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1 2020 年 3 月五校联考高二数学试卷 一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分． 1.在空间直角坐标系中，点 与点 （ ） A. 关于 平面对称 B. 关于 平面对称 C. 关于 平面对称 D. 关于 轴对称 2.复数 等于（ ） A. B. C. D. 3.圆 与圆 的位置关系是（ ） A. 相交 B. 内切 C. 外切 D. 相离 4.“ ”是“ ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5.已知 ， 是两条不同 直线， ， 是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ） A 若 ， ， ，则 B. 若 ，则 C. 若 ， ，则 D. 若平面 内有不共线的三点到平面 的距离相等，则 6.若푓(푥) = 푥푐표푠 푥 ，则푓′(휋 2) = （ ） A. 휋 2 B. - π 2 C. 1 D. - 1 7.如图，在空间四边形 中， ， ， ， ，则异面直线 与 所成角的大小是（ ） A. B. C. D. 8.经过坐标原点 的直线 与曲线 相切于点 .若 ，则 的 . 3 1 i i − − i21+ 1 2i− 2 i+ 2 i− m n α β m α⊥ n β⊥ α β∥ nm // αα //,// nm α β∥ m α⊥ β//m α β∥ α β α β∥2 A. B. C. D. 9.已知椭圆 的右焦点是 ， 为坐标原点，若椭圆上存在一点 ，使 是等腰直角三角形，则椭圆的离心率不可能为（ ） A. B. C. D. 10.在正方体 中， 分别为线段 、 上的动点，设直线 与平面 、 平面 所成角分别是 ，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题（前四题每题 6 分，后三题每题 4 分满分 36 分） 11.已知直线 ： ，若 的倾斜角为 ，则实数 _______；若直线 与直线 垂直，则实数 _______． 12.已知函数 ，则 在 处的切线方程为_________；单调递减区间是 _______． 13.某空间几何体的三视图如图所示，已知俯视图是一个边长为 2 的 正方形，侧视图是等腰直角三角形，则该几何体的最长的棱的长度 为_______；该几何体的体积为______． 14.已知抛物线 ： ，则其准线方程为_______；过抛物线 焦点 的直线与抛物线相交于 两点，若 ，则 _______. 15.若函数푓(푥) = 푥3 + 푎푥2 + 푥 +1 存在极值，则实数푎 的取值范围是 . 16.过双曲线 ： 的左焦点 作圆 的切线，设切点为 ，延长 交抛物线 ： 于点 ，其中 有一个共同的焦点，若 ，则双 曲线 的离心率为_______. 17.已知矩形 ， ， ，现将 沿对角线 向上翻折，若翻折过程中3 的长度在 范围内变化，则点 的运动轨迹的长度是_______. 三、解答题（本答题共 5 小题，共 74 分） 18.（14 分）（1）求直线 y＝x 被圆 x2＋(y－2)2＝4 截得的弦长； （2）已知圆 ： ，求过点 圆的切线方程． 19.（15 分）已知函数푓(푥) = 푥3 + 푎푥2 + 푏푥 +1 在푥 = ―1 与푥 = 2 处有极值. （1）求函数푓(푥) 的解析式； （2）求푓(푥) 在[ ― 2,3] 上的最值. 19.（15 分）如图所示，在长方体 中， 为 的中点，连接 和 . （1）求证：平面 平面 ； （2）求二面角 的正切值． 的C 2 2 4 3 0x y x+ − + = (3,2)M 1 1 1 1ABCD A B C D− 12, 1,AB BB BC E= = = 1 1D C , ,ED EC EB DB EDB ⊥ EBC E DB C− −4 21.（15 分）已知函数푓(푥) = 푙푛푥 + 푎(푥2 ― 1) . （1）讨论函数푓(푥) 的单调性； （2）当 时，证明 . 22.（15 分）如图，点 在抛物线 外，过点 作抛物线 的两切线，设两 切点分别为 ， ，记线段 的中点为 . （Ⅰ）求切线 ， 的方程； （Ⅱ）证明：线段 的中点 在抛物线 上； （Ⅲ）设点 为圆 上的点，当 取最大值时， 求点 的纵坐标. ),1[2 1 +∞∈−= xea ， xexxf )1()( −≤ 0 0( , )P x y 2: =C y x P C 2 1 1( , )A x x 2 2 2( , )B x x AB M PA PB PM N C P 2 2: ( 2) 1D x y+ + = AB PM P