石城中学 2020 届高三下学期第三次（线上）考试
理科数学试卷
满分：150 分 时间：120 分钟
命题范围：高考范围 下次周考范围：高考范围
一、选择题：（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.）
1．已知集合 ， 则 （ ）
A． B． C． D．
2．设 且 则 （ ）
A． B． C． D．
3．设复数 ，则 的二项展开式的第 项是（ ）
A． B． C． D．
4．对任意向量 ，下列关系式中不恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知函数 ，其中 表示不超过 的最大整数，则关于函数 的性质
表述正确的是（ ）
A．定义域为 B．偶函数
C．周期函数 D．在定义域内为减函数
6．在如图所示的正方形中随机投掷 10000 个点，则落入阴影部分(曲线
为正态分布 的密度曲线)的点的个数的估计值为（ ）
附：若 ，则 ，
.
{ }2 2 1 0A x x x= − + > 2 1= 2B y y x = + A B =
1 ,2
+∞
( )1,+∞ 1 ,12
( )1 ,1 1,2
∪ +∞
(0, ), (0, ),2 2
π πα β∈ ∈ 1 sintan ,cos
βα β
+=
3 2
πα β− = 3 2
πα β+ = 2 2
πα β− = 2 2
πα β+ =
( )21 11
iz ii
−= + ++ ( )91 z+ 7
84− 84i− 36 36i−
,a b
a b a b⋅ ≤ ||a b a b− ≤ −
2 2( ) | |a b a b+ = + 2 2( )( )a b a b a b+ − = −
( ) lg( [ ])f x x x= − [ ]x x ( )f x
( ,0) (0, )−∞ +∞
C ( 1,1)−N
2( , )X N µ σ ( ) 0.6826P Xµ σ µ σ− < < + =
( )2 2 0.9544P Xµ σ µ σ− < < + =A．1193 B．1359 C．2718 D．3413
7．已知函数 的图像与坐标轴的所有交点中，距离原点最近
的两个点的坐标分别为 和 ，则该函数图像距离 轴最近的一条对称轴方程是（ ）
A． B． C． D．
8．从 中任取 个不同的数，事件 “取到的 个数之和为偶数”，事件 “取
到两个数均为偶数”，则 ( )
A． B． C． D．
9．设 A，B 是椭圆 C： 长轴的两个端点，若 C 上存在点 M 满足∠AMB=120°，则 m
的取值范围是 （ ）
A． B．
C． D．
10．（错题再现）已知 件产品中有 件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为止，记检
测的次数为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
11．已知数列{an}满足 a1＝1，a2＝2，an＋2＝(1＋cos2 )an＋sin2 ，则该数列的前 10 项
和为 ( )
A．2101 B．1067 C．1012 D．2012
12．（错题再现）设函数 ， 其中 ，若存在唯一的整数 ，使
得 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：（本大题共 4 题，每小题 5 分，共 20 分.）
sin( )( 0,0 )y xω ϕ ω ϕ π= + > < <
2(0, )2
(1,0) y
3x = − 1x = − 1x = 3x =
1,2,3,4,5 2 A = 2 B =
( )|P B A =
1
8
1
4
2
5
1
2
2 2
13
x y
m
+ =
(0,1] [9, )+∞ (0, 3] [9, )+∞
(0,1] [4, )+∞ (0, 3] [4, )+∞
5 2
ξ Eξ =
3 7
2
18
5 4
2
nπ
2
nπ
( ) (2 1)xf x e x ax a= − − + 1a < 0x
0( ) 0f x < a
3 ,12e
−
3 3,2e 4
−
3 3,2e 4
3 ,12e
13．在平面内，三角形的面积为 ，周长为 ，则它的内切圆的半径 ．在空间中，三
棱锥的体积为 ，表面积为 ，利用类比推理的方法，可得三棱锥的内切球（球面与三棱锥
的各个面均相切）的半径 __________．
14．学生到工厂劳动实践，利用 3D 打印技术制作模型．如图，该模型为在圆锥底部挖去一个
正方体后的剩余部分（正方体四个顶点在圆锥母线上，四个顶点在圆惟底面上），圆锥底面直
径为 ，高为 10cm.打印所用部料密度为 ．不考虑打印损耗．制作该模型所
需原料的质量为________g．（取 ，精确到 0.1）
15．函数 ，且 ， ，则 的取值范围
是__________．
16．已知函数 ．若存在 ，使得 ，则实数 的
取值范围是____．
三、解答题：（共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17．设 a ，命题 p： x ，满足 ,
命题 q： x ， .
(1 若命题 是真命题，求 a 的范围；
（2） 为假， 为真，求 a 的取值范围．
18．某花圃为提高某品种花苗质量，开展技术创新活动，在 实验地分别用甲、乙方法培
训该品种花苗．为观测其生长情况，分别在实验地随机抽取各 株，对每株进行综合评分，
S C 2S
C
γ =
V S
R =
10 2 cm 30.9g/ cm
3.14π =
2( ) 1f x ax bx= + − 0 (1) 1f≤ ≤ 2 ( 1) 0f− ≤ − ≤ 2
3
a bz a b
+= +
( ) ( )( )xf x e x b b R= − ∈ 1 ,22x ∈
( ) ( ) 0f x xf x′+ > b
R∈ ∃ [ ]1,2∈ ( )1 1 0a x− − >
∀ R∈ 2 1 0x ax+ + >
) p q∧
( )) p q∧￢ ( )p q∨￢
A B，
50将每株所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图．记综合评分为 及以上的花苗为优
质花苗．
（1）求图中 的值，并求综合评分的中位数．
（2）用样本估计总体，以频率作为概率，若在 两块试验地随机抽取 棵花苗，求所抽
取的花苗中的优质花苗数的分布列和数学期望；
（3）填写下面的列联表，并判断是否有 的把握认为优质花苗与培育方法有关．
优质花苗 非优质花苗 合计
甲培育法
乙培育法
合计
附：下面的临界值表仅供参考．
（参考公式： ，其中 ．）
80
a
A B， 3
90%
20
10
( )2
0P K k≥ 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
0k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
( )
( )( )( )( )
2
2 n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + + n a b c d+ + +＝19．如图，四面体 ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形，∠ABD=∠CBD，
AB=BD．
（1）证明：平面 ACD⊥平面 ABC；
（2）过 AC 的平面交 BD 于点 E，若平面 AEC 把四面体 ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角
D–AE–C 的余弦值.
20．已知椭圆 ,直线 不过原点 且不平行于坐标轴， 与 有两个
交点 ， ，线段 的中点为 ．
（Ⅰ）证明：直线 的斜率与 的斜率的乘积为定值；
（Ⅱ）若 过点 ，延长线段 与 交于点 ，四边形 能否为平行四边形？若
能，求此时 的斜率，若不能，说明理由．
21．已知函数 .
(I)当 a=2 时,求曲线 在点 处的切线方程；
(II)设函数 ,讨论 的单调性并判断有无极值,有极
值时求出极值.
2 2 2:9 ( 0)C x y m m+ = > l O l C
A B AB M
OM l
l ( , )3
m m OM C P OAPB
l
( ) 3 21 1 ,3 2f x x ax a= − ∈R
( )y f x= ( )( )3, 3f
( ) ( ) ( )cos sing x f x x a x x= + − − ( )g x请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
选修 4-4：坐标系与参数方程
22．在直角坐标系 中，曲线 的方程为 .以坐标原点为极点， 轴正半轴为
极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
（1）求 的直角坐标方程；
（2）若 与 有且仅有三个公共点，求 的方程.
选修 4-5：不等式选讲
23．已知 .
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若 时不等式 成立，求 的取值范围.
xOy 1C 2y k x= + x
2C 2 2 cos 3 0ρ ρ θ+ − =
2C
1C 2C 1C
( ) 1 1f x x ax= + − −
1a = ( ) 1f x >
( )0,1x∈ ( )f x x> a
一、选择题：（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．已知集合 ， 则 （ D ）
A． B． C． D．
【详解】
∵ ， ＝ ，
2．设 且 则（ C ）
A． B． C． D．
【解析】
试题分析：由已知得， ，去分母得，
，所以
，又因为
，
，所以 ，即 ，选
3．设复数 ，则 的二项展开式的第 项是（ A ）
A． B． C． D．
【解析】
∵ ，
所以（1+z）9＝（1+i）9
展开式的第 7 项是：C9613i6＝﹣84
{ }2 2 1 0A x x x= − + > 2 1= 2B y y x = + A B =
1 ,2
+∞
( )1,+∞ 1 ,12
( )1 ,1 1,2
∪ +∞
{ }2| 2 1 0 { | 1}A x x x x x= − + > = ≠ 2 1
2B y y x
= = +
1
2y y
≥
(0, ), (0, ),2 2
π πα β∈ ∈ 1 sintan ,cos
βα β
+=
3 2
πα β− = 3 2
πα β+ = 2 2
πα β− = 2 2
πα β+ =
sin 1 sintan cos cos
α βα α β
+= =
sin cos cos cos sinα β α α β= +
sin cos cos sin cos ,sin( ) cos sin( )2
πα β α β α α β α α− = − = = −
2 2
π πα β− < − <
0 2 2
π πα< − <
2
πα β α− = − 2 2
πα β− = C
( )21 11
iz ii
−= + ++ ( )91 z+ 7
84− 84i− 36 36i−
( ) ( )2
2 11 1 21 2
iiz i i ii
−−= + + = + =+4．对任意向量 ，下列关系式中不恒成立的是（ B ）
A． B．
C． D．
【解析】
因为 ，所以选项 A 正确；当 与 方向相反时，
不成立，所以选项 B 错误；向量的平方等于向量的模的平方，所以选项 C 正
确； ，所以选项 D 正确．
5．已知函数 ，其中 表示不超过 的最大整数，则关于函数 的性质
表述正确的是（ C ）
A．定义域为 B．偶函数
C．周期函数 D．在定义域内为减函数
【解析】
由于 表示不超过 的最大整数，如 ， ，则 ，所以定义域为
错误；当 时， ， ，
， ， 是偶函数错误，由于 ，所以函
数的的图象是一段一段间断的，所以不能说函数是定义域上的减函数，但函数是周期函数，
其周期为 1，例如任取 ，则 ， ，则
，则 。
6．在如图所示的正方形中随机投掷 10000 个点，则落入阴影部分(曲线 为正态分布
的密度曲线)的点的个数的估计值为（ B ）
附：若 ，则 ，
.
,a b
a b a b⋅ ≤ ||a b a b− ≤ −
2 2( ) | |a b a b+ = + 2 2( )( )a b a b a b+ − = −
cos ,a b a b a b a b⋅ = 〈 〉 ≤ a b
a b a b− ≤ −
( )( ) 2 2a b a b a b+ − = −
( ) lg( [ ])f x x x= − [ ]x x ( )f x
( ,0) (0, )−∞ +∞
[ ]x x 1x = [1] 1= [ ] 1 1 0x x− = − =
( ) ( ),0 0,−∞ ∪ +∞ 2.1x = − [ 2.1] 3− = − ( 2.1) lg( 2.1 3) lg0.9f − = − + =
(2.1) lg(2.1 2) lg0.1f = − = ( 2.1) (2.1)f f− ≠ ( )f x x Z∉
(0,1)x∈ 1 (1,2)x + ∈ [ ] 0,[ 1] 1x x= + =
[ ] 1 [ 1]x x x x− = + − + (1 ) ( )f x f x+ =
C ( 1,1)−N
2( , )X N µ σ ( ) 0.6826P Xµ σ µ σ− < < + =
( )2 2 0.9544P Xµ σ µ σ− < < + =A．1193 B．1359 C．2718 D．3413
【解析】
由正态分布的性质可得，图中阴影部分的面积 ，
则落入阴影部分（曲线 为正态分布 的密度曲线）的点的个数的估计值为
.
点睛：关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法
①熟记 P(μ－σ 1k =
4
πω = 3sin( )4 4y x
π π= +
3 ( )4 4 2x k k z
π π ππ+ = + ∈ 4 1x k= − 0k = y
1x = −
1,2,3,4,5 2 A = 2 B =
( )|P B A =A． B． C． D．
先求得 和 的值，然后利用条件概率计算公式，计算出所求的概率.
【详解】
依题意 , ,故 .
故选 B.
9．设 A，B 是椭圆 C： 长轴的两个端点，若 C 上存在点 M 满足∠AMB=120°，则 m
的取值范围是 ( A )
A． B．
C． D．
【解析】
当 时，焦点在 轴上，要使 C 上存在点 M 满足 ，则
，即 ，得 ；当 时，焦点在 轴上，要使 C 上存在
点 M 满足 ，则 ，即 ，得 ，故 的取值范围
为 ，选 A．
10．（错题再现）已知 件产品中有 件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为止，记检
测的次数为 ，则 （ B ）
A． B． C． D．
【 解 析 】 由 题 意 知 ， 的 可 能 取 值 为 2,3,4, 其 概 率 分 别 为 ，
， ， 所 以
1
8
1
4
2
5
1
2
( )P A ( )P AB
( ) 2 2
3 2
2
5
4 2
10 5
C CP A C
+= = = ( ) 2
2
2
5
1= 10
CP AB C
= ( )|P B A = ( )
( )
1
110
2 4
5
P AB
P A
= =
2 2
13
x y
m
+ =
(0,1] [9, )+∞ (0, 3] [9, )+∞
(0,1] [4, )+∞ (0, 3] [4, )+∞
0 3m< < x 120AMB∠ =
tan 60 3a
b
≥ = 3 3
m
≥ 0 1m< ≤ 3m > y
120AMB∠ = tan 60 3a
b
≥ = 3
3
m ≥ 9m ≥ m
(0,1] [9, )+∞
5 2
ξ Eξ =
3 7
2
18
5 4
ξ ( ) 2
2
2
5
12 10
AP A
ξ = = =
( ) 2 1 1 3
2 3 2 3
3
5
+ 33 10
A C C AP A
ξ = = = ( ) 3 2 1 3 1 1
3 3 2 3 3 2
4
5
+ 64 10
A C C A C CP A
ξ = = =，故选 B．
11．已知数列{an}满足 a1＝1，a2＝2，an＋2＝(1＋cos2 )an＋sin2 ，则该数列的前 10 项
和为 ( B )
A．2101 B．1067 C．1012 D．2012
【解析】
当 n 为奇数时，an＋2＝an＋1，是首项为 1，公差为 1 的等差数列；
当 n 为偶数时，an＋2＝2an＋1，是首项为 2，公比为 2 的等比数列．
所以 S18＝a1＋a2＋…＋a17＋a18＝(a1＋a3＋…＋a17)＋(a2＋a4＋…＋a18)
．选 B．
12．（错题再现）设函数 ，其中 ，若存在唯一的整数 ，使
得 ，则 的取值范围是（ D ）
A． B． C． D．
【分析】
设 ， ，问题转化为存在唯一的整数 使得满足
，求导可得出函数 的极值，数形结合可得 且
，由此可得出实数 的取值范围.
【详解】
设 ， ，
由题意知，函数 在直线 下方的图象中只有一个点的横坐标为整数，
，当 时， ；当 时， .
所以，函数 的最小值为 .
又 ， .
1 3 6 72 +3 +4 =10 10 10 2Eξ = × × ×
2
nπ
2
nπ
99(9 1) 2(1 2 )[1 9 1] 9 36 1022 10672 1 2
− −= × + × + = + + =−
( ) (2 1)xf x e x ax a= − − + 1a < 0x
0( ) 0f x < a
3 ,12e
−
3 3,2e 4
−
3 3,2e 4
3 ,12e
( ) ( )e 2 1xg x x= − ( )1y a x= − 0x
( ) ( )0 1g x a x< − ( )y g x= ( )0 1a g− > = −
( ) 31 2g ae
− = − ≥ − a
( ) ( )e 2 1xg x x= − ( )1y a x= −
( )y g x= y ax a= −
( ) ( )2 1xg x e x′ = +
2
1x < − ( ) 0g x′ < 1
2x > − ( ) 0g x′ >
( )y g x= 1 122 2g e − = − −
( )0 1g = − ( )1 0g e= >直线 恒过定点 且斜率为 ，
故 且 ，解得 ，故选 D.
二、填空题：（本大题共 4 题，每小题 5 分，共 20 分.）
13．在平面内，三角形的面积为 ，周长为 ，则它的内切圆的半径 ．在空间中，三
棱锥的体积为 ，表面积为 ，利用类比推理的方法，可得三棱锥的内切球（球面与三棱锥
的各个面均相切）的半径 __________．
【答案】
【解析】
试题分析：若三棱锥表面积为 S，体积为 V，则其内切球半径 ”证明如下：
设三棱锥的四个面积分别为： ，
由于内切球到各面的距离等于内切球的半径
∴
∴内切球半径
14．学生到工厂劳动实践，利用 3D 打印技术制作模型．如图，该模型为在圆锥底部挖去一个
正方体后的剩余部分（正方体四个顶点在圆锥母线上，四个顶点在圆惟底面上），圆锥底面直
径为 ，高为 10cm.打印所用部料密度为 ．不考虑打印损耗．制作该模型所
需原料的质量为________g．（取 ，精确到 0.1）
【答案】358.5
y ax a= − ( )1,0 a
( )0 1a g− > = − ( ) 31g a ae
− = − ≥ − − 3 12 ae
≤ <
S C 2S
C
γ =
V S
R =
3V
S
3vr s
=
1 2 3 4, , ,S S S S
1 2 3 4
1 1 1 1 1
3 3 3 3 3V S r S r S r S r Sr= + + + =
3Vr S
=
10 2 cm 30.9g/ cm
3.14π =【详解】
如图，是该几何体的轴截面，设正方体的棱长为 ，则 ，解得 ，
∴该模型的体积为 （ ），
∴所需原料的质量为 358.5（g ）
15．函数 ，且 ， ，则 的取值范围
是__________．
【答案】
【解析】
由题得： ，如图表示的可行域：
则 可得
，又 b=1,a=0 成立，此时 ，可得
a
2
102
105 2
a a−= 5a =
2 31 500(5 2) 10 5 1253 3V
ππ= × × − = − 398.33≈ 3cm
398.33 0.9× ≈
2( ) 1f x ax bx= + − 0 (1) 1f≤ ≤ 2 ( 1) 0f− ≤ − ≤ 2
3
a bz a b
+= +
1 ,23
1 2, 1 1a b a b≤ + ≤ − ≤ − ≤
22 , ,33 1
b
a b baz tba b a
a
++= = =+ +
令
2 1 5 5 5, 0, (0, ]1 3 3 3 9 3 9 3
tz tt t t
+= = + ≥ ∈+ + +
1
3z = 1[ ,2]3z ∈16．已知函数 ．若存在 ，使得 ，则实数 的
取值范围是____．
【答案】
解答：
∵f(x)=ex(x−b)，
∴f′(x)=ex(x−b+1)，
若存在 x∈[ ,2],使得 f(x)+xf′(x)>0，
则若存在 x∈[ ,2],使得 ex(x−b)+xex(x−b+1)>0，
即存在 x∈[ ,2],使得 b< 成立，
令 ，
则 ，
g(x)在 递增，
∴g(x)最大值=g(2)= ，则实数 的取值范围是
三、解答题：（共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17．设 a ，命题 p： x ，满足 ,
命题 q： x ， .
(1 若命题 是真命题，求 a 的范围；
(2) 为假， 为真，求 a 的取值范围．
【答案】（1） （2）
( ) ( )( )xf x e x b b R= − ∈ 1 ,22x ∈
( ) ( ) 0f x xf x′+ > b
8
3b <
1
2
1
2
1
2
2 2
1
x x
x
+
+
( ) 2 2 1, ,21 2
x xg x xx
+ = ∈ +
( ) ( )
2
2
2 2 0
1
x xg x
x
+ +′ = >
+
1 ,22
8
3 b 8
3b <
R∈ ∃ [ ]1,2∈ ( )1 1 0a x− − >
∀ R∈ 2 1 0x ax+ + >
) p q∧
( )) p q∧￢ ( )p q∨￢
3 22 a< < ( ] 3, 2 ,22
−∞ − ∪ 解： 1 真，则 或 得 ；
q 真，则 ，得 ，
真， ；
2 由 为假， 为真 、q 同时为假或同时为真，
若 p 假 q 假，则 得 ，
若 p 真 q 真，则 ，得，
综上 或 ．
故 a 的取值范围是 ．
18．某花圃为提高某品种花苗质量，开展技术创新活动，在 实验地分别用甲、乙方法培
训该品种花苗．为观测其生长情况，分别在实验地随机抽取各 株，对每株进行综合评分，
将每株所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图．记综合评分为 及以上的花苗为优
质花苗．
（1）求图中 的值，并求综合评分的中位数．
（2）用样本估计总体，以频率作为概率，若在 两块试验地随机抽取 棵花苗，求所抽
取的花苗中的优质花苗数的分布列和数学期望；
（3）填写下面的列联表，并判断是否有 的把握认为优质花苗与培育方法有关．
优质花苗 非优质花苗 合计
甲培育法
乙培育法
合计
( ) p ( )
1 0
2 1 1 0
a
a
− >
− − > ( )
1 0
1 1 1 0
a
a
−
3
2a >
2 4 0a − < 2 2a− < <
p q∴ ∧ 3 22 a< <
( ) ( )p q∧￢ ( )p q∨￢ p⇒
3
{ ,2
2 2
a
a a
≤ −
≤ − ≥或
2a ≤ −
3
2
2 2
a
a
>
− < l O l C
A B AB M
OM l
l ( , )3
m m OM C P OAPB
l
4 7− 4 7+
:l y kx b= + ( 0, 0)k b≠ ≠
OM
OM 9y xk
= − P Px OM
P
0k > 3k ≠
:l y kx b= + ( 0, 0)k b≠ ≠ 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y
( , )M MM x y
2 2 29
y kx b
x y m
= +
+ =
2 2 2 2( 9) 2 0k x kbx b m+ + + − =
1 2
22 9M
x x kbx k
+= = − + 2
9
9M M
by kx b k
= + = +
OM
9M
OM
M
yk x k
= = − 9OMk k⋅ = −
OM l 9−（2）四边形 能为平行四边形．
∵直线 过点 ，∴ 不过原点且与 有两个交点的充要条件是 ，
由 (Ⅰ)得 的方程为 ．设点 的横坐标为 ．
∴由 得 ，即
将点 的坐标代入直线 的方程得 ，因此 ．
四边形 为平行四边形当且仅当线段 与线段 互相平分，即
∴ ．解得 ， ．
∵ ， ， ，
∴当 的斜率为 或 时，四边形 为平行四边形．
考点：直线与椭圆的位置关系的综合应用
【一题多解】第一问涉及中点弦，当直线与圆锥曲线相交时，点 是弦的中点，（1）知道中
点坐标，求直线的斜率，或知道直线斜率求中点坐标的关系，或知道求直线斜率与直线
斜率的关系时，也可以选择点差法，设 , ，代入椭圆方程 ，
两式相减 ，化简为 ，
两边同时除以 得 ，而 ,
,即得到结果，
（2）对于用坐标法来解决几何性质问题，那么就要求首先看出几何关系满足什么条件，其次
用坐标表示这些几何关系，本题的关键就是如果是平行四边形那么对角线互相平分，即
，分别用方程联立求两个坐标，最后求斜率.
OAPB
l ( , )3
m m l C 0k > 3k ≠
OM 9y xk
= − P Px
2 2 2
9 ,{
9 ,
y xk
x y m
= −
+ =
( , )3
m m l (3 )
3
m kb
−= 2
( 3)
3( 9)M
mk kx k
−= +
OAPB AB OP 2P Mx x=
23 9
km
k
± =
+ 2
( 3)2 3( 9)
mk k
k
−× + 1 4 7k = − 2 4 7k = +
0, 3i ik k> ≠ 1i = 2
l 4 7− 4 7+ OAPB
OM
2P Mx x=21．已知函数 .
(I)当 a=2 时,求曲线 在点 处的切线方程；
(II)设函数 ,讨论 的单调性并判断有无极值,有极
值时求出极值.
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）见解析．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义，求出切线的斜率,再用点斜式写出切线方程；（Ⅱ）
由 ,通过讨论确定 的单调性,再由单调性确定极值.
试题解析：（Ⅰ）由题意 ，
所以，当 时， ， ，
所以 ，
因此，曲线 在点 处的切线方程是 ，
即 .
（Ⅱ）因为 ，
所以 ，
，
令 ，
则 ，
所以 在 上单调递增，
因为 ，
所以，当 时， ；当 时， .
（1）当 时， ，
( ) 3 21 1 ,3 2f x x ax a= − ∈R
( )y f x= ( )( )3, 3f
( ) ( ) ( )cos sing x f x x a x x= + − − ( )g x
3 9 0x y− − =
( ) ( )( sin )g x x a x x= −′ − ( )g x
2( )f x x ax= −′
2a = (3) 0f = 2( ) 2f x x x= −′
(3) 3f ′ =
( )y f x= (3, (3))f 3( 3)y x= −
3 9 0x y− − =
( ) ( ) ( )cos sing f x ax x x x= + − −
( ) ( ) cos ( )sin cosg x f x x x a x x′ ′= + − − −
( ) ( )sinx x a x a x= − − −
( )( sin )x a x x= − −
( ) sinh x x x= −
( ) 1 cos 0h x x′ = − ≥
( )h x R
(0) 0h =
0x > ( ) 0h x > 0x < ( ) 0h x <
0a < ( ) ( )( sin )g x a xx x′ = − −当 时， ， ， 单调递增；
当 时， ， ， 单调递减；
当 时， ， ， 单调递增.
所以当 时 取到极大值，极大值是 ，
当 时 取到极小值，极小值是 .
（2）当 时， ，
当 时， ， 单调递增；
所以 在 上单调递增， 无极大值也无极小值.
（3）当 时， ，
当 时， ， ， 单调递增；
当 时， ， ， 单调递减；
当 时， ， ， 单调递增.
所以当 时 取到极大值，极大值是 ；
当 时 取到极小值，极小值是 .
综上所述：
当 时，函数 在 和 上单调递增，在 上单调递减，函数既有极大
值，又有极小值，极大值是 ，极小值是 ；
当 时，函数 在 上单调递增，无极值；
当 时，函数 在 和 上单调递增，在 上单调递减，函数既有极大
值，又有极小值，极大值是 ，极小值是 .
请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
选修 4-4：坐标系与参数方程
22．在直角坐标系 中，曲线 的方程为 .以坐标原点为极点， 轴正半轴为
( , )x a∈ −∞ 0x a− < ( ) 0g x′ > ( )g x
( ,0)x a∈ 0x a− > ( ) 0g x′ < ( )g x
(0, )x∈ +∞ 0x a− > ( ) 0g x′ > ( )g x
x a= ( )g x 31( ) sin6g a a a= − −
0x = ( )g x (0)g a= −
0a = ( ) ( sin )g x x x x′ = −
( , )x∈ −∞ +∞ ( ) 0g x′ ≥ ( )g x
( )g x ( , )−∞ +∞ ( )g x
0a > ( ) ( )( sin )g x a xx x′ = − −
( , 0)x ∈ −∞ 0x a− < ( ) 0g x′ > ( )g x
(0, )x a∈ 0x a− < ( ) 0g x′ < ( )g x
( , )x a∈ +∞ 0x a− > ( ) 0g x′ > ( )g x
0x = ( )g x (0)g a= −
x a= ( )g x 31( ) sin6g a a a= − −
0a < ( )g x ( , )a−∞ (0, )+∞ ( ,0)a
31( ) sin6g a a a= − − (0)g a= −
0a = ( )g x ( , )−∞ +∞
0a > ( )g x ( ,0)−∞ ( , )a +∞ (0, )a
(0)g a= − 31( ) sin6g a a a= − −
xOy 1C 2y k x= + x极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
（1）求 的直角坐标方程；
（2）若 与 有且仅有三个公共点，求 的方程.
【答案】(1) .
(2) .
详解：（1）由 ， 得 的直角坐标方程为
．
（2）由（1）知 是圆心为 ，半径为 的圆．
由题设知， 是过点 且关于 轴对称的两条射线．记 轴右边的射线为 ， 轴左边
的射线为 ．由于 在圆 的外面，故 与 有且仅有三个公共点等价于 与 只有一个
公共点且 与 有两个公共点，或 与 只有一个公共点且 与 有两个公共点．
当 与 只有一个公共点时， 到 所在直线的距离为 ，所以 ，故 或
．
经检验，当 时， 与 没有公共点；当 时， 与 只有一个公共点， 与
有两个公共点．
当 与 只有一个公共点时， 到 所在直线的距离为 ，所以 ，故 或
．
经检验，当 时， 与 没有公共点；当 时， 与 没有公共点．
综上，所求 的方程为 ．
点睛：该题考查的是有关坐标系与参数方程的问题，涉及到的知识点有曲线的极坐标方程向
平面直角坐标方程的转化以及有关曲线相交交点个数的问题，在解题的过程中，需要明确极
坐标和平面直角坐标之间的转换关系，以及曲线相交交点个数结合图形，将其转化为直线与
圆的位置关系所对应的需要满足的条件，从而求得结果.
2C 2 2 cos 3 0ρ ρ θ+ − =
2C
1C 2C 1C
2 2( 1) 4x y+ + =
4 23y x= − +
cosx ρ θ= siny ρ θ= 2C
( )2 21 4x y+ + =
2C ( )1,0A − 2
1C ( )0,2B y y 1l y
2l B 2C 1C 2C 1l 2C
2l 2C 2l 2C 1l 2C
1l 2C A 1l 2 2
2 2
1
k
k
− + =
+
4
3k = −
0k =
0k = 1l 2C 4
3k = − 1l 2C 2l 2C
2l 2C A 2l 2 2
2 2
1
k
k
+ =
+ 0k =
4
3k =
0k = 1l 2C 4
3k = 2l 2C
1C 4 23y x= − +选修 4-5：不等式选讲
23．已知 .
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若 时不等式 成立，求 的取值范围.
【答案】（1） ；（2）
【解析】
分析：(1)将 代入函数解析式，求得 ，利用零点分段将解析式化为
，然后利用分段函数，分情况讨论求得不等式 的解集为
；
(2)根据题中所给的 ，其中一个绝对值符号可以去掉，不等式 可以化为
时 ，分情况讨论即可求得结果.
详解：（1）当 时， ，即
故不等式 的解集为 ．
（2）当 时 成立等价于当 时 成立．
若 ，则当 时 ；
若 ， 的解集为 ，所以 ，故 ．
综上， 的取值范围为 ．
( ) 1 1f x x ax= + − −
1a = ( ) 1f x >
( )0,1x∈ ( )f x x> a
1
2x x
>
( ]0,2
1a = ( ) 1 1f x x x= + − −
( )
2, 1,
2 , 1 1,
2, 1.
x
f x x x
x
− ≤ −
= − <
1
2x x
( )0,1x∈ ( )f x x>
( )0,1x∈ 1 1ax − <
1a = ( ) 1 1f x x x= + − − ( )
2, 1,
2 , 1 1,
2, 1.
x
f x x x
x
− ≤ −
= − < 1
2x x
( )0,1x∈ 1 1x ax x+ − − > ( )0,1x∈ 1 1ax − <
0a ≤ ( )0,1x∈ 1 1ax − ≥
0a > 1 1ax − < 20 x a
< < 2 1a
≥ 0 2a< ≤
a ( ]0,2
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