宁夏大学附属中学2020高三第一次模拟考试数学（文）

高三数学（文）第一次模拟试卷 1 / 6 绝密★启用前 2020 年普通高等学校招生全国统一考试 数学（文）能力测试试题卷 ( 宁大附中第一次模拟考试 ) 命题人：田进仁 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第 22～23 题为选考题， 其它题为必考题。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。考试结束后，将本试 卷和答题卡一并交回。 注意事项： 1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、 准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。 2．选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答 案使用 0.5 毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3．考生必须按照题号在答题卡各题号相对应的答题区域内(黑色线框)作答,写在草稿纸上、超出答 题区域或非题号对应的答题区域的答案一律无效。 4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。 5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。 第 I 卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的． 1、设集合 ， , ,则集合 2、设复数 满足 ，则 A． B． C． D． 3、已知数列 为等比数列，前 项的和为 ，且 ， ，则 A.4 B.27 C.8 D. 或 4、若中心在原点，焦点在 轴上的双曲线离心率为 ，则此双曲线的渐近线方程为 A． B． C． D． 5、函数 的图象大致是 A． B． C． D． 6、2020 年春节突如其来的新型冠状病毒肺炎在湖北爆发，一方有难八方支援，全国各地的白衣天 使走上战场的第一线，某医院抽调甲乙丙三名医生，抽调 三名护士支援武汉第一医院与 第二医院，参加武汉疫情狙击战.其中选一名护士与一名医生去第一医院，其它都在第二医院工 作，则医生甲和护士 被选为第一医院工作的概率为 { }5,4,3,1=A { }4,3,2=B { }2,1=C ( ) =∪∩ CBA { }2.A { }2,1.B { }4,3,2,1.C { }5,4,3,2,1.D z (1 ) 2i z i+ = z = 1 i− 1 i− − 1 i+ 1 i− + { }na n nS 1 1a = 3 7S = 4a = 8 27− y 3 y x= ± 2 2y x= ± 2y x= ± 1 2y x= ± 2sin2 xy x= − , ,A B C A高三数学（文）第一次模拟试卷 2 / 6 A. B. C. D. 7、空气质量指数 是反映空气质量状况的指数， 指数值越小，表明空气质量越好，其对 应关系如表： 指数值 空气质量 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 如图是某市 10 月 1 日—20 日 指数变化趋势： 下列叙述正确的是 A．该市 10 月的前半个月的空气质量越来越好 B．这 20 天中的中度污染及以上的天数占 C．这 20 天中 指数值的中位数略高于 100 D．总体来说，该市 10 月上旬的空气质量比中旬的空气质量差 8.设 是直线, 是两个不同的平面,则下列命题正确的是 A.若 则 B.若 则 C.若 则 D.若 则 9、已知函数 的图象向右平移 单位，再把横坐标缩小到原来的一半， 得到函数 ，则关于函数 的结论正确的是 A.最小正周期为 B.关于 对称 C.最大值为 1 D.关于 对称 10、已知在等边三角形 中， ， 为 的中线，以 为轴将 折起，得到三棱 锥 ，使得 ，则三棱锥 的外接球的表面积为 A. B. C. D. 11、已知离心率为 的双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，M 是双 曲线 C 的一条渐近线上的点，且 ，O 为坐标原点，若 ，则 A．4 B．8 C．16 D．32 12、函数 ，若方程 有 4 个不同的实根，则 的取值范围为 A. B. C. D. 二、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 13、在等差数列 中，前 项和 满足 ,则 ________ 1 12 1 6 1 5 1 9 AQI AQI AQI 50≤ (50,100] (100,150] (150,200] ](200 300， 300> AQI 1 2 AQI l βα、 ，，∥ βα ⊥ll βα ⊥ ，∥，∥ βα ll βα ∥ ，， αβα ⊥⊥ l β⊥l ，∥， αβα l⊥ β⊥l 2π( ) sin( )sin cos3f x x x x= + + π 6 ( )g x ( )g x π π 6x = π( 0)24 , ABC∆ 2AB = AD BC AD ABD∆ A BCD− 90BDC∠ = ° A BCD− 2π 4π 5π 7π 5 2 2 2 2 2 1( 0, 0)x yC a ba b − = > >： 1F 2F 2OM MF⊥ 2 16OMFS =  =a 1 0 ( ) 1( ) 02 x x x f x x  − ≥=  2x = − F x A B , C 5 2BF AB= F AB _______. ABC∆ CBA ,, cba ,, ( ) .233 22 acbca −=− Bcos 5,3 == ba      + 62sin π A P ABC− PA ⊥ ABCD AD BC∥ 3AB AD AC= = = 4PA BC= = M AD 2AM MD= N PC MN∥ PAB N BCM− 2020 120 11:13 30 15 2 2× 99%高三数学（文）第一次模拟试卷 4 / 6 名学生，作线上学习的经验介绍，求其中抽取一名男生与一名女生的概率. 参考公式：附： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.842 5.024 6.635 7.879 10.828 20、（12 分）已知椭圆 的离心率为 ，点 在椭圆上. （1）求椭圆方程； （2）已知直线 与椭圆较于 两点，点 ，且 ， 求实数 的值. 21、（12 分）已知函数 . （1）当函数 在 内有且只有一个极值点，求实数 的取值范围; （2）若函数 有两个不同的极值点 ，求证： （二） 选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题 计分。 21、[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分） 在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 ，（ 为参数， 为常数），以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 . （1）当直线 与曲线 相切时，求出常数 的值; （2）当 为曲线 上的点，求出 的最大值. 22、[选修 4-5：不等式选讲]（10 分） 已知函数 ( ). （1）当 时，解不等式 ; （2）若方程 有两个不同的实数根，求实数 的取值范围. 一、选择题 1-5CADBC 6-10DCABC 11-12 BA ( ) ( )( )( )( ) 2 2 = n ad bcK a b a d b c c d − + + + + ( )2P K k> ( )012 2 2 2 >>=+ bab y a x 3 6       3 3,22M mxy += 2 BA, ( )0,22的坐标为P 1−=• PBPA m 21( ) ln ( )2f x x ax x a= − + ∈R ( )f x (1 3) , a ( )f x 1 2x x , 1 2 3 152 ( ) 2ln 24f x x − ≤ − − xoy l 4 5 3 15 x t a y t  = −  = + t a O x C 2 2 6 2 cos ρ θ= + l C a ( )x y , C 2 3x y+ ( ) 3 6 1f x x x ax= − + + − a ∈R 1a = ( ) 10f x ≥ ( ) 0f x = a高三数学（文）第一次模拟试卷 5 / 6 【解析】根据函数的图象可知，方程 有四个不 同的实根，设 ，则 有两个不同的正根， 满足 ，可得实数 的取值范围为 ． 故选 A. 二、填空题 13、9 14、 15、 16、 三、解答题 17、 （1） （2） 18、 19、 【解析】（1）完成 列联表， 满意 不满意 总计 男生 30 25 55 女生 50 15 65 合计 80 40 120 ---------------4 分 根据列联表中的数据，得到 ， 所以有 的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”. ---------------6 分 （2）由（1）可知男生抽 3 人，女生抽 5 人， 可设男生分为 ， ， ， 女生分为 ， ， ， ， ，可知所有的可能情况为： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，---------------10 分 共有 28 组，其中一男生一女生情况有 15 组，所求的概率为 ，故所求的概率为 .---------------12 分 20、 （1） （2）-3 21、 【解析】（1）函数 的定义域为 ， . 设 ，函数 在 内有且只有一个零点， 满足 ，可得 ， 解得 或 ， 故求得实数 的取值范围为 .---------------4 分 （2）证明：函数 的定义域为 ， . 设 ，可知 有两个根 ， ， 满足 ，--------------- 6 分 2 ( ) ( ) 1 0f x af x− + = ( )f x t= 2 1 0t at− + = 2 1 2 1 2 4 0 0 2 1 0 a t t a a t t ∆ = − >  = > ⇒ >  + = > a (2 )+ ∞ , 19 12 7 35 4 3 2 10 334 + 53 4 2 2× 2 2 120 (30 15 25 50) 960 6.713 6.63555 65 80 40 143K × × − ×= = ≈ >× × × 99% 1A 2A 3A 1B 2B 3B 4B 5B 1 2( , )A A 1 3( )A A , 1 1( )A B , 1 2( )A B , 1 3( )A B , 1 4( )A B , 1 5( )A B , 2 3( )A A , 2 3( )A A , 2 2( )A B , 2 3( )A B , 2 4( )A B , 2 5( )A B , 3 1( )A B , 3 2( )A B , 3 3( )A B , 3 4( )A B , 3 5( )A B , 1 2( )B B , 1 3( )B B , 1 4( )B B , 1 5( )B B , 2 3( )B B , 2 4( )B B , 2 5( )B B , 3 4( )B B , 3 5( )B B , 4 5( )B B , 15 28p = 15 28 139 22 =+ yx ( )f x (0 )+ ∞ , 21 1'( ) x axf x x a x x − += − + = 2( ) 1h x x ax= − + ( )h x (1 3) , (1) (3) 0h h 2a < a 10( 2) ( )3 −∞ + ∞ , , ( )f x (0 )+ ∞ , 21 1'( ) x axf x x a x x − += − + = 2( ) 1h x x ax= − + ( ) 0h x = 1x 2x 2 1 2 1 2 4 0 0 2 1 a x x a a x x ∆ = − >  + = > ⇒ >  =高三数学（文）第一次模拟试卷 6 / 6 ---------------8 分 设 ， ， 令 ，可得 ， （舍去）， 可知函数 在 单调递增，在 单调递减， ， 故可证得： .---------------12 分 22【解析】（1）由题可知， ， ， ∴曲线 C 的直角坐标方程为 ， 直线 的普通方程为 ，---------------3 分 两方程联立可得 ， 可知 ，解得 或 .---------------6 分 （2）曲线 C 的方程 ，可设 ， 则 ， 其中 ，可知最大值为 . ---------------10 分 23【解析】（1）当 时， ， 当 时， ，解得 ， 可得 ；-------------2 分 当 时， ，解得 ，可得 ； 当 时， ，解得 ， 综上可得 .---------------4 分 （2）由 可知， ， ， 设 ， ， 同一坐标系中作出两函数的图象如图所示，---------------6 分 ，可得 ， 当函数 与函数 的图象有两个交点时， 方程 有两个不同的实数根，---------------8 分 由函数图象可知，当 时，有两个不同的解， 故实数 的取值范围为 .--------------10 分 2 1 1 1 2 2 3 32 ( ) 2 2lnf x x ax xx x − = − + − 2 2 2 1 1 2 1 1 1 1 12( ) 2ln 3 2 2 2ln 3x x x x x x x x x x= − + + − = − − + − 2 1 1 12ln 3 2x x x= − + − − 2( ) 2ln 3 2F x x x x= − + − − 22 2 3 2'( ) 2 3 x xF x x x x − − += − + − = '( ) 0F x = 1 2x = 2x = − ( )F x 1(0 )2 , 1( )2 + ∞ , max 1 1 1 1 15( ) ( ) 2ln 3 2 2ln 22 4 2 2 4F x F= = − + − × − = − − 1 2 3 152 ( ) 2ln 24f x x − ≤ − − 2 2 22 cos 6ρ ρ θ+ = 2 2 22( ) 6x y x∴ + + = 2 2 13 2 y x+ = l 3 4 4 3 0x y a− + + = 2 233 6 (4 3 ) (4 3 ) 48 0x a x a+ × + + + − = 2 2[6 (4 3 )] 4 33 [(4 3 ) 48] 0a a∆ = × + − × × + − = 66 4 3a −= 66 4 3a − −= 2 2 13 2 y x+ = 2 cos 3sin x y α α  = = 2 22 3 2 2 cos 3 3sin (2 2) (3 3) sin( )x y α α α ϕ+ = + = + + 2 6tan 9 ϕ = 2 2(2 2) (3 3) 35+ = 1a = ( ) 3 6 1 10f x x x x= − + + − ≥ 1x < − (3 6) ( 1) 10x x x− − − + − ≥ 1x ≤ − 1x < − 1 2x− ≤ ≤ (3 6) ( 1) 10x x x− − + + − ≥ 1x ≤ − 1x = − 2x > (3 6) ( 1) 10x x x− + + − ≥ 5x ≥ { 5 1}x x x≥ ≤ −或 ( ) 0f x = ( ) 3 6 1 0f x x x ax= − + + − = 3 6 1x x ax∴ − + + = ( ) 3 6 1g x x x= − + + ( )h x ax= 4 5 1 ( ) 2 7 1 2 4 5 2 x x g x x x x x − + < − = − + − ≤ ≤  − > , , , (2 3)A , ( )h x ( )g x ( ) 0f x = 3 42 a< < a 3( 4)2 ,