数学试题（第 1 页 共 5 页）
准考证号 姓名 .
（在此卷上答题无效）
秘密★启用前
福州市 2020 届高三毕业班适应性练习卷
数学（文科）试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ
卷 3 至 5 页．满分 150 分．
注意事项：
1. 答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．考
生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、
姓名是否一致．
2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．第Ⅱ卷用 0.5 毫米黑色签字笔
在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．
3. 考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合 ,|2 4Axyxy， ,| 10Bxyxy ，则 A B
A． B． 2,1 C． 2,1 D． 1, 2
2. 已知复数 z 满足 6, 25zz zz ，则 z
A．34i B． 34i C． 43i D． 43i
3. 已知 12,ee均为单位向量，若 12 3ee ，则 1e 与 2e 的夹角为
A．30 B． 60 C．120 D．150
4. 函数 335xfx x的零点所在的区间为
A． 0,1 B． 31, 2
C． 3 ,22
D． 52, 2
5. 班主任要从甲、乙、丙、丁、戊 5 个人中随机抽取 3 个人参加活动，则甲、乙同时被
抽到的概率为
A． 1
10 B． 1
5 C． 3
10 D． 2
5 数学试题（第 2 页 共 5 页）
6. 若 tan 2sin，则 cos 2
A． 1
4 B．1 C． 1
2 或 0 D． 1
2 或 1
7. 已知平面 平面 ，直线 , lm ，则“ ml ”是“ m ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8. 已知过点0,1 的直线与抛物线 2 4x y 交于 11 2 2,, ,Ax y Bx y 两点，若 12
9
4yy，
则 AB
A． 25
4 B．17
4 C．13
4 D． 9
4
9. 某校开设了素描、摄影、剪纸、书法四门选修课，要求每位同学都要选择其中的两门
课程．已知甲同学选了素描，乙与甲没有相同的课程，丙与甲恰有一门课程相同，丁
与丙没有相同课程．则以下说法错误．．的是
A．丙有可能没有选素描 B．丁有可能没有选素描
C．乙丁可能两门课都相同 D．这四个人里恰有 2 个人选素描
10. 定义在 R 上的奇函数 f x 满足 2f xfx ，且当 10x ≤ ＜ 时， 21xfx，
则 2log 20f
A． 1
4 B． 1
5 C． 1
5 D． 1
4
11. 已知函数 sin cosf xxx，将 f x 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 1
2
倍，纵
坐标保持不变，得到函数 y gx 的图象．若 122gx gx ，则 12||x x 的最小值
为
A． π
2 B． π C． 2π D． 4π
12. 已知双曲线
22
22:1xyC ab（ 0, 0ab＞ ＞ ）的一条渐近线方程为 20xy ， ,A B 分别
是C 的左、右顶点，M 是C 上异于 ,A B 的动点，直线 ,MAMB的斜率分别为 12,kk，若
112k≤≤，则 2k 的取值范围为
A． 11,84
B． 11,42
C． 11,48
D． 11,24
数学试题（第 3 页 共 5 页）
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中的横线上．
13. 若实数 x，y 满足约束条件
2,
220,
10,
y
xy
xy
≥
≥
≤
则 2zxy的最大值为 ．
14. ABC△ 的内角 ,,ABC的对边分别为 ,,abc，若 cos cos 2aBbAac，则 a ．
15. 勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的曲线，它是由德国机械工程专家、机构运动
学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，
以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边
三角形就是勒洛三角形．如图中的两个勒洛三角形，它们所对
应的等边三角形的边长比为1:3，若从大的勒洛三角形中随机
取一点，则此点取自小勒洛三角形内的概率为______．
16. 在三棱锥 PABC 中，PA 底面 ABC ， ,6,8AB AC AB AC，D 是线段 AC 上一
点，且 3AD DC ．三棱锥 PABC 的各个顶点都在球O 表面上，过点 D 作球O 的截
面，则所得截面圆的面积的最小值为 ．
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第
17～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要
求作答．
（一）必考题：共 60 分．
17. （本小题满分 12 分）
已知数列na 满足 1 1a ， 1 11nnna n a n n ，设 n
n
ab n ．
（1）求数列nb 的通项公式；
（2）若 2 nb
ncn，求数列nc 的前 n 项和．
18. （本小题满分 12 分）
如图，四棱柱 111 1ABCD A B C D 的底面为菱形， AC BD O ．
（1）证明： 1BC∥平面 1ABD；
（2）设 AB 1 2,AA 3BAD ，若 1AO 平面 ABCD ，
求三棱锥 11BABD 的体积． A
B
C
D
1A
1B 1C
1D
O
数学试题（第 4 页 共 5 页）
19. （本小题满分 12 分）
世界互联网大会是由中国倡导并每年在浙江省嘉兴市桐乡乌镇举办的世界性互联网
盛会，大会旨在搭建中国与世界互联互通的国际平台和国际互联网共享共治的中国平台，
让各国在争议中求共识、在共识中谋合作、在合作中创共赢．2019 年 10 月 20 日至 22 日，
第六届世界互联网大会如期举行，为了大会顺利召开，组委会特招募了 1 000 名志愿者．某
部门为了了解志愿者的基本情况，调查了其中 100 名志愿者的年龄，得到了他们年龄的中
位数为 34 岁，年龄在[40,45) 岁内的人数为 15，并根据调查结果画出如图所示的频率分布
直方图：
（1）求 m ，n 的值并估算出志愿者的平均年龄（同一组的数据用该组区间的中点值代
表）；
（2）这次大会志愿者主要通过现场报名和登录大会官网报名，即现场和网络两种方式
报名调查．这 100 位志愿者的报名方式部分数据如下表所示，完善下面的表格，通过计算
说明能否在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下，认为“选择哪种报名方式与性别有关系”？
男性 女性 总计
现场报名 50
网络报名 31
总计 50
参考公式及数据：
2
2 ()
()()()()
nad bcK abcdacbd
，其中 nabcd.
2
0P Kk 0.05 0.01 0.005 0.001
0k 3.841 6.635 7.879 10.828
频率/组距
年龄/岁 20 25 30 35 40 45 50
0.010
0.020
2m
2n
O数学试题（第 5 页 共 5 页）
20. （本小题满分 12 分）
已知 22ln 3fx x x x ax．
（1）当 1a 时，求曲线 y fx 在 1x 处的切线方程；
（2）若存在 0
1 ,eex
，使得 0 0fx≥ 成立，求 a 的取值范围．
21. （本小题满分 12 分）
已知椭圆
22
22:1xyC ab(0ab＞ ＞ )的离心率为 6
3
，以C 的短轴为直径的圆与直线
:3 4 5 0lx y相切．
（1）求C 的方程；
（2）直线 yxm 交椭圆C 于 11,M xy ， 22,Nx y 两点，且 12x x＞ ．已知l 上存
在点 P ，使得 PMN△ 是以 PMN 为顶角的等腰直角三角形．若 P 在直线 MN 右下方，
求 m 的值．
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22，23 两题中任选一题作答．如果多做，则按所
做第一个题目计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．
22.（本小题满分 10 分）选修 44 ：坐标系与参数方程
已知直角坐标系 xOy 中，曲线 1C 的参数方程为 3,x t
yt
（t 为参数）．以 O 为极点，
x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 2C 的极坐标方程为 2 12cos ．
（1）写出 1C 的普通方程和 2C 的直角坐标方程；
（2）设点 P 为 2C 上的任意一点，求 P 到 1C 距离的取值范围．
23.（本小题满分 10 分）选修 45 ：不等式选讲
已知 0, 0, 0abc＞ ＞ ＞ ，且 2abc ．
（1）求 2abc的取值范围；
（2）求证： 14918abc≥ ．
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