2020年四川省达州市渠县崇德实验学校中考数学一模试卷解析版

2020 年四川省达州市渠县崇德实验学校中考数学一模试卷 一．选择题（共 9 小题） 1．新冠病毒（2019﹣nCoV）是一种新的 Sarbecovirus 亚属的 β 冠状病毒，它是一类具有囊 膜的正链单股 RNA 病毒，其遗传物质是所有 RNA 病毒中最大的，也是自然界广泛存在 的一大类病毒．其粒子形状并不规则，直径约 60﹣220nm，平均直径为 100nm（纳 米）．1 米＝109 纳米，100nm 可以表示为（　　）米． A．0.1×10﹣6 B．10×10﹣8 C．1×10﹣7 D．1×1011 2．图 1 是数学家皮亚特•海恩（PietHein）发明的索玛立方块，它由四个及四个以内大小相 同的立方体以面相连接构成的不规则形状组件组成．图 2 不可能是下面哪个组件的视图 （　　） A． B． C． D． 3．有理数 a、b、c 在数轴上的对应点的位置如图所示，则下面结论正确的是（　　） A．|a|＞4 B．a+c＞0 C．c﹣b＞0 D．ac＞0 4．5G 网络是第五代移动通信网络，它将推动我国数字经济发展迈上新台阶．据预测，2020 年到 2030 年中国 5G 直接经济产出和间接经济产出的情况如图所示，根据图提供的信息， 下列推断不合理的是（　　）A．2030 年 5G 间接经济产出比 5G 直接经济产出多 4.2 万亿元 B．2020 年到 2030 年，5G 直接经济产出和 5G 间接经济产出都是逐年增长 C．2030 年 5G 直接经济产出约为 2020 年 5G 直接经济产出的 13 倍 D．2022 年到 2023 年与 2023 年到 2024 年 5G 间接经济产出的增长率相同 5．数学中有一些命题的特征是：原命题是真命题，但它的逆命题却是假命题．例如：如果 a ＞2，那么 a2＞4．下列命题中，具有以上特征的命题是（　　） A．两直线平行，同位角相等 B．如果|a|＝1，那么 a＝1 C．全等三角形的对应角相等 D．如果 x＞y，那么 mx＞my 6．随机从三男一女四名学生的学号中抽取两个人的学号，被抽中的两人性别不同的概率为 （　　） A． B． C． D． 7．某学习小组做抛掷一枚纪念币的实验，整理同学们获得的实验数据，如下表． 抛掷次 数 50 100 200 500 1000 2000 3000 4000 5000 “正面 向上” 的次数 19 38 68 168 349 707 1069 1400 1747 “正面 向上” 0.3800 0.3800 0.3400 0.3360 0.3490 0.3535 0.3563 0.3500 0.3494的频率 下面有三个推断： ①通过上述实验的结果，可以推断这枚纪念币有很大的可能性不是质地均匀的； ②如果再次做此实验，仍按上表抛掷的次数统计数据，那么在数据表中，“正面向上”的 频率有更大的可能仍会在 0.35 附近摆动； ③在用频率估计概率时，用实验 5000 次时的频率 0.3494 一定比用实验 4000 次时的频率 0.3500 更准确． 其中正确的是（　　） A．①③ B．①② C．②③ D．①②③ 8．如图，在等腰 Rt△ABC 中，∠C＝90°，直角边 AC 长与正方形 MNPQ 的边长均为 2cm， CA 与 MN 在直线 l 上．开始时 A 点与 M 点重合；让△ABC 向右平移；直到 C 点与 N 点 重合时为止．设△ABC 与正方形 MNPQ 重叠部分（图中阴影部分）的面积为 ycm2，MA 的长度为 xcm，则 y 与 x 之间的函数关系大致是（　　） A． B． C． D． 9．某市组织全民健身活动，有 100 名男选手参加由跑、跳、投等 10 个田径项目组成的“十 项全能”比赛，其中 25 名选手的一百米跑成绩排名，跳远成绩排名与 10 项总成绩排名 情况如图所示．甲、乙、丙表示三名男选手，下面有 3 个推断： ①甲的一百米跑成绩排名比 10 项总成绩排名靠前； ②乙的一百米跑成绩排名比 10 项总成绩排名靠后； ③丙的一百米跑成绩排名比跳远成绩排名靠前． 其中合理的是（　　） A．① B．② C．①② D．①③ 二．填空题（共 8 小题） 10．若代数式 的值为 0，则实数 x 的值为　 　． 11．分解因式：3a2+6a+3＝　 　． 12．25 的算术平方根是　 　． 13．一个多边形的内角和是外角和的 2 倍，则这个多边形的边数为　 　． 14．如果 m＝3n，那么代数式 的值是　 　． 15．如图所示，已知 Rt△ABC 中，∠B＝90°，BC＝4，AB＝4，现将△ABC 沿 BC 方向平 移到△A′B′C′的位置．若平移的距离为 3，则△ABC 与△A′B′C′重叠部分的阴影 面积为　 　． 16．如图，利用三角尺和直尺可以准确的画出直线 AB∥CD，下面是某位同学弄乱了顺序的 操作步骤： ①沿三角尺的边作出直线 CD； ②用直尺紧靠三角尺的另一条边； ③作直线 AB，并用三角尺的一条边贴住直线 AB；④沿直尺下移三角尺；正确的操作顺序应是：　 　． 17．如图是在浦东陆家嘴明代陆深古墓中发掘出来的宝玉﹣﹣明白玉幻方．其背面有方框四 行十六格，为四阶幻方（从 1 到 16，一共十六个数目，它们的纵列、横行与两条对角线 上 4 个数相加之和均为 34）．小明探究后发现，这个四阶幻方中的数满足下面规律：在四 阶幻方中，当数 a，b，c，d 有如图 1 的位置关系时，均有 a+b＝c+d＝17．如图 2，已知 此幻方中的一些数，则 x 的值为　 　． 三．解答题（共 10 小题） 18．计算：4cos30°+（π﹣1）0﹣ +| ﹣2|． 19．解不等式组： ． 20．已知：关于 x 的方程 mx2﹣3（m+1）x+2m+3＝0（m≠0）． （1）若方程有两个相等的实数根，求 m 的值； （2）求此方程的两个根（若所求方程的根不是常数，就用含 m 的式子表示）； （3）若 m 为整数，当 m 取何值时方程的两个根均为正整数？ 21．如图，四边形 ABCD 是矩形，点 E 在线段 CB 的延长线上，连接 DE 交 AB 于点 F，∠AED ＝2∠CED，点 G 是 DF 的中点． （1）求证：AE＝AG； （2）若 BE＝2，BF＝1，AG＝5，点 H 是 AD 的中点，求 GH 的长．22．某次数学竞赛中有 5 道选择题，每题 1 分，每道题在 A、B、C 三个选项中，只有一个 是正确的．下表是甲、乙、丙、丁四位同学每道题填涂的答案和这 5 道题的得分： 第一题 第二题 第三题 第四题 第五题 得分 甲 C C A B B 4 乙 C C B B C 3 丙 B C C B B 2 丁 B C C B A 　 　 （1）则丁同学的得分是　 　； （2）如果有一个同学得了 1 分，他的答案可能是　 　（写出一种即可） 23．如图，E 为半圆 O 直径 AB 上一动点，AB＝6，C 为半圆上一定点，连接 AC 和 BC，AD 平分∠CAB 交 BC 于点 D，连接 CE 和 DE． 小红根据学习函数经验，分别对线段 AE，CE，DE 的长度之间的关系进行了探究． 下面是小红的探究过程，请将它补充完整： （1）对于点 E 在直径 AB 上的不同位置，画图，测量，得到了线段 AE，CE，DE 的长度 的几组值，如下表： 位置 1 位置 2 位置 3 位置 4 位置 5 位置 6 位置 7 CE/cm 2.50 2.28 2.50 3.00 3.72 4.64 5.44 DE/cm 2.98 2.29 1.69 1.69 2.18 3.05 3.84 AE/cm 0.00 0.87 2.11 3.02 4.00 5.12 6.00 在 AE，CE，DE 的长度这三个量中，确定　 　长度是自变量，自变量的取值范围是　 　；（2）在同一平面直角坐标系 xOy 中，画出（1）中所确定函数的图象； （3）结合函数的图象，解决问题：当△ACE 为等腰三角形时，AE 的长度约为　 　cm （结果精确到 0.01）． 24．在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l：y＝kx+b（k≠0）与直线 y＝kx（k≠0）平行，与直 线 y＝3 相交于点 A（3，3）． （1）求 k 和 b 的关系式； （2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记直线 l：y＝kx+b、y＝kx、y＝3 与 x 轴构成 的封闭区域（不含边界）为 W． ①当 k＝2 时，结合函数图象，求区域 W 内的整点个数； ②若区域 W 内恰有 2 个整点，直接写出 k 的取值范围． 25．在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）与 y 轴交于点 A，将点 A 向 右平移 1 个单位长度，得到点 B．直线 y＝ x﹣3 与 x 轴，y 轴分别交于点 C，D． （1）求抛物线的对称轴； （2）若点 A 与点 D 关于 x 轴对称， ①求点 B 的坐标； ②若抛物线与线段 BC 恰有一个公共点，结合函数图象，求 a 的取值范围． 26．在△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，点 M 是线段 BC 的中点，点 N 在射线 MB 上，连接 AN，平移△ABN，使点 N 移动到点 M，得到△DEM（点 D 与点 A 对应，点 E 与点 B 对应），DM 交 AC 于点 P． （1）若点 N 是线段 MB 的中点，如图 1．①依题意补全图 1； ②求 DP 的长； （2）若点 N 在线段 MB 的延长线上，射线 DM 与射线 AB 交于点 Q，若 MQ＝DP，求 CE 的长． 27．在平面直角坐标系 xOy 中，⊙O 的半径为 r（r＞0）．给出如下定义：若平面上一点 P 到圆心 O 的距离 d，满足 r，则称点 P 为⊙O 的“随心点”． （1）当⊙O 的半径 r＝2 时，A（4，0），B（0，3），C（ ，﹣ ），D（﹣ ，﹣2）中， ⊙O 的“随心点”是　 　； （2）若点 E（6，8）是⊙O 的“随心点”，求⊙O 的半径 r 的取值范围； （3）当⊙O 的半径 r＝4 时，直线 y＝﹣x+b（b≠0）与 x 轴交于点 M，与 y 轴交于点 N， 若线段 MN 上存在⊙O 的“随心点”，直接写出 b 的取值范围　 　．参考答案与试题解析 一．选择题（共 9 小题） 1．新冠病毒（2019﹣nCoV）是一种新的 Sarbecovirus 亚属的 β 冠状病毒，它是一类具有囊 膜的正链单股 RNA 病毒，其遗传物质是所有 RNA 病毒中最大的，也是自然界广泛存在 的一大类病毒．其粒子形状并不规则，直径约 60﹣220nm，平均直径为 100nm（纳 米）．1 米＝109 纳米，100nm 可以表示为（　　）米． A．0.1×10﹣6 B．10×10﹣8 C．1×10﹣7 D．1×1011 【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a×10﹣n，与较 大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的 数字前面的 0 的个数所决定． 【解答】解：100nm＝100×10﹣9m ＝1×10﹣7m． 故选：C． 2．图 1 是数学家皮亚特•海恩（PietHein）发明的索玛立方块，它由四个及四个以内大小相 同的立方体以面相连接构成的不规则形状组件组成．图 2 不可能是下面哪个组件的视图 （　　） A． B． C． D． 【分析】依次分析所给几何体从正面看及从左面看得到的图形是否与所给图形一致即 可．【解答】解：A、主视图和左视图从左往右 2 列正方形的个数均依次为 2，1，符合所给 图形； B、主视图和左视图从左往右 2 列正方形的个数均依次为 2，1，符合所给图形； C、主视图左往右 2 列正方形的个数均依次为 1，1，不符合所给图形； D、主视图和左视图从左往右 2 列正方形的个数均依次为 2，1，符合所给图形． 故选：C． 3．有理数 a、b、c 在数轴上的对应点的位置如图所示，则下面结论正确的是（　　） A．|a|＞4 B．a+c＞0 C．c﹣b＞0 D．ac＞0 【分析】根据点在数轴上的位置，先确定 a、b、c 的正负，再依据加减法、乘法法则逐 个判断． 【解答】解：由数轴上 a 的位置知，a＜b＜0＜c，|a|＜|c|＜|b| ∵a 离开原点的距离小于 4，故选项 A 错误； ∵a＜0＜c，|a|＞|c|， ∴a+c＜0，故选项 B 错误； ∵b＜0＜c， ∴c﹣b＞0，故选项 C 正确； 因为 a＜0，c＞0， 所以 ac＜0．故选项 D 错误． 故选：C． 4．5G 网络是第五代移动通信网络，它将推动我国数字经济发展迈上新台阶．据预测，2020 年到 2030 年中国 5G 直接经济产出和间接经济产出的情况如图所示，根据图提供的信息， 下列推断不合理的是（　　）A．2030 年 5G 间接经济产出比 5G 直接经济产出多 4.2 万亿元 B．2020 年到 2030 年，5G 直接经济产出和 5G 间接经济产出都是逐年增长 C．2030 年 5G 直接经济产出约为 2020 年 5G 直接经济产出的 13 倍 D．2022 年到 2023 年与 2023 年到 2024 年 5G 间接经济产出的增长率相同 【分析】折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点 用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化． 【解答】解：根据折线统计图，可知 A.2030 年 5G 间接经济产出比 5G 直接经济产出多 10.6﹣6.4＝4.2（万亿元），故此项正确； B.2020 年到 2030 年，5G 直接经济产出和 5G 间接经济产出都是逐年增长，故此项正确； C.2030 年 5G 直接经济产出约为 2020 年 5G 直接经济产出 6.4 万亿元÷0.5 万亿元≈13 倍，故此项正确； D.2022 年到 2023 年间接经济产出的增长率：（5﹣4）÷4＝25%，2023 年到 2024 年 5G 间接经济产出的增长率（6﹣5）÷5＝20%，故此项推断不合理． 故选：D． 5．数学中有一些命题的特征是：原命题是真命题，但它的逆命题却是假命题．例如：如果 a ＞2，那么 a2＞4．下列命题中，具有以上特征的命题是（　　） A．两直线平行，同位角相等 B．如果|a|＝1，那么 a＝1 C．全等三角形的对应角相等 D．如果 x＞y，那么 mx＞my 【分析】分别判断原命题和其逆命题的真假后即可确定正确的选项． 【解答】解：A、原命题正确，逆命题为同位角相等，两直线平行，正确，为真命题，不符合题意； B、原命题错误，是假命题；逆命题为如果 a＝1，那么|a|＝1，正确，是真命题，不符合 题意； C、原命题正确，是真命题；逆命题为：对应角相等的三角形全等，错误，是假命题，符 合题意； D、当 m＝0 时原命题错误，是假命题，不符合题意， 故选：C． 6．随机从三男一女四名学生的学号中抽取两个人的学号，被抽中的两人性别不同的概率为 （　　） A． B． C． D． 【分析】列举出所有情况，看性别不同的情况数占总情况数的多少即可． 【解答】解： ∵从中任意选出两人，共有 12 种情况，其中两人性别不同的共有 6 种情况， ∴性别不同的可能性是 ． 故选：D． 7．某学习小组做抛掷一枚纪念币的实验，整理同学们获得的实验数据，如下表． 抛掷次 数 50 100 200 500 1000 2000 3000 4000 5000 “正面 向上” 的次数 19 38 68 168 349 707 1069 1400 1747 “正面 向上” 的频率 0.3800 0.3800 0.3400 0.3360 0.3490 0.3535 0.3563 0.3500 0.3494 下面有三个推断： ①通过上述实验的结果，可以推断这枚纪念币有很大的可能性不是质地均匀的；②如果再次做此实验，仍按上表抛掷的次数统计数据，那么在数据表中，“正面向上”的 频率有更大的可能仍会在 0.35 附近摆动； ③在用频率估计概率时，用实验 5000 次时的频率 0.3494 一定比用实验 4000 次时的频率 0.3500 更准确． 其中正确的是（　　） A．①③ B．①② C．②③ D．①②③ 【分析】根据图表和各个小题的说法可以判断是否正确，从而可以解答本题． 【解答】解：①通过上述实验的结果，因为正面向上的概率小于 0.5 可以推断这枚纪念 币有很大的可能性不是质地均匀的，正确， ②如果再次做此实验，仍按上表抛掷的次数统计数据，那么在数据表中，“正面向上”的 频率有更大的可能仍会在 0.35 附近摆动，正确； ③在用频率估计概率时，用实验 5000 次时的频率 0.3494 一定比用实验 4000 次时的频率 0.3500 更准确，错误； 正确的有①② 故选：B． 8．如图，在等腰 Rt△ABC 中，∠C＝90°，直角边 AC 长与正方形 MNPQ 的边长均为 2cm， CA 与 MN 在直线 l 上．开始时 A 点与 M 点重合；让△ABC 向右平移；直到 C 点与 N 点 重合时为止．设△ABC 与正方形 MNPQ 重叠部分（图中阴影部分）的面积为 ycm2，MA 的长度为 xcm，则 y 与 x 之间的函数关系大致是（　　） A． B．C． D． 【分析】根据动点的运动过程确定每段阴影部分与 x 的关系类型，根据函数的性质确定 选项． 【解答】解：当 x≤2cm 时，重合部分是边长为 x 的等腰直角三角形， 面积为：y＝ x2， 是一个开口向上的二次函数； 当 x＞2 时， 重合部分是直角梯形， 面积为：y＝8﹣ （x﹣2）2， 是一个开口向下的二次函数． 故选：C． 9．某市组织全民健身活动，有 100 名男选手参加由跑、跳、投等 10 个田径项目组成的“十 项全能”比赛，其中 25 名选手的一百米跑成绩排名，跳远成绩排名与 10 项总成绩排名 情况如图所示． 甲、乙、丙表示三名男选手，下面有 3 个推断： ①甲的一百米跑成绩排名比 10 项总成绩排名靠前； ②乙的一百米跑成绩排名比 10 项总成绩排名靠后； ③丙的一百米跑成绩排名比跳远成绩排名靠前． 其中合理的是（　　） A．① B．② C．①② D．①③【分析】解决本题需要从由统计图获取信息，由此关键是明确图表中数据的来源及所表 示的意义，依据所示的实际意义获取正确的信息． 【解答】解：由折线统计图可知： ①甲的一百米跑成绩排名比 10 项总成绩排名靠前；结论正确； ②乙的一百米跑成绩排名比 10 项总成绩排名靠前；故原说法错误； ③由图 2 中 10 项总成绩的位置可知丙的一百米跑成绩排名比跳远成绩排名靠前；结论正 确． 所以合理的是①③． 故选：D． 二．填空题（共 8 小题） 10．若代数式 的值为 0，则实数 x 的值为　x＝1　． 【分析】分式的值为零，分子等于零． 【解答】解：依题意得： ， 所以 x﹣1＝0， 解得 x＝1． 故答案是：x＝1． 11．分解因式：3a2+6a+3＝　3（a+1）2　． 【分析】先提取公因式 3，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解． 【解答】解：3a2+6a+3， ＝3（a2+2a+1）， ＝3（a+1）2． 故答案为：3（a+1）2． 12．25 的算术平方根是　5　． 【分析】根据算术平方根的定义即可求出结果，算术平方根只有一个正根． 【解答】解：∵52＝25， ∴25 的算术平方根是 5． 故答案为：5． 13．一个多边形的内角和是外角和的 2 倍，则这个多边形的边数为　6　． 【分析】利用多边形的外角和以及多边形的内角和定理即可解决问题．【解答】解：∵多边形的外角和是 360 度，多边形的内角和是外角和的 2 倍， 则内角和是 720 度， 720÷180+2＝6， ∴这个多边形的边数为 6． 故答案为：6． 14．如果 m＝3n，那么代数式 的值是　4　． 【分析】根据分式的运算法则即可求出答案． 【解答】解：当 m＝3n 时， 原式＝ • ＝ ＝ ＝4 故答案为：4 15．如图所示，已知 Rt△ABC 中，∠B＝90°，BC＝4，AB＝4，现将△ABC 沿 BC 方向平 移到△A′B′C′的位置．若平移的距离为 3，则△ABC 与△A′B′C′重叠部分的阴影 面积为　 　． 【分析】依据平移的性质即可得出△B'OC 是等腰直角三角形，再根据利用三角形面积公 式可求重叠部分的阴影面积． 【解答】解：∵∠B＝90°，BC＝4，AB＝4， ∴△ABC 是等腰直角三角形， ∴∠ACB＝45°， ∵△A′B′C′是△ABC 平移得到的， ∴△ABC≌△A′B′C′， ∴∠B＝∠A′B′C′＝90°， ∴∠B'OC＝45°，∴△B'OC 是等腰直角三角形， ∵B'C＝BC﹣BB′＝4﹣3＝1， ∴S△B'OC＝ ×1×1＝ ，即 S 阴影＝ ， 故答案为： ． 16．如图，利用三角尺和直尺可以准确的画出直线 AB∥CD，下面是某位同学弄乱了顺序的 操作步骤： ①沿三角尺的边作出直线 CD； ②用直尺紧靠三角尺的另一条边； ③作直线 AB，并用三角尺的一条边贴住直线 AB； ④沿直尺下移三角尺；正确的操作顺序应是：　③②④①　． 【分析】根据同位角相等两直线平行判断即可． 【解答】解：正确的操作步骤是③②④①． 故答案我③②④①． 17．如图是在浦东陆家嘴明代陆深古墓中发掘出来的宝玉﹣﹣明白玉幻方．其背面有方框四 行十六格，为四阶幻方（从 1 到 16，一共十六个数目，它们的纵列、横行与两条对角线 上 4 个数相加之和均为 34）．小明探究后发现，这个四阶幻方中的数满足下面规律：在四 阶幻方中，当数 a，b，c，d 有如图 1 的位置关系时，均有 a+b＝c+d＝17．如图 2，已知 此幻方中的一些数，则 x 的值为　1　．【分析】根据小明的发现，将四阶幻方分解为三阶幻方进行研究，右图中给出数据，在 实线的三阶区域内有 y 右下角对应的是 17﹣y，在虚线的三阶区域内，2 对应右下角的数 是 15，再根据每列和是 34，即可求解； 【解答】解：如图，根据小明的发现，在实线的三阶区域内有 y 右下角对应的是 17﹣y， 在虚线的三阶区域内，2 对应右下角的数是 15， 在第四列中，四个数分别是 x，x+y，17﹣y，15， ∴x+x+y+17﹣y+15＝34， ∴x＝1； 故答案为 1． 三．解答题（共 10 小题） 18．计算：4cos30°+（π﹣1）0﹣ +| ﹣2|． 【分析】首先计算乘方、开方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值 是多少即可． 【解答】解：4cos30°+（π﹣1）0﹣ +| ﹣2|＝4× +1﹣2 +2﹣ ＝2 +3﹣3 ＝3﹣ 19．解不等式组： ． 【分析】先求出不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出即可． 【解答】解： 解不等式①得：x≤2， 解不等式②得：x＜﹣2， ∴不等式组的解集为 x＜﹣2． 20．已知：关于 x 的方程 mx2﹣3（m+1）x+2m+3＝0（m≠0）． （1）若方程有两个相等的实数根，求 m 的值； （2）求此方程的两个根（若所求方程的根不是常数，就用含 m 的式子表示）； （3）若 m 为整数，当 m 取何值时方程的两个根均为正整数？ 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式△＝0，即可得出关于 m 的一元二次方程， 解之即可得出 m 的值； （2）利用因式分解法解一元二次方程，即可得出结论； （3）根据（2）的结论结合方程的两个根均为正整数，即可得出 的值，解之即可得出 m 的值． 【解答】解：（1）∵方程有两个相等的实数根， ∴△＝[﹣3（m+1）]2﹣4m（2m+3）＝0， ∴（m+3）2＝0， ∴m1＝m2＝﹣3． （2）∵mx2﹣3（m+1）x+2m+3＝0，即[mx﹣（2m+3）]（x﹣1）＝0， 解得：x1＝1，x2＝ ． （3）∵x1＝1、x2＝ ＝2+ 均为正整数，且 m 为整数， ∴ ＝1、﹣1 或 3．当 ＝1 时，m＝3， 当 ＝﹣1 时，m＝﹣3， 当 ＝3 时，m＝1． ∴当 m 取 1、3 或﹣3 时，方程的两个根均为正整数． 21．如图，四边形 ABCD 是矩形，点 E 在线段 CB 的延长线上，连接 DE 交 AB 于点 F，∠AED ＝2∠CED，点 G 是 DF 的中点． （1）求证：AE＝AG； （2）若 BE＝2，BF＝1，AG＝5，点 H 是 AD 的中点，求 GH 的长． 【分析】（1）先由矩形的性质得对边平行及∠BAD＝90°，再由平行线的性质及直角三 角形的斜边中线性质得∠CED＝∠ADB 和∠ADB＝∠GAD，利用三角形的外角性质及∠ AED＝2∠CED，可得∠AGE＝∠AED，从而证得结论； （2）由（1）中结论 AE＝AG 及 AG＝5 可得 AE 的长；再在 Rt△ABE 中，由勾股定理求 得 AB 的长；然后由 AF＝AB﹣BF，求得 AF 的长；最后由三角形的中位线定理可求得 GH 的长． 【解答】解：（1）证明：∵四边形 ABCD 是矩形 ∴AD∥BC，∠BAD＝90° ∴∠CED＝∠ADB 又∵点 G 是 DF 的中点 ∴GA＝GD ∴∠ADB＝∠GAD ∴∠AGE＝2∠CED 又∵∠AED＝2∠CED ∴∠AGE＝∠AED ∴AE＝AG； （2）∵AE＝AG，AG＝5∴AE＝5 又∵在 Rt△ABE 中，BE＝2， ∴AB＝ ＝ ∵BF＝1 ∴AF＝AB﹣BF＝ ﹣1 ∵G 是 DF 中点，H 是 AD 中点 ∴GH＝ AF＝ ． 22．某次数学竞赛中有 5 道选择题，每题 1 分，每道题在 A、B、C 三个选项中，只有一个 是正确的．下表是甲、乙、丙、丁四位同学每道题填涂的答案和这 5 道题的得分： 第一题 第二题 第三题 第四题 第五题 得分 甲 C C A B B 4 乙 C C B B C 3 丙 B C C B B 2 丁 B C C B A 　3　 （1）则丁同学的得分是　3　； （2）如果有一个同学得了 1 分，他的答案可能是　CACCC　（写出一种即可） 【分析】（1）分甲从第 1 题到第 5 题依次错一道，进而得出其余四道的正确选项，再根 据乙，丙的选项和得分判断，进而得出甲具体选错的题号，即可得出结论； （2）由（1）先得出五道题的正确选项，然后留一个正确，其他都错误即可得出结论． 【解答】解：（1）当甲选错了第 1 题，那么，其余四道全对， 针对于乙来看，第 1，3，5 道错了，做对两道，此时，得分为 2，而乙得分 3，所以，此 种情况不符合题意， 当甲选错了第 2 题，那么其余四道全对， 针对于乙来看，第 2，3，5 道错了，做对 2 道，此时，得分为 2 分，而乙得分 3 分，所 以，此种情况不符合题意，当甲选错第 3 题时，那么其余四道都对， 针对于乙来看，第 5 道错了，而乙的得分是 3 分，所以，乙只能做对 3 道，即：第 3 题 乙也选错，即：第 3 题的选项 C 正确， 针对于丙来看，第 1，5 题错了，做对 3 道，此时，丙的得分为 3 分，而乙的地方为 2 分， 所以，此种情况不符合题意， 当甲选错第 4 题，那么其余四道都对， 针对于乙来看，第 3，4，5 道错了，做对了 2 道，此时，得分 2 分，而乙的得分为 3 分， 所以，此种情况不符合题意， 当甲选错第 5 题，那么其余四道都对， 针对于乙来看，第 3 道错了，而乙的得分为 3 分，所以，乙只能做对 3 道，所以，乙第 5 题也错了，所以，第 5 题的选项 A 是正确的， 针对于丙来看，第 1，3，5 题错了，做对了 2 道，得分 2 分， 针对于丁来看，第 3，5 题错了，做对了 3 道，得分 3 分， 故答案为 3； （2）由（1）知，五道题的正确选项分别是：CCABA， 如果有一个同学得了 1 分，那么，只选对 1 道， 即：他的答案可能是 CACCC 或 CBCCC 或 CABAB 或 BBBBB 等， 故答案为：CACCC 或 BBBBB（答案不唯一） 23．如图，E 为半圆 O 直径 AB 上一动点，AB＝6，C 为半圆上一定点，连接 AC 和 BC，AD 平分∠CAB 交 BC 于点 D，连接 CE 和 DE． 小红根据学习函数经验，分别对线段 AE，CE，DE 的长度之间的关系进行了探究． 下面是小红的探究过程，请将它补充完整：（1）对于点 E 在直径 AB 上的不同位置，画图，测量，得到了线段 AE，CE，DE 的长度 的几组值，如下表： 位置 1 位置 2 位置 3 位置 4 位置 5 位置 6 位置 7 CE/cm 2.50 2.28 2.50 3.00 3.72 4.64 5.44 DE/cm 2.98 2.29 1.69 1.69 2.18 3.05 3.84 AE/cm 0.00 0.87 2.11 3.02 4.00 5.12 6.00 在 AE，CE，DE 的长度这三个量中，确定　AE　长度是自变量，自变量的取值范围是　0 ≤AE≤6　； （2）在同一平面直角坐标系 xOy 中，画出（1）中所确定函数的图象； （3）结合函数的图象，解决问题：当△ACE 为等腰三角形时，AE 的长度约为　2.11 或 3 或 2.50　cm（结果精确到 0.01）． 【分析】（1）根据题意确定 AE 为自变量，根据 AB 的长确定自变量的取值范围． （2）利用描点法画出函数图象即可． （3）分三种情形：CA＝CE，AE＝EC，AE＝AC 利用图象法解决问题即可． 【解答】解：（1）确定 AE 为自变量，0≤AE≤6， 故答案为 AE，0≤AE≤6． （2）函数 yCE，yDE 如图所示．（3）观察图象可知：当 AC＝CE 时，AE＝x＝2.11， 当 AE＝EC 时，x＝3．（图中直线 y＝x 与函数 yCE 的交点） 当 AE＝AC＝2.50 时，也满足条件． 综上所述，满足条件的 AE 的值为 2.11 或 3 或 2.50． 24．在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l：y＝kx+b（k≠0）与直线 y＝kx（k≠0）平行，与直 线 y＝3 相交于点 A（3，3）． （1）求 k 和 b 的关系式； （2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记直线 l：y＝kx+b、y＝kx、y＝3 与 x 轴构成 的封闭区域（不含边界）为 W． ①当 k＝2 时，结合函数图象，求区域 W 内的整点个数； ②若区域 W 内恰有 2 个整点，直接写出 k 的取值范围． 【分析】（1）根据题意列方程即可得到结论； （2）①当 k＝2 时，得到 b＝3﹣3k＝﹣3，求得直线 l：y＝2x﹣3（k≠0）与直线 y＝2x 与 x 轴的交点为（ ，0），（0，0），与直线 y＝3 的交点为（3，3），（ ，3）于是得到结 论； ②当直线 y＝kx（k≠0）经过（2，2）时，此时求得直线的解析式为 y＝x，得到直线 l 的 解析式也为 y＝x，此时区域 W 内没有整点，由①知，当区域 W 内恰有 2 个整点时，k＝ 2，于是得到结论．【解答】解：（1）直线 l：y＝kx+b（k≠0）与直线 y＝3 相交于点 A（3，3）． ∴3k+b＝3， ∴b＝3﹣3k； （2）①当 k＝2 时，则 b＝3﹣3k＝﹣3， ∴直线 l：y＝2x﹣3（k≠0）与直线 y＝2x 平行，与 x 轴的交点为（ ，0），（0，0）， 与直线 y＝3 的交点为（3，3），（ ，3） 在 W 区域内有 2 个整数点：（1，1），（2，2）； ②当直线 y＝kx（k≠0）经过（2，2）时，此时，直线的解析式为 y＝x， ∵直线 l：y＝kx+b（k≠0）与直线 y＝kx（k≠0）平行且经过点 A（3，3）． ∴直线 l 的解析式也为 y＝x， 此时区域 W 内没有整点， 由①知，当区域 W 内恰有 2 个整点时，k＝2， 综上所述，若区域 W 内恰有 2 个整点，k 的取值范围为：1＜k≤2． 25．在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）与 y 轴交于点 A，将点 A 向 右平移 1 个单位长度，得到点 B．直线 y＝ x﹣3 与 x 轴，y 轴分别交于点 C，D． （1）求抛物线的对称轴； （2）若点 A 与点 D 关于 x 轴对称， ①求点 B 的坐标； ②若抛物线与线段 BC 恰有一个公共点，结合函数图象，求 a 的取值范围． 【分析】（1）抛物线的对称轴为：x＝﹣ ＝﹣ ＝1； （2）①点 C 的坐标为（4，0），点 A 的坐标为（0，﹣3），即可求解；②分 a＞0、a＜0 两种情况，分别求解即可． 【解答】解：（1）抛物线的对称轴为：x＝﹣ ＝﹣ ＝1； （2）①∵直线 y＝ x﹣3 与 x 轴，y 轴分别交于点 C，D． ∴点 C 的坐标为（4，0），点 D 的坐标为（0，﹣3）． ∵抛物线与 y 轴的交点 A 与点 D 关于 x 轴对称，∴点 A 的坐标为（0，3）． ∵将点 A 向右平移 1 个单位长度，得到点 B， ∴点 B 的坐标为（1，3）； ②抛物线顶点为 P（1，3﹣a）． （ⅰ）当 a＞0 时，如图 1． 令 x＝4，得 y＝16a﹣8a+3＝8a+3＞0， 即点 C（5，0）总在抛物线上的点 E（4，8a+3）的下方． ∵yP＜yB， ∴点 B（1，3）总在抛物线顶点 P 的上方， 结合函数图象，可知当 a＞0 时，抛物线与线段 CB 恰有一个公共点． （ⅱ）当 a＜0 时，如图 2． 当抛物线过点 C（4，0）时，16a﹣8a+3＝0，解得 a＝﹣ ． 结合函数图象，可得 a≤﹣ ． 综上所述，a 的取值范围是：a≤﹣ 或 a＞0 26．在△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，点 M 是线段 BC 的中点，点 N 在射线 MB 上，连接 AN，平移△ABN，使点 N 移动到点 M，得到△DEM（点 D 与点 A 对应，点 E 与点 B 对应），DM 交 AC 于点 P． （1）若点 N 是线段 MB 的中点，如图 1． ①依题意补全图 1； ②求 DP 的长； （2）若点 N 在线段 MB 的延长线上，射线 DM 与射线 AB 交于点 Q，若 MQ＝DP，求 CE 的长． 【分析】（1）利用平移的性质画出图形，再利用相似得出比例式，即可求出线段 DP 的 长． （2）根据条件 MQ＝DP，利用平行四边形的性质和相似三角形的性质，求出 BN 的长即 可解决． 【解答】解：（1）①如图 1，补全图形：②连接 AD，如图 1． 在 Rt△ABN 中， ∵∠B＝90°，AB＝4，BN＝1， ∴AN＝ ， ∵线段 AN 平移得到线段 DM， ∴DM＝AN＝ ， 由平移可得，AD＝NM＝1，AD∥MC， ∴△ADP∽△CMP． ∴ ＝ ＝ ， ∴DP＝ DM＝ ； （2）如图 2，连接 NQ， 由平移知：AN∥DM，且 AN＝DM．∵MQ＝DP， ∴PQ＝DM． ∴AN∥PQ，且 AN＝PQ． ∴四边形 ANQP 是平行四边形． ∴NQ∥AP． ∴∠BQN＝∠BAC＝45°． 又∵∠NBQ＝∠ABC＝90°， ∴BN＝BQ． ∵AN∥MQ， ∴ ＝ ． 又∵M 是 BC 的中点，且 AB＝BC＝4， ∴ ＝ ． ∴NB＝2 （负值已舍去）． ∴ME＝BN＝2 ． ∴CE＝2 ﹣2． 27．在平面直角坐标系 xOy 中，⊙O 的半径为 r（r＞0）．给出如下定义：若平面上一点 P 到圆心 O 的距离 d，满足 r，则称点 P 为⊙O 的“随心点”． （1）当⊙O 的半径 r＝2 时，A（4，0），B（0，3），C（ ，﹣ ），D（﹣ ，﹣2）中， ⊙O 的“随心点”是　B、D　； （2）若点 E（6，8）是⊙O 的“随心点”，求⊙O 的半径 r 的取值范围； （3）当⊙O 的半径 r＝4 时，直线 y＝﹣x+b（b≠0）与 x 轴交于点 M，与 y 轴交于点 N， 若线段 MN 上存在⊙O 的“随心点”，直接写出 b 的取值范围　2≤b≤6 或﹣6 ≤b≤ ﹣2　．【分析】（1）分别判断 A、B、C、D 四个点到圆心 O 的距离是否符合规定即可． （2）先算出 OE 长度，再根据“随心点“的定义列出不等式组解出 r 的取值范围． （3）r 已知，因此先算出 r 和 r 的值，由解析式 y＝﹣x+b 可得 M、N 坐标，由于直线 y＝x 与 y＝﹣x+b 垂直，故联立两直线方程可解出交点 P 的坐标，然后用两点间的距离公 式可得 OP 长度（注意 b 的符号未知，表示长度应加绝对值符号），线段 MN 上存在“随 心点“，则意味着 OM≥2 且 OP≤6，列出不等式组即可解出 b 的取值范围． 【解答】解：（1）∵r＝2， ∴ r＝1， r＝3， ∵A（4，0）， ∴OA＝4＞3， ∴A 不是“随心点”； ∵B（0，3）， ∴OB＝3， ∴B 是“随心点”； ∵C（ ，﹣ ）， ∴OC＝ ＝ ＜1， ∴C 不是“随心点”； ∵D（﹣ ，﹣2）， ∴OD＝ ＝ ， ∴D 是“随心点”； 综上所述，⊙O 的“随心点”是 B、D． 故答案为：B、D；（2）∵E（6，8）， ∴OE＝ ＝10， 因为 E 是⊙O 的“随心点”， ∴ r≤OE≤ r，即 r≤10≤ r， 解得 ≤r≤20． （3）∵r＝4， ∴ r＝2， r＝6， 直线 y＝﹣x+b（b≠0）与 x 轴交于点 M，与 y 轴交于点 N， ∴M（b，0），N（0，b）， 过点 O 且与直线 y＝﹣x+b 垂直的直线解析式为 y＝x， 联立方程组： ，解得： ∴直线 y＝﹣x+b 与直线 y＝x 交点坐标为 P（ ， ）， ∴OP＝ ， ∵线段 MN 上存在⊙O 的随心点， ∴ ， 解得 2≤b≤6 或﹣6 ≤b≤﹣2．