 ，求 的面积 .
18.《中央广播电视总台 2019 主持人大赛》是中央人民广播电视总台成立后推出的第一个电视大赛，由撒贝
宁担任主持人，康辉、董卿担任点评嘉宾，敬一丹、鲁健、朱迅、俞虹、李洪岩等 17 位担任专业评审.从 2019
年 10 月 26 日起，每周六 20:00 在中央电视台综合频道播出.某传媒大学为了解大学生对主持人大赛的关注
情况，分别在大一和大二两个年级各随机抽取了 100 名大学生进行调查.下图是根据调查结果绘制的学生场
均关注比赛的时间频率分布直方图和频数分布表，并将场均关注比赛的时间不低于 80 分钟的学生称为“赛
迷”.
大二学生场均关注比赛时间的频数分布表
时间分组 频数
12
2: 4C y x= F x ,K P C P
| |
| |
PF
PK P
ABC△ , ,A B C , ,a b c cos sin 0c B b C− = cos cos2A A=
C
2a = ABC△ ABCS△
[0,20)20
24
22
16
6
（1）将频率视为概率，估计哪个年级的大学生是“赛迷”的概率大，请说明理由；
（2）已知抽到的 100 名大一学生中有男生 50 名，其中 10 名为“赛迷”试完成下面的 列联表，并据
此判断是否有 的把握认为“赛迷”与性别有关.
非“赛迷” “赛迷” 合计
男
女
合计
附： ，其中 .
0.15 0.10 0.05 0.025
2.072 2.706 3.841 5.024
19.如图 1，在等腰梯形 中，两腰 ，底边 ， ， 是 的三等分
点， 是 的中点.分别沿 将四边形 和 折起，使 重合于点 ，得到如图
2 所示的几何体.在图 2 中， 分别为 的中点.
[20,40)
[40,60)
[60,80)
[80,100)
[100,120]
2 2×
90%
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + + n a b c d= + + +
( )2
0P K k
0k
1 2ABF F 2 1 2AF BF= = 6AB = 1 2 4F F = ,D C AB
E 1 2F F ,CE DE 1BCEF 2ADEF 2ADEF F
,M N ,CD EF
（1）证明： 平面 .
（2）求几何体 的体积.
20.已知函数 的图象在点 处的切线的斜率为 .
（1）讨论 的单调性；
（2）当 时，证明： .
21.已知 分别为椭圆 的左、右焦点， 为该椭圆的一条垂直于 轴的动弦，直线
与 轴交于点 ，直线 与直线 的交点为 .
（1）证明：点 恒在椭圆 上.
（2）设直线 与椭圆 只有一个公共点 ，直线 与直线 相交于点 ，在平面内是否存在定点 ，使
得 恒成立？若存在，求出该点坐标；若不存在，说明理由.
（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22.[选修 4—4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系 中，曲线 的参数方程 （ 是参数），以原点为极点， 轴的正半轴
为极轴建立极坐标系.
（1）求曲线 的极坐标方程；
MN ⊥ ABCD
ABF DCE−
2( ) lnf x bx a x= + (1, (1))f 2a +
( )f x
e0 2a<
2 22( ) exf x x x
−< +
1 2,F F
2 2
: 14 3
x yC + = MN x
: 4m x = x A 2MF AN B
B C
n C P n m Q T
2PTQ
π∠ =
xOy C
1 1 cos ,4 2
3 1 sin4 2
x
y
α
α
= +
= +
α x
C（2）在曲线 上取一点 ，直线 绕原点 逆时针旋转 ，交曲线 于点 ，求 的最
大值.
23.[选修 4—5：不等式选讲]
已知函数 .
（1）解不等式 ；
（2）若函数 最小值为 ，且 ，求 的最小值.
数学试卷参考答案（文科）
1.C ， ， .
2.A ， 的虚部为 1.
3.B ， .
4.C 因为 ，所以 ，又 ，所以 ，解得 .
5.A 水费开支占总开支的百分比为 .
6.D 因为 ， ， ，所以 .
7.C 画出可行域（图略），由图可知，当直线 经过点 时， 取最大值 5.
8.B 因 为 ， 又 依 题 意 知 的 值 域 为 ， 所 以 ， ， 所 以
. 令 ， 得 ， 则 的 图 象 的 对 称 中 心 为
.
C M OM O 3
π
C N | | | |OM ON⋅
( ) | 2 | | 3|f x x x= + + −
( ) 3 2f x x −
( )f x M 2 3 ( 0, 0)a b M a b+ = > > 1 3
2 1 1a b
++ +
{ | 1}A x x= > { | 2 2}B x x= − { |1 2}A B x x∴ ∩ = <
22 (1 ) 11 1
i iz ii i
+= = = ++ + z∴
10 2 5cos 5| || | 5 5
a b
a b
θ ⋅= = − = −
×
5sin 5
θ =
3 1 23 2a a a= + 2
1 1 13 2a q a a q= + 1 0a ≠ 2 2 3 0q q− − = 3q =
250 20% 6.25%250 450 100
× =+ +
2
51 (0,1)3a = ∈
1 032 2 15 5b
− = > = 2
1log 03c = < c a b< <
4z x y= + (1,1) z
( ) [ ,2 ]f x b a b∈ + ( )f x [ 5,3]− 4a = 5b = −
( ) 5 cos4g x x= − − 4 ( )2x k k
ππ= + ∈Z ( )4 8
kx k
π π= + ∈Z ( )g x
, 5 ( )4 8
k k
π π + − ∈ Z9.C 因为 ，所以 是弦 的中点，且 直于 轴.因为以 为直径的圆经过双曲线 的
左顶点，所以 ，即 ，则 ，故 .
10.A 因为 平面 ， 与底面 所成角为 ，所以 .又 ，所以
.当 时， 与底面 所成角 最大，且 .
由余弦定理得 ，又 ，
解得 ，则 与底面 所成角的正切值的最大值为 .
11.A 由题可知， 的图象关于 轴对称，且 在 上单调递减，由 的图象特征可得
在 上恒成立，得 在 上恒成立，所以 .
12.D 由 题 意 知 函 数 的 定 义 域 为 ，
.
因为 恰有一个极值点为 1，所以 有且只有一个解，即 是它的唯一解，也就是说另一个
方程 无解.令 ，则 ，所以函数 在 上单
调递增，从而 .所以，当 时， 无解， 恰有
一个极值点，所以实数 的取值范围是 .
13.4 ，又 ， ， ， ，
.
0FA FB+ = F AB AB x AB C
2b a ca
= +
2 2c a a ca
− = + c a a− = 2ce a
= =
PA ⊥ ABC PC ABC 30° 30PCA∠ = ° 3AC =
3PA = AD BC⊥ PD ABC PDA∠ tan PAPDA AD
∠ =
14 9 2 2 3 192BC = + − × × × − =
1 3 12 3 192 2 2 AD× × × = × ×
3 3
19
AD = PD ABC
3
193 3
319
=
( )f x y ( )f x ( ,0)−∞ ( )f x
1 2 1ax− + [1,2] 3 1ax x
− − [1,2] 3 12 a− −
( )f x (0, )+∞
( )
2 2 2
( 1) ( 2)( 1) 1 2( ) 1
xx x e t xx ef x tx x x x
− − +− ′ = − + − = 2
( 1)( 2) 2
xex x tx
x
− + − + =
( )f x ( ) 0f x′ = 1x =
02
xe tx
− =+ ( ) ( 0)2
xeg x xx
= >+ 2
( 1)( ) 0( 2)
xx eg x x
+′ = >+ ( )g x (0, )+∞
1( ) (0) 2g x g> = 1
2t 02
xe tx
− =+
2( ) ln
xef x t x xx x
= − + +
t 1, 2
−∞
9 5 59 18 2S a a= = ⇒ = 5 7 2a S+ = 7 0S∴ = 7 4 47 0 0S a a= = ⇒ = 5 4 2d a a∴ = − =
6 5 4a a d∴ = + =14. 从这 5 个数中随机抽取 3 个整数所有基本事件个数为 10，其中的勾股数为 共 1 个，故概率
.
15. ； 设顶角 ，则轴截面 的面积 ，截面 的面积为
.在三角形 和三角形 中， ，所以 .所以当 时， .
因此截面面积的最大值是 ，此时，因为 ，所 .
16. 由题意可得，焦点 ，准线方程为 ，过点 作 垂直于准线， 为垂足
.当 取得最小值时， 取得最大值，
，
当且仅当 ，即 时，等号成立，此时 的坐标为 .
17.解：（1）由 ，可得 ，
所以 .
因为 ，所以 ，
1
10 (3,4,5)
1
10P =
21
2 l 45° CVD α∠ = VAB 2 21 1sin1502 4S l l= =° VCD
2
1
1 sin2S l α= VAB VCD CD AB 150α ° 90α = ° 2
1
1
2S l=
21
2 l VC VD= ( )1 180 90 452VCD = ° =°− °
(1,2) (1,0)F 1x = − P PM M
| | | | cos 0| | | | 2
PF PM PKF PKFPK PK
π = = ∠ ∠
(0.0025 0.010) 20 100 25+ × × =
100 25 75− =
2 2×合计 75 25 100
则 ，
因为 ，所以没有 的把握认为“赛迷”与性别有关.
19.（1）证明：连接 ，由图 1 知，四边形 为菱形，且 ，
所以 是正三角形，从而 .
同理可证， ，
所以 平面 ，
又 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，
所以平面 平面 .
易知 ，且 为 的中点，所以 ，
所以 平面 .
（2）解：由（1）可知，几何体 为三棱柱，它的体积与以 为底面，以 为高的三棱
柱的体积相等.
因为 ， ，
所以 ，
所以 .
2
2 100 (40 15 35 10) 4 1.33375 25 50 50 3K
× × − ×= = ≈× × ×
1.333 2.706< 90%
,CF DN BCEF 60CEF∠ = °
CEF△ CN EF⊥
DN EF⊥
EF ⊥ CDN
EF BC BC ⊥ CDN
BC ⊂ ABCD
CDN ⊥ ABCD
CN DN= M CD MN CD⊥
MN ⊥ ABCD
ABF DCE− CDN△ EF
2 22 1 3CN DN= = − = 2MN =
1 2 2 22CDNS = × × =△
2 2 2 2ABF CDE CDNV S EF− = ⋅ = × =△20.（1）解： ，则 ，
解得 ， .
当 时， ， 在 上单调递增.
当 时，令 得 ；令 ，得 .
所以 在 上单调递增，在 上单调递减.
（2）证明：要证 ，只要证 ，
令 ，则 ，
当 时，得 ；当 时，得 .
所以 .
令 ，则 .
当 时，得 ；当 时，得 .
所以 .
因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，即 得证.
21.（1）证明：由题意知 ， ，设 ， ，则 .
( ) 2 af x bx x
′ = + (1) 2 2f b a a′ = + = +
1b =
22( ) 2 ( 0)a x af x x xx x
+′ = + = >
0a ( ) 0f x′ > ( )f x (0, )+∞
0a < ( ) 0f x′ >
2
ax > − ( ) 0f x′ < 0 2
ax< < −
( )f x ,2
a − +∞
0, 2
a −
2 22( ) xf x x ex
−< +
2
2
ln 2 xa x e
x x
−
<
ln( ) 0 2
a x eg x ax
= 0 x e< < ( ) 0g x′ < x e>
max( ) ( ) ag x g e e
= =
2
2
2( ) ( 0)
xeh x xx
−
= >
2
3
2 ( 2)( )
xe xh x x
− −′ =
( ) 0h x′ ≥ 2x > ( ) 0h x′ < 0 2x< <
min
1( ) (2) 2h x h= =
0 2
ea< max
1( ) 2
ag x e
=
2e ≠
2
2
ln 2 xa x e
x x
−
< 2 22( ) xf x x ex
−< +
2 (1,0)F (4,0)A ( , )M s t ( , )V s t−
2 2
14 3
s t+ =直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
联立可得 ， ，即 的坐标为 .
因为 ，
所以 点恒在椭圆 上.
（2）解：当直线 的斜率不存在时，不符合题意.不妨设直线 的方程为 ，由对称性可知，若平
面内存在定点 ，使得 恒成立，则 一定在 轴上，故设 ，
由 可得 .
因为直线 与椭圆 只有一个公共点，
所以 ，
所以 ， .
又因为 ， ，所以 ，
即 .
所以 对于任意的满足 的 恒成立，
所以 解得 .
故在平面内存在定点 ，使得 恒成立.
2MF ( 1)1
ty xs
= −− AN ( 4)4
ty xs
−= −−
5 8
2 5B
sx s
−= −
3
2 5B
ty s
= − B 5 8 3,2 5 2 5
s t
s s
− − −
2 2 2 2 2 2
2 2
(5 8) 12 (5 8) 36 9 14 3 4(2 5) 4(2 5)
B Bx y s t s s
s s
− + − + −+ = = =− −
B C
n n y kx b= +
T 2PTQ
π∠ = T x ( )0,0T x
2 2
,
1,4 3
y kx b
x y
= + + =
( )2 2 24 3 8 4 12 0k x kbx b+ + + − =
n C
( )( ) ( )2 2 2 2 2 264 4 4 3 4 12 48 4 3 0k b k b k b∆ = − + − = − + =
4
P
kx b
= − 3
P Py kx b b
= + =
(4,4 )Q k b+
2PTQ
π∠ = ( )0 0
4 3, 4 ,4 0kTP TQ x x k bb b
⋅ = − − ⋅ − + =
( )0 0
4 3(4 )4 0k k bx xb b
+ + − + =
( )2
0 0 04 3 4 4 0kx x xb
− + + − = 2 24 3 0k b− + = ,k b
0
2
0 0
4 4 0
4 3 0
x
x x
− =
− + =
，
， 0 1x =
(1,0)T 2PTQ
π∠ =22.解：（1）由 消去 得曲线 的普通方程为 .
所以 的极坐标方程为 ，
即 .
（2）不妨设 ， ， ， ， ，
则 ，
当 时， 取得最大值，最大值为 .
23.解：（1）当 时， ，即 ，无解；
当 时， ，即 ，得 ；
当 时， ，即 ，得 .
故所求不等式的解集为 .
（2）因为 ，
所以 ，则 ，
.
1 1 cos4 2
3 1 sin ,4 2
x
y
α
α
= +
= +
,
α C 2 2 1 3 02 2x y x y+ − − =
C 3 1sin cos2 2
ρ θ θ= +
sin 6
πρ θ = +
( )1,M ρ θ 2, 3N
πρ θ + 1 0ρ > 2 0ρ > [0,2 )θ π∈
1 2
1 1| | | | sin sin sin 26 6 3 2 6 4OM ON
π π π πρ ρ θ θ θ ⋅ = = + ⋅ + + = + +
6
πθ = | | | |OM ON⋅ 3
4
2x < − 2 3 3 2x x x− − − + −
3
5x
2 3x− 2 3 3 2x x x+ − + −
7
3 x
7 33 x
3x > 2 3 3 2x x x+ + − − 1x ≥ 3x >
7 ,3
+∞
( ) | 2 | | 3| |( 2) ( 3) | 5f x x x x x= + + − + − − =
2 3 5( 0, 0)a b a b+ = > > 2 1 3( 1) 9a b+ + + =
1 3 1 1 3 1 3( 1) 3(2 1) 16[2 1 3( 1)] 102 1 1 9 2 1 1 9 2 1 1 9
b aa ba b a b a b
+ + + = + + + + = + + + + + + + + 当且仅当 即 时取等号.
故 的最小值为 .
2 1 1,
2 3 5,
0, 0,
a b
a b
a b
+ = +
+ =
> >
5,8
5
4
a
b
=
=
1 3
2 1 1a b
++ +
16
9
微信/支付宝扫码支付