平顶山市 2020 届高三开学检测(线上)
一､选择题､在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
解对数不等式求得集合 ，由此求得两个集合的交集.
【详解】由 得 ，所以 .
故选：B
【点睛】本小题主要考查交集的概念和运算，考查指数不等式的解法.
2.若复数 z 满足 ,则复数 z 在复平面内对应的点在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】
化简复数，求得 ，得到复数在复平面对应点的坐标，即可求解.
详解】由题意，复数 z 满足 ，可得 ，
所以复数 在复平面内对应点的坐标为 位于第一象限
故选：A.
【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的几何表示方法，其中解答中熟记复数的运算法则，结合
复数的表示方法求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
3.已知双曲线 的两条渐近线的夹角为 ，则双曲线 的方程不可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
【
{ }1,2,3,6A = { }| 2 4xB x= > A B =
{ }6 { }3,6 { }1,2 { }2,3,6
B
22 2 4x > = { }| 2B x x= > { }3,6A B =
1(1 2 0)z i− =
2 4z i= +
1(1 2 0)z i− = ( )
( )( )
10 1 210 2 41 2 1 2 1 2
iz ii i i
+= = = +− − +
z (2,4)
C 60° C
2
2 13
x y− =
2 2
13 9
x y− =
2 2
13 12
y x− =
2 2
121 7
y x− =根据双曲线 的两条渐近线的夹角为 ，可知双曲渐近线与 轴的夹角为 或 ，则渐近线方程为
或 ，排除法，即可.
【详解】依题意，双曲线 的渐近线方程为 或 ，观察可知.
故选：C
【点睛】本题考查求双曲线的标准方程，注意两条渐近线的夹角转化为双曲渐近线与 轴的夹角时要分为
两种情况.属于中档题.
4.设向量 满足 ,现有如下命题:命题 的值可能为 9；命题 “ ”
的充要条件为“ ，则下列命题中,真命题为( )
A. p B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用向量的模和数量积的运算公式，判定命题 为假命题，利用向量垂直的充要条件判定命题 为真命题，
再结合复合命题的真假判定，即可求解.
【详解】由题意，可得 ，（当向量 反向时，
取等号），所以 的最大值为 8，所以命题 为假命题；
当 时，则 ，
解得 ，所以命题 为真命题，
所以命题 为假命题，命题 为真命题，命题 为假命题.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了复合命题的真假判定，其中解答总数列应用向量的数量积和向量的模的运算公式，
以及向量垂直的充要条件，结合复合命题的真假判定方法求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，
属于基础题.
5.已知 ，且 ，则 （ ）
C 60° x 30 60°
3
3y x= ± 3y x= ±
C 3
3y x= ± 3y x= ±
x
,m n 2, 3m n= = : 2p m n− :q ( 2 )m n m− ⊥
1, 3cos m n< >=
p q∧ ( )p q∧﹁ ( )p q∨ ﹁
p q
2 2
2 4 2 cos , 4 36 24 8m n m n m n m n− = + − ≤ + + = ,m n
2m n− p
( 2 )m n m− ⊥ 2
2 4 2 2 3( 2 cos) , 0m m n m nn mm ⋅ = −− ⋅ = − × × =
1, 3cos m n< >= q
p q∧ ( )p q∧﹁ ( )p q∨ ﹁
( )0,α π∈ 3sin 5
α = tan 4
πα + = A. B. 7 C. 或－7 D. 或 7
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意按 和 分类讨论得 ，进而得 的值即可.
【详解】已知 ，且 ，当 ，∴cosα＝ ＝ ，
则 ，∴ ；
当 ，∴cosα＝ ＝ ，则 ，∴
；
综上： 或 7
故选：D
【点睛】本题考查三角函数的诱导公式的合理运用，分类讨论思想，易错点是三角函数的符号容易出错，
属于基础题．
6.函数 在 上的图象大致为（ ）
A.
B.
C.
1
7
− 1
7
− 1
7
0, 2
πα ∈ ,2
πα π ∈ tanα tan 4
πα +
( )0,α π∈ 3sin 5
α = 0, 2
πα ∈
231 5
− −
4
5
sin 3tan cos 4
αα α= =
3tan tan 14 4tan 734 1 tan tan 1 14 4
παπα πα
+ + + = = = − − ×
,2
πα π ∈
231 5
− − −
4
5
− sin 3tan cos 4
αα α= = −
3tan tan 1 14 4tan 34 71 tan tan 1 14 4
παπα πα
+ − + + = = = − + ×
tan 4
πα + =
1
7
( ) 3sin 2
x
x xf
e
x = + [ ]2 ,2π π−D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先判断函数 的奇偶性，排除 C；再验证 的值，排除 B，D，即可.
【详解】依题意， ，故函数 为奇函数，图象关
于原点对称，排除 C； ，
排除 B，D.
故选：A
【点睛】本题考查函数图象问题.此类问题可根据函数的单调性、奇偶性、特值检验，通过排除法解决.属于
中档题.
7.德国数学家莱布尼兹(1646 年-1716 年)于 1674 年得到了第一个关于 π 的级数展开式,该公式于明朝初年
传入我国.在我国科技水平业已落后的情况下,我国数学家､天文学家明安图(1692 年-1765 年)为提高我国的
数学研究水平,从乾隆初年(1736 年)开始,历时近 30 年,证明了包括这个公式在内的三个公式,同时求得了
展开三角函数和反三角函数的 6 个新级数公式,著有《割圆密率捷法》一书,为我国用级数计算 π 开创了先
河.如图所示的程序框图可以用莱布尼兹“关于 π 的级数展开式”计算 π 的近似值(其中 P 表示 π 的近似值),
若输入 ,则输出的结果是( )
( )f x ( )4f
π
( ) ( ) ( )3sin 2
x
x xf x
e −
− + −− = ( )3sin 2
x
x x f x
e
+= − = − ( )f x
3 33
4
273sin 1 11 91 91 912 4 64 644 0.54 2.8 2.8 2.8 64 179.2 182ee
f π
π π π
π
+ + ++ = > > = = = > = ×
10n＝A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
执行给定的程序框图，输入 ，逐次循环，找到计算的规律，即可求解.
【详解】由题意，执行给定的程序框图，输入 ，可得：
第 1 次循环： ；
第 2 次循环： ；
第 3 次循环： ；
第 10 次循环： ，
此时满足判定条件，输出结果 ，
故选：B.
【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出，其中解答中认真审题，逐次计算，得到程序
框图的计算功能是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
8.已知等差数列 的前 n 项和为 ,且 , ,若 ( ,且 ),则 i 的
取值集合是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
设等差数列 的公差为 ，根据题设条件，求得 ，得出 ，进而求得
，再结合等差数列的性质，即可求解.
【详解】设等差数列 的公差为 ，
1 1 1 14(1 )3 5 7 17P = − + − +⋅⋅⋅+ 1 1 1 14(1 )3 5 7 19P = − + − +⋅⋅⋅−
1 1 1 14(1 )3 5 7 21P = − + − +⋅⋅⋅+ 1 1 1 14(1 )3 5 7 21P = − + − +⋅⋅⋅−
10n =
10n =
1, 2S i= =
11 , 33S i= − =
1 11 , 43 5S i= − + =
1 1 1 11 , 113 5 7 19S i= − + − + − =
1 1 1 14 4(1 )3 5 7 19P S= = − + − +⋅⋅⋅−
{ }na nS 3 3S = − 12 24S = 0+ =i ja a *,i j N∈ 1 i j≤ <
{1,2,3} {6,7,8} {1,2,3,4,5} 6 7 8 }10{ 9, , , ,
{ }na d 1
5 2,3 3a d= − = ( 6)
3n
n nS
−=
1 6 0a a+ =
{ }na d因为 , ,可得 ，解得 ，
所以
令 ，解得 或 （舍去），即 ，
又因为 ，所以 ，
由等差数列的性质，可得 ，
所以 i 的取值集合是 .
故选：A.
【点睛】本题主要考查了等差数列 性质，以及前 n 项和公式的应用，其中解答中熟记等差数列前 n 项和
公式，结合等差数列的性质，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
9.若 , , ,则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据指数函数的性质，取得 的取值范围，即可求解，得到答案.
【详解】由指数函数的性质，可得 ，即 ，
又由 ，所以 .
故选：D.
【点睛】本题主要考查了指数幂的比较大小，其中解答中熟记指数函数的性质，求得 的取值范围是解
答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.
10.张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方除以十六等于八分之五.已知三
棱锥 的每个顶点都在球 的球面上， 底面 ， ，且 ，
，利用张衡的结论可得球 的表面积为（ ）
A. 30 B. C. 33 D.
【答案】B
的
3 3S = − 12 24S =
1
1
1
11 22
a d
a d
+ = − + =
1
5 2,3 3a d= − =
1
( 1) 5 ( 1) 2 ( 6)( )2 3 2 3 3n
n n n n n nS na d n
− − −= + = × − + × =
0nS = 6n = 0n = 6 0S =
1( )
2
n
n
n a aS
+= 1 6 0a a+ =
1 6 2 5 3 4 0a a a a a a+ = + = + =
{1,2,3}
0.60.5a＝ 0.50.6b＝ 0.52c＝
b c a> > c a b> > a b c> > c b a> >
, ,a b c
0.5 0.5 0.61 0.6 0.5 0.5 0> > > > 1 0b a> > >
0.5 12c = > c b a> >
, ,a b c
A BCD− O AB ⊥ BCD BC CD⊥ 3AB CD= =
2BC = O
10 10 12 10【解析】
【分析】
由 判断出球心 位置，由此求得求的直径.利用张恒的结论求得 的值，进
而根据球的表面积公式计算出球的表面积.
【详解】因为 ，所以 ，又 底面 ，
所以球 的球心为侧棱 的中点，
从而球 的直径为 .
利用张衡的结论可得 ，则 ，
所以球 的表面积为 .
故选：B
【点睛】本小题主要考查几何体外接球表面积的计算，考查中国古代数学文化，考查空间想象能力和逻辑
推理能力，属于基础题.
11.一个圆锥的母线长为 ，且母线与底面所成角为 ，则该圆锥内切球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由已知求得圆锥的底面半径与高，再由等面积法求出该圆锥内切球的半径，再由球的表面积公式得答案．
【详解】作出圆锥截面图如图所示，∵母线长为 ，圆锥的母线与底面的夹角为 ，∴圆锥底面半
径与高均为 ．
设内切球的半径为 r，则利用轴截面的等面积可得
∴r＝ ，∴该圆锥内切球的表面积为 4π× ＝ ．
故选：B．
的, ,BC CD AB BC AB CD⊥ ⊥ ⊥ π
BC CD⊥ 7BD = AB ⊥ BCD
O AD
O 10
2 5
16 8
π = 10π =
O
2
104 10 10 102
π π = =
2 2 2+
4
π
2π 8π 8 2
3
π ( )6 2 2 π+
2 2 2+
4
π
2 2+
( ) ( ) ( ) ( )1 12 = 2 22 22 2 2 2 2 2 2 2+2 r+ + + × × × +
2 2
2 8π【点睛】本题考查该圆锥内切球的表面积，考查学生的计算能力，确定内切球的半径是关键，属于中档
题．
12.已知 是定义在 上的函数 的导函数，若 ，且当 时，
，则不等式 的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由 已 知 条 件 ， 构 造 函 数 ， 求 导 得 在 上 递 增 ， 又
， 得 在 上 是 偶 函 数 . 不 等 式
化简为 ，得 ，计算即可.
【 详 解 】 当 时 ， 满 足 ， 则 ， 构 造 函 数 ， 则
，
所以 在 上递增.且 在 上成立，又 ，
所以 ，所以 在 上是偶函数.
则不等式 化简为 ，
( )f x′ R ( )f x ( ) ( ) 3f x f x x= − + 0x ≥
( ) 23
2f x x′ > ( ) ( ) 22 1 2 3 3 1f x f x x x+ − < + +
1 ,02
−
1, 2
−∞ −
1 ,2
+∞
1, 2
−∞
( ) ( ) 3
2
xg x f x= − ( )g x [ )0,+∞
( ) ( ) ( ) ( )3 3
02 2
x xg x g x f x f x− − = − − − − = ( )g x R
( ) ( ) 22 1 2 3 3 1f x f x x x+ − < + + ( ) ( )1g x g x+ < 1x x+ <
0x ≥ ( ) 23
2f x x′ > ( ) 23
2 0f x x′ − > ( ) ( ) 3
2
xg x f x= −
( ) ( ) ( )
'3
' ' ' 23 02 2
xg x f x f x x
= − = − >
( )g x [ )0,+∞ ( ) ( ) 3f x f x x= − + R ( ) ( ) 3
2
xg x f x− = − +
( ) ( ) ( ) ( )3 3
02 2
x xg x g x f x f x− − = − − − − = ( )g x R
( ) ( ) 22 1 2 3 3 1f x f x x x+ − < + + ( ) ( ) 23 3 11 2
x xf x f x
+ ++ − n n
2
<
ABC∆ A B C a b c 52 sin cos cos2c A a B b A
π + = +
A
3a b c= + ABC∆ ABC∆
3A
π= 2 3
52 sin cos cos2c A a B b A
π + = + 2sin cos sinC A C=
1cos 2A = A
ABC∆ 1R = 2 sin 3a R A= =
2 2( ) 3a b c bc= + − 8bc =【详解】（1）∵ ，∴ ，
由正弦定理得， ，
∴ ，又 ，∴ ，∴ ，又 ，∴ .
（2）设 外接圆的半径为 ，则 ，由正弦定理和（1）得 ，
由余弦定理得 ，且 ，即 ，∴ ，
∴ 的面积 .
【点睛】本题考查了正余弦定理的应用，三角形面积公式的应用，也考查了诱导公式和三角形外接圆半径
的转化，属于基础题.
18.某农科所为改良玉米品种,对已选出的一组玉米的茎高进行统计,获得茎叶图(单位:厘米),设茎高大于或
等于 180 厘米的玉米为高茎玉米,否则为矮茎玉米.
抗倒伏 易倒伏 总计
矮茎
高茎
总计
（1）请完成以上 列联表,并判断是否可以在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下,认为抗倒伏与玉米矮
茎有关?
（2）为改良玉米品种,现采用分层抽样的方法从抗倒伏的玉米中抽出 5 株,再从这 5 株玉米中选取 2 株进行
杂交试验,则选取的植株均为矮茎的概率是多少?
52 sin cos cos2c A a B b A
π + = + 2 cos cos cosc A a B b A= +
2sin cos sin cos sin cos sin( ) sinC A A B B A A B C= + = + =
2sin cos sinC A C= 0 C π< < sin 0C ≠ 1cos 2A = 0 A π< <
3A
π=
ABC∆ R 1R = 2 sin 3a R A= =
2 2 2 22 cos ( ) 33a b c bc b c bc
π= + − = + − 3a b c= + 3 27 3bc= − 8bc =
ABC∆ 1 1 3sin 8 2 32 2 2S bc A= = × × =
2 2×参考公式: (其中 )
参考数据:
0.10 0.05 0.010 0.001
2 706 3.841 6.635 10.828
【答案】（1）答案见解析.（2）
【解析】
【分析】
（1）根据统计数据填写出 的列联表，利用公式求得 的值，对照临界值，即可得到结论；
（2）利用列举法求出基本事件的总数，利用古典概型的概率计算公式，即可求解.
【详解】（1）根据统计数据得 列联表如下:
抗倒伏 易倒伏 总计
矮茎 15 4 19
高茎 10 16 26
总计 25 20 45
由于 的观测值 ,
因此可以在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下,认为抗倒伏与玉米矮茎有关.
（2）根据题意得,抽到的高茎玉米有 2 株,设为 A,B,抽到的矮茎玉米有 3 株,设为 a,b,c,
从这 5 株玉米中取出 2 株的取法有 AB,Aa,Ab,Ac,Ba,Bb,Bc,ab,ac,bc,共 10 种,其中均为矮茎的选取方法有
ab,ac,bc,共 3 种,
因此,选取的植株均为矮茎的概率是
【点睛】本题主要考查了独立性检验的应用，以及古典概型及其概率的计算，其中解答中认真审题，准确
.
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + + n a b c d= + + +
( )2
0P K k
0k
3
10
2 2× 2K
2 2×
2K
2
2 45 (15 16 4 10) 7.287 6.63519 26 25 20K
× × − ×= ≈ >× × ×
3
10利用公式计算，以及利用列举法求得基本事件的总数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能
力，属于基础题.
19.已知首项为 的等比数列 的前 项和为 ，且 ， ， 成等差数列.
（1）求数列 的通项公式；
（2）对于数列 ，若存在一个区间 ，均有 ，则称 为数列 的“容值区
间”.设 ，试求数列 的“容值区间”长度的最小值.
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据 ，求出公比，即可得解；
（2）对项数分奇偶讨论 的取值范围，即可得到区间长度的最小值.
【详解】（1）由题意可知： ，
即 ，
∴ ，即公比
又 ，
∴ .
（2）由（1）可知 .
当 为偶数时 ，易知 随 增大而增大，
∴ ，根据勾型函数性质，此时 .
3
2
{ }na n ( )*
nS n N∈ 22S− 3S 44S
{ }na
{ }nA M ( )1,2,3iA M i∈ = ⋅⋅⋅ M { }nA
1
n n
n
b S S
= + { }nb
13 1
2 2
n
na
− = ⋅ −
1
6
3 2 42 2 4S S S= − +
11 2
n
nS = − −
3 2 42 2 4S S S= − +
( ) ( )1 2 3 1 2 1 2 3 42a a a a a a a a a+ + = − + + + + +
4
3
1
2
a
a
= − 1
2q = −
1
3
2a =
13 1
2 2
n
na
− = ⋅ −
11 2
n
nS = − −
n 11 2
n
nS = − nS n
3 ,14nS ∈
1 252,12n n
n
b S S
= + ∈ 当 为奇数时 ，易知 随 增大而减小，
∴ ，根据勾型函数性质，此时 .
又 ，
∴ .
故数列 的“容值区间”长度的最小值为 .
【点睛】此题考查等比数列基本量的求法，求解数列里项的取值范围，结合函数单调性解决问题.
20.已知 ， ，直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，且 .
（1）求点 的轨迹 的方程；
（2）设 ， ，连接 并延长，与轨迹 交于另一点 ，点 是 中点， 是坐标原点，
记 与 的面积之和为 ，求 的最大值.
【答案】(1) ;(2) .
【解析】
试题分析：（1）设 ，利用 求得点 的轨迹 的方程；（2）由 ， 分别为 ， ，
的 中 点 ， 故 ， 故 与 同 底 等 高 ， 故 ，
，对斜率分类讨论，联立方程巧用维达表示面积即可.
试题解析：
（1）设 ，∵ ， ，∴ ， ，
又 ，∴ ，∴ ，
∴轨迹 的方程为 （注： 或 ，如不注明扣一分）.
（2）由 ， 分别为 ， ， 的中点，故 ，
故 与 同底等高，故 ， ，
n 11 2
n
nS = + nS n
31, 2nS ∈
1 132, 6n n
n
b S S
= + ∈
13 25
6 12
>
132, 6nb ∈
{ }nb 1
6
( 2,0)A − (2,0)B PA 1k PB 2k 1 2
3
4k k = −
P C
1( 1,0)F − 2 (1,0)F 1PF C Q R 2PF O
1QFO 1PF R S S
2 2
1( 2)4 3
x y x+ = ≠ ± 3
2
( ),P x y 1 2
3
4k k = − ， P C O R 1F 2F
2PF 1/ /OR PF 1PF R∆ 1PFO∆
1 1PF R PF OS S∆ ∆=
1 1QF O PF E PQOS S S S∆ ∆ ∆= + =
( ),P x y ( )2,0A − ( )2,0B 1 2
yk x
= + 2 2
yk x
= −
1 2
3
4k k = − 2
2
3
4 4
y
x
= −− ( )2 2
1 24 3
x y x+ = ≠ ±
C ( )2 2
1 24 3
x y x+ = ≠ ± 2x ≠ ± 0y ≠
O R 1F 2F 2PF 1/ /OR PF
1PF R∆ 1PFO∆
1 1PF R PF OS S∆ ∆=
1 1QF O PF E PQOS S S S∆ ∆ ∆= + =当直线 的斜率不存在时，其方程为 ，此时 ；
当直线 的斜率存在时，设其方程为： ，设 ， ，
显然直线 不与 轴重合，即 ；
联立 ，解得 ，
，故 ，
故 ，
点 到直线 的距离 ，
，令 ，
故 ，
故 的最大值为 .
点睛：点睛：在圆锥曲线中研究范围，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目
标函数，再求这个函数的最值.在利用代数法解决最值与范围问题时，常从以下方面考虑：①利用判别式来
构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键
是两个参数之间建立等量关系；③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；④
利用基本不等式求出参数的取值范围；⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围.
21.已知函数 ，其中 a 为非零常数．
讨论 的极值点个数，并说明理由；
若 ， 证明： 在区间 内有且仅有 1 个零点； 设 为 的极值点， 为
PQ 1x = − 1 3 3 312 2 2 2PQOS∆
= × × − − =
PQ ( )1y k x= + ( )1 1,P x y ( )2 2,Q x y
PQ x 0k ≠
( )
2 2
1
14 3
y k x
x y
= + + =
( )2 2 2 23 4 8 4 12 0k x k x k+ + + − =
( )2144 1 0k∆ = + >
2
1 2 2
2
1 2 2
8
3 4
4 12
3 4
kx x k
kx x k
+ = − + − = +
2
1 21PQ k x x= + − = ( ) ( )2
22
1 2 1 2 2
12 1
1 4 3 4
k
k x x x x k
+
+ + − = +
O PQ 21
kd
k
=
+
( )
( )
2 2
22
11 62 3 4
k k
S PQ d
k
+
= =
+
( )23 4 3,u k= + ∈ +∞
2
3 1
4 46
u u
S u
− +⋅
= 2
3 3 2 31 0,2 2u u
= − − + ∈
S 3
2
( ) ( )1 xf x alnx x e= − −
( )1 ( )f x
( )2 a e> ( )i ( )f x ( )1,+∞ ( )ii 0x ( )f x 1x的零点且 ，求证： ．
【答案】（1）见解析；（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析.
【解析】
【分析】
先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系，对 a 进行分类讨论即可求解函数的单调性，进而可确定
极值，
转化为证明 只有一个零点，结合函数与导数知识可证；
由题意可得， ，代入可得， ，结合函数的性质可证．
【详解】解： 解：由已知， 的定义域为 ，
，
①当 时， ，从而 ，
所以 在 内单调递减，无极值点；
②当 时，令 ，
则由于 在 上单调递减， ， ，
所以存在唯一的 ，使得 ，
所以当 时， ，即 ；当 时， ，即 ，
所以当 时， 在 上有且仅有一个极值点.
综上所述，当 时，函数 无极值点；当 时，函数 只有一个极值点；
证明： 由 知 ．
令 ，由 得 ，
所以 在 内有唯一解，从而 在 内有唯一解，
不妨设为 ，则 在 上单调递增，在 上单调递减，
( )f x 1 1x > 0 0 12x lnx x+ >
( )1
( )( )2 i ( )' 0f x =
( )ii
( )
( )0
1
0
0
f x
f x
= =
′
( )
0
1
2
0
1 1
0
1 0
x
x
a x e
alnx x e
− = − − =
( )1 ( )f x ( )0,+∞
( ) 2 x
xa a x ef x xex x
−= − =′
0a < 2 0xa x e− < ( )' 0f x <
( )f x ( )0,+∞
0a > ( ) 2 xg x a x e= −
( )g x [ )0,+∞ ( )0 0g a= > ( ) ( )1 0a ag a a ae a e= − = − <
( )0 0,x ∈ +∞ ( )0 0g x =
( )00,x x∈ ( ) 0g x > ( )' 0f x > ( )0 ,x x∈ +∞ ( ) 0g x < ( )' 0f x <
0a > ( )f x ( )0,+∞
0a < ( )f x 0a > ( )f x
( )2 ( )i ( )1 ( ) 2 xa x ef x x
−′ =
( ) 2 xg x a x e= − a e> ( )1 0g a e= − >
( ) 0g x = ( )1,+∞ ( )' 0f x = ( )0,+∞
0x ( )f x ( )01, x ( )0 ,x +∞所以 是 的唯一极值点．
令 ，则当 时， ，
故 在 内单调递减，
从而当 时， ，所以 ．
从而当 时， ，且
又因为 ，故 在 内有唯一的零点．
由题意， 即 ，
从而 ，即 ．
因为当 时， ，又 ，
故 ，即 ，
两边取对数，得 ，
于是 ，整理得 ．
【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值问题，体现了转化的思想方法，还综合考查了函数与导数的综
合应用，属于难题．
(二)选考题:考生从 22､23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时
22.在直角坐标系 中，曲线 的参数方程 （ 为参数）.直线 的参数方程
（ 为参数）.
（Ⅰ）求曲线 在直角坐标系中的普通方程；
（Ⅱ）以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，当曲线 截直线 所得线段的中点极坐标
为 时，求直线 的倾斜角.
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） .
0x ( )f x
( ) 1h x lnx x= − + 1x > ( ) 1' 1 0h x x
= − <
( )h x ( )1,+∞
1x > ( ) ( )1 0h x h< = 1lnx x< −
a e> 1lna > ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 0lnaf lna aln lna lna e a lna lna a= − − < − − − =
( )1 0f = ( )f x ( )1,+∞
( )ii
( )
( )0
1
0
0
f x
f x
= =
′
( )
0
1
2
0
1 1
0
1 0
x
x
a x e
alnx x e
− = − − =
( )0 12
0 1 1 1x xx e lnx x e= − 1 01
1 2
0
1 x xxlnx ex
−−=
1 1x > 1 1 1lnx x< − 1 0 1x x> >
1 01
12
0
1 1x xx e xx
−− < − 1 0 2
0
x xe x− <
1 0 2
0
x xlne lnx− <
1 0 02x x lnx− < 0 0 12x lnx x+ >
xOy C 2 3 cos
2sin
x
y
β
β
= =
β l
3 cos
1 sin
x t
y t
α
α
= + = +
t
C
O x C l
2, 6
π
l
2 2
112 4
x y+ = 5
6
π【解析】
【分析】
（Ⅰ）利用 可将曲线 的参数方程化为普通方程；
（Ⅱ）解法一：可直线曲线 截直线 所得线段的中点坐标为 ，设弦的端点分别为 ，
，利用点差法可求出直线 的斜率，即得 的值；
解法二：写出直线 的参数方程为 ，将直线 参数方程与曲线 的普通方程联立，由
可求出角 的值.
【详解】（Ⅰ）由曲线 的参数方程 （ 为参数），得： ，
曲线 的参数方程化为普通方程为： ；
（Ⅱ）解法一：中点极坐标 化成直角坐标为 .
设直线 与曲线 相交于 ， 两点，则 ， .
则 ，②-①得： ，
化简得： ，即 ，
又 ， 直线 的倾斜角为 ；
解法二：中点极坐标 化成直角坐标为 ，
将 分别代入 ，得 .
，
2 2cos sin 1β β+ = C
C l ( )3,1 ( )1 1,A x y
( )2 2,B x y l α
l 3 cos
1 sin
x t
y t
α
α
= + = +
l C
1 2 0t t+ = α
C 2 3 cos
2sin
x
y
β
β
= =
β
cos
2 3
sin 2
x
y
β
β
=
=
∴ C
2 2
112 4
x y+ =
2, 6
π
( )3,1
l C ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 1 2 32
x x+ = 1 2 12
y y+ =
2 2
1 1
2 2
2 2
112 4
112 4
x y
x y
+ =
+ =
①
②
2 2 2 2
2 1 2 1 012 4
x x y y− −+ =
( )2 1 1 2
2 1 1 2
2 3 3
3 3 2 3
y y x x
x x y y
− += − = − = −− + ×
3 tan3lk α= − =
( )0,α π∈ ∴ l 5
6
π
2, 6
π
( )3,1
3 cos
1 sin
x t
y t
α
α
= + = +
2 2
112 4
x y+ = ( ) ( )2
23 cos 1 sin 112 4
t tα α+ ++ =
( ) ( )2 2 2cos 3sin 6sin 2 3 cos 6 0t tα α α α∴ + + + − =，即 .
，即 .
又 ， 直线 的倾斜角为 .
【点睛】本题考查参数方程与普通方程 互化，同时也考查了中点弦问题的求解，可利用点差法求解，也
可以利用韦达定理法求解，考查计算能力，属于中等题.
23.已知函数 ．
（1）求不等式 的解集；
（2）若 的最大值为 ， 、 、 为正数且 ，求证： ．
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）分 、 、 去绝对值，分段解不等式 ，可得出该不等式的解集；
（2）由（1）可将函数 表示为分段函数，可求出函数 的最大值为 ，可得出
，然后利用柯西不等式得出 ，由此可证明出
.
【详解】（1）当 时， ，由 ，得 ，
解得 ，此时 ；
当 时， ，由 ，得 ，
解得 ，此时 ；
当 时， ，此时不等式 无解.
综上所述，不等式 的解集为 ；
的
1 2 2 2
6sin 2 3 cos 0cos 3sint t
α α
α α
+∴ + = − =+ 6sin 2 3 cos 0α α− − =
sin 3
cos 3
α
α∴ = − 3tan 3
α = −
(0, )α π∈ ∴ l 5
6
π
( ) 3 2f x x x= − −
( ) 2f x ≥
( )f x m a b c a b c m+ + = 2 2 2 3a b c+ + ≥
11, 3
−
0x ≤ 0 3x< < 3x ≥ ( ) 2f x ≥
( )y f x= ( )y f x= 3m =
3a b c+ + = ( )( ) ( )22 2 21 1 1 a b c a b c+ + + + ≥ + +
2 2 2 3a b c+ + ≥
0x ≤ ( ) ( )3 2 3 2 3f x x x x x x= − − = − + = + ( ) 2f x ≥ 3 2x + ≥
1x ≥ − 1 0x− ≤ ≤
0 3x< < ( ) ( )3 2 3 2 3 3f x x x x x x= − − = − − = − ( ) 2f x ≥ 3 3 2x− ≥
1
3x ≤ 10 3x< ≤
3x ≥ ( ) ( )3 2 3 2 3 6f x x x x x x= − − = − − = − − ≤ − ( ) 2f x ≥
( ) 2f x ≥ 11, 3
− （2）由（1）可知 .
当 时， ；当 时， ；当 时，
.
所以，函数 的最大值为 ，则 .
由柯西不等式可得 ，即 ，
即 ，当且仅当 时，等号成立.
因此， .
【点睛】本题考查绝对值不等式的求解，同时也考查了绝对值函数的最值以及利用柯西不等式证明不等式，
在求解绝对值不等式时，一般利用零点分段法去绝对值来求解，考查分类讨论数学思想，属于中等题.
( )
3, 0
3 3 ,0 3
3, 3
x x
f x x x
x x
+ ≤
= − <
微信/支付宝扫码支付