高二数学测试题（3.3）
一、选择题(每小题 5 分，共 60 分)
1．将字母 a，a，b，b，c，c 排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的
字母也互不相同，则不同的排列方法共有( )
A．12 种 B．18 种
C．24 种 D．36 种
2．若
(x＋1
x )
n
展开式的二项式系数之和为 64，则展开式的常数项为( )
A．10 B．20
C．30 D．120
3．对标有不同编号的 6 件正品和 4 件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出
2 件．在第一次摸到正品的条件下，第二次也摸到正品的概率是( )
A.3
5 B.2
5
C. 1
10 D.5
9
4．已知 －C6n＝C7n(n∈N*)，则 n＝( )
A．14 B．15
C．13 D．12
5．某学习小组男、女生共 8 人，现从男生中选 2 人，从女生中选 1 人，分别去
做 3 种不同的工作，共有 90 种不同的选法，则男女生人数为( )
A．男 2 人，女 6 人 B．男 3 人，女 5 人
C．男 5 人，女 3 人 D．男 6 人，女 2 人
6．设(1－3x)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|的值为( )
A．29 B．49
C．39 D．59
6
1+nC7、(x＋a
x )(2x－1
x)
5
的展开式中各项系数的和为 2，则该展开式中常数项为( )
A．－40 B．－20
C．20 D．40
8．一道竞赛题，A，B，C 三人可解出的概率依次为1
2
，1
3
，1
4
，若三人独立解答，
则仅有 1 人解出的概率为( )
A. 1
24 B.11
24
C.17
24 D．1
9．(1＋2 x)3(1－3 x)5 的展开式中 x 的系数是( )
A．－4 B．－2
C．2 D．4
10．设事件 A 在每次试验中发生的概率相同，且在三次独立重复试验中，若事
件 A 至少发生一次的概率为63
64
，则事件 A 恰好发生一次的概率为( )
A.1
4 B.3
4 C. 9
64 D.27
64
11．关于(a－b)10 的说法，错误的是( )
A．展开式中的二项式系数之和为 1 024
B．展开式中第 6 项的二项式系数最大
C．展开式中第 5 项和第 7 项的二项式系数最大
D．展开式中第 6 项的系数最小
12．盒中有 10 只螺丝钉，其中有 3 只是坏的，现从盒中随机地抽取 4 个，那么
概率是 3
10
的事件为( )
A．恰有 1 只是坏的
B．4 只全是好的
C．恰有 2 只是好的
D．至多有 2 只是坏的二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）
13．设(x－1)21＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a21x21，则 a10＋a11＝________.
14．如果把个位数是 1，且恰有 3 个数字相同的四位数叫做“好数”，那么在
由 1,2,3,4 四个数字组成的所有重复数字的四位数中，“好数”共有________个．
15．设随机变量 X 的分布列为 P(X＝k)＝m (
2
3 )
k
，k＝1,2,3，则 m 的值为
________
16．将 5 位志愿者分成 3 组，其中两组各 2 人，另一组 1 人，分赴某大型展览
会的三个不同场馆服务，不同的分配方案有________种．(用数字作答)
三、解答题（共 70 分）
17．(本小题满分 1 分)有 4 个不同的球，4 个不同的盒子，把球全部放入盒子
内．
(1)共有几种放法？
(2)恰有 2 个盒子不放球，有几种放法？
18．(本小题满分 12 分)有 3 名男生、4 名女生，在下列不同条件下，求不同的排
列方法总数．
(1)选 5 人排成一排；
(2)排成前后两排，前排 4 人，后排 3 人；
(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；
(4)全体排成一排，女生必须站在一起；
(5)全体排成一排，男生互不相邻.
19．(本小题满分 12 分)已知(1＋mx)n(m∈R，n∈N*)的展开式的二项式系数之
和为 32，且展开式中含 x3 项的系数为 80.
(1)求 m，n 的值．
(2)求(1＋mx)n(1－x)6 展开式中含 x2 项的系数.20．(本小题满分 12 分)某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的
付款期数 X 的分布列为
X 1 2 3 4 5
P 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1
某商场经销一件该商品，采用 1 期付款，其利润为 200 元；分 2 期或 3 期付
款，其利润为 250 元；分 4 期或 5 期付款，其利润为 300 元．Y 表示经销一件该商
品的利润．
(1)求事件：“购买该商品的 3 位顾客中，至少有 1 位采用 1 期付款”的概率
P(A)；
(2)求 Y 的分布列
21．(本小题满分 12 分)已知 2 件次品和 3 件正品混放在一起，现需要通过检测
将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出 2 件次品或者检
测出 3 件正品时检测结束．
(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；
(2)已知每检测一件产品需要费用 100 元，设 X 表示直到检测出 2 件次品或者
检测出 3 件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求 X 的分布列．
22.(本小题满分 12 分)一盒中装有 9 张各写有一个数字的卡片，其中 4 张卡片上的
数字是 1,3 张卡片上的数字是 2,2 张卡片上的数字是 3.从盒中任取 3 张卡片．
(1)求所取 3 张卡片上的数字完全相同的概率；
(2)X 表示所取 3 张卡片上的数字的中位数，求 X 的分布列．
(注：若三个数 a，b，c 满足 a≤b≤c，则称 b 为这三个数的中位数)高二数学测试题（3.3）
答案详解
一、选择题(每小题 5 分，共 60 分)
1．将字母 a，a，b，b，c，c 排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的
字母也互不相同，则不同的排列方法共有( )
A．12 种 B．18 种
C．24 种 D．36 种
A [利用分步乘法计数原理求解．
先排第一列，因为每列的字母互不相同，因此共有 A 33种不同的排法．
再排第二列，其中第二列第一行的字母共有 A 12种不同的排法，第二列第二、
三行的字母只有 1 种排法．
因此共有 A33·A12·1＝12(种)不同的排列方法．]
2．若
(x＋1
x )
n
展开式的二项式系数之和为 64，则展开式的常数项为( )
A．10 B．20
C．30 D．120
B [∵C0n＋C1n＋…＋Cnn＝2n＝64，∴n＝6.
Tr＋1＝Cr6x6－rx－r＝Cr6x6－2r，令 6－2r＝0，∴r＝3，
常数项 T4＝C36＝20，故选 B.]
3．对标有不同编号的 6 件正品和 4 件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出
2 件．在第一次摸到正品的条件下，第二次也摸到正品的概率是( )
A.3
5 B.2
5
C. 1
10 D.5
9
D [记“第一次摸到正品”为事件 A，“第二次摸到正品”为事件 B，则 P(A)
＝ C16C19
C 110C19
＝3
5
，P(AB)＝ C16C15
C 110C19
＝1
3.故 P(B|A)＝P(AB)
P(A) ＝5
9.]4．已知 C 6n＋1－C6n＝C7n(n∈N*)，则 n＝( )
A．14 B．15
C．13 D．12
D [由组合数性质知，C6n＋C7n＝C 7n＋1，所以 C 6n＋1＝C 7n＋1，所以 6＋7＝n＋1，
得 n＝12.]
5．某学习小组男、女生共 8 人，现从男生中选 2 人，从女生中选 1 人，分别
去做 3 种不同的工作，共有 90 种不同的选法，则男女生人数为( )
A．男 2 人，女 6 人 B．男 3 人，女 5 人
C．男 5 人，女 3 人 D．男 6 人，女 2 人
B [设男生 x 人，女生(8－x)人，列方程：C2x·C 18－x·A33＝90.解得 x＝3，∴8－x
＝5.]
6．设(1－3x)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|的值为( )
A．29 B．49
C．39 D．59
B [由于 a0，a2，a4，a6，a8 为正，a1，a3，a5，a7，a9 为负，故令 x＝－1，
得(1＋3)9＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9＝|a0|＋|a1|＋…＋|a9|，故选 B.]
7、(x＋a
x )(2x－1
x)
5
的展开式中各项系数的和为 2，则该展开式中常数项为( )
A．－40 B．－20
C．20 D．40
D [由题意，令 x＝1 得展开式各项系数的和(1＋a)(2－1)5＝2，∴a＝1.
∵二项式
(2x－1
x)
5
的通项公式为 Tr＋1
＝Cr5(－1)r·25－r·x5－2r，
∴
(x＋1
x )(2x－1
x)
5
展开式中的常数项为
x·C35(－1)322·x－1＋1
x·C25·(－1)2·23·x＝－40＋80＝40，故选 D.]
8．一道竞赛题，A，B，C 三人可解出的概率依次为1
2
，1
3
，1
4
，若三人独立解答，
则仅有 1 人解出的概率为( ) A. 1
24 B.11
24
C.17
24 D．1
B [P＝P(A B－
C－
)＋P( A－
B C－
)＋P( A－
B－
C)＝1
2
×2
3
×3
4
＋1
2
×1
3
×3
4
＋1
2
×2
3
×1
4
＝11
24.]
9．(1＋2 x)3(1－3 x)5 的展开式中 x 的系数是( )
A．－4 B．－2
C．2 D．4
C [(1＋2 x)3 的展开式的通项为 Tr＋1＝Cr3(2 x)r＝2rCr3x ，(1－3 x)5 的展开式
的通项为 Tr′＋1＝Cr′5 ·(－ 3 x)r′＝(－1)r′Cr′5 x ，因此，(1＋2 x)3(1－3 x)5 的展开
式的通项为(－1)r′·2r·C r3·Cr′5 ·x
＋
.当r
2
＋r′
3
＝1 时有 r＝0 且 r′＝3 或 r＝2 且 r′
＝0 两种情况，则展开式中 x 的系数为(－10)＋12＝2.]
10．设事件 A 在每次试验中发生的概率相同，且在三次独立重复试验中，若事
件 A 至少发生一次的概率为63
64
，则事件 A 恰好发生一次的概率为( )
A.1
4 B.3
4
C. 9
64 D.27
64
C [假设事件 A 在每次试验中发生说明试验成功，设每次试验成功的概率为 p，
由题意得，事件 A 发生的次数 X～B(3，p)，则有 1－(1－p)3＝63
64
，得 p＝3
4
，则事
件 A 恰好发生一次的概率为 C13×3
4
×
(1－3
4)
2
＝ 9
64.故选 C.]
11．关于(a－b)10 的说法，错误的是( )
A．展开式中的二项式系数之和为 1 024
B．展开式中第 6 项的二项式系数最大
C．展开式中第 5 项和第 7 项的二项式系数最大D．展开式中第 6 项的系数最小
C [由二项式系数的性质知，二项式系数之和为 210＝1 024，故 A 正确；当 n
为偶数时，二项式系数最大的项是中间一项，故 B 正确，C 错误；D 也是正确的，
因为展开式中第 6 项的系数是负数且其绝对值最大，所以是系数中最小的．]
12．盒中有 10 只螺丝钉，其中有 3 只是坏的，现从盒中随机地抽取 4 个，那么
概率是 3
10
的事件为( )
A．恰有 1 只是坏的
B．4 只全是好的
C．恰有 2 只是好的
D．至多有 2 只是坏的
C [X＝k 表示取出的螺丝钉恰有 k 只为好的，则 P(X＝k)＝Ck7C4－k3
C 410 (k＝1,2,3,4)．
∴P(X＝1)＝ 1
30
，P(X＝2)＝ 3
10
，P(X＝3)＝1
2
，P(X＝4)＝1
6
，故 3
10
表示恰好有 2
个是好的．]
二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）
13．设(x－1)21＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a21x21，则 a10＋a11＝________.
0 [Tr＋1＝C r21x21－r(－1)r，
∴a10＝C1121(－1)11，a11＝C1021(－1)10，
∴a10＋a11＝－C1121＋C1021＝－C1021＋C1021＝0
14．如果把个位数是 1，且恰有 3 个数字相同的四位数叫做“好数”，那么在
由 1,2,3,4 四个数字组成的所有重复数字的四位数中，“好数”共有________个．
12 [由题意知，当组成的数字有三个 1，三个 2，三个 3，三个 4 共有 4 种情
况．当有三个 1 时：2 111,3 111,4 111,1 211,1 311,1 411,1 121,1 131,1 141，共 9
种．当有三个 2,3,4 时，2 221,3 331,4 441，此时有 3 种情况．由分类加法计数原理，
得“好数”的个数为 9＋3＝12.]
15．设随机变量 X 的分布列为 P(X＝k)＝m (
2
3 )
k
，k＝1,2,3，则 m 的值为________
[P(X＝1)＝2m
3
，P(X＝2)＝4m
9
，P(X＝3)＝8m
27
，由离散型随机变量的分布列的
性质知 P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝1，即2m
3
＋4m
9
＋8m
27
＝1，解得 m＝27
38.]
16．将 5 位志愿者分成 3 组，其中两组各 2 人，另一组 1 人，分赴某大型展
览会的三个不同场馆服务，不同的分配方案有________种．(用数字作答)
90 [先分组C25C23C11
A22
，再把三组分配乘以 A 33得：C25C23C11
A22 A33＝90 种．]
三、解答题（共 70 分）
17．(本小题满分 1 分)有 4 个不同的球，4 个不同的盒子，把球全部放入盒子
内．
(1)共有几种放法？
(2)恰有 2 个盒子不放球，有几种放法？
[解] (1)44＝256(种)．--------4 分
(2)恰有 2 个盒子不放球，也就是把 4 个不同的小球只放入 2 个盒子中，有两
类放法；第一类，1 个盒子放 3 个小球，1 个盒子放 1 个小球，先把小球分组，有
C 34种，再放
到 2 个小盒中有 A 24种放法，共有 C34A 24种方法；第二类，2 个盒子中各放 2 个
小球有 C24C 24种放法，故恰有 2 个盒子不放球的方法共有 C34A24＋C24C24＝84 种放
法． ---------10 分
18．(本小题满分 12 分)有 3 名男生、4 名女生，在下列不同条件下，求不同的排
列方法总数．
(1)选 5 人排成一排；
(2)排成前后两排，前排 4 人，后排 3 人；
(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；
(4)全体排成一排，女生必须站在一起；
(5)全体排成一排，男生互不相邻.
[解] (1)从 7 人中选 5 人排列，有 A57＝7×6×5×4×3＝2 520(种)．-------2 分
(2)分两步完成，先选 4 人站前排，有 A 47种方法，余下 3 人站后排，有 A 33种方法，共有 A47·A33＝5 040(种)．---------4 分
(3)法一：(特殊元素优先法)先排甲，有 5 种方法，其余 6 人有 A66种排列方法，
共有 5×A66＝3 600(种)．
法二：(特殊位置优先法)首尾位置可安排另 6 人中的两人，有 A 26种排法，其
他有 A 55种排法，共有 A26A55＝3 600(种)．---------6 分
(4)(捆绑法)将女生看作一个整体与 3 名男生一起全排列，有 A 44种方法，再将
女生全排列，有 A 44种方法，共有 A44·A44＝576(种)．----------9 分
(5)(插空法)先排女生，有 A 44种方法，再在女生之间及首尾 5 个空位中任选 3
个空位安排男生，有 A 35种方法，共有 A44·A35＝1 440(种)．-----------12 分
19．(本小题满分 12 分)已知(1＋mx)n(m∈R，n∈N*)的展开式的二项式系数之
和为 32，且展开式中含 x3 项的系数为 80.
(1)求 m，n 的值．
(2)求(1＋mx)n(1－x)6 展开式中含 x2 项的系数.
[解] (1)由题意，2n＝32，则 n＝5.
由通项 Tr＋1＝Cr5mrxr(r＝0,1，…，5)，则 r＝3，
所以 C35m3＝80，所以 m＝2.--------5 分
(2)即求(1＋2x)5(1－x)6 展开式中含 x2 项的系数，
(1＋2x)5(1－x)6＝[C05＋C15(2x)1＋C25(2x)2＋…](C06－C16x＋C26x2＋…)
＝(1＋10x＋40x2＋…)(1－6x＋15x2＋…)，
所以展开式中含 x2 项的系数为 1×15＋10×(－6)＋40×1＝－5.-------12 分
20．(本小题满分 12 分)某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的
付款期数 X 的分布列为
X 1 2 3 4 5
P 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1
某商场经销一件该商品，采用 1 期付款，其利润为 200 元；分 2 期或 3 期付
款，其利润为 250 元；分 4 期或 5 期付款，其利润为 300 元．Y 表示经销一件该商
品的利润．
(1)求事件：“购买该商品的 3 位顾客中，至少有 1 位采用 1 期付款”的概率
P(A)；(2)求 Y 的分布列
[解] (1)由 A 表示事件“购买该商品的 3 位顾客中至少有 1 位采用 1 期付款”，
知A表示事件“购买该商品的 3 位顾客中无人采用 1 期付款”．
P(A)＝(1－0.4)3＝0.216，
P(A)＝1－P(A)＝1－0.216＝0.784.-------5 分
(2)Y 的可能取值为 200 元，250 元，300 元．
P(Y＝200)＝P(X＝1)＝0.4，
P(Y＝250)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝0.2＋0.2＝0.4，
P(Y＝300)＝1－P(Y＝200)－P(Y＝250)＝1－0.4－0.4＝0.2.-------10 分
Y 的分布列为
Y 200 250 300
P 0.4 0.4 0.2
--------12 分
21．(本小题满分 12 分)已知 2 件次品和 3 件正品混放在一起，现需要通过检
测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出 2 件次品或者
检测出 3 件正品时检测结束．
(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；
(2)已知每检测一件产品需要费用 100 元，设 X 表示直到检测出 2 件次品或者
检测出 3 件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求 X 的分布列．
[解] (1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件 A，P(A)
＝A12A13
A25
＝ 3
10.-------4 分
(2)X 的可能取值为 200,300,400.
P(X＝200)＝A22
A25
＝ 1
10
，
P(X＝300)＝A33＋C12C13A22
A35
＝ 3
10
，
P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)＝1－ 1
10
－ 3
10
＝ 6
10.---------10 分
故 X 的分布列为
X 200 300 400P 1
10
3
10
6
10
----------12 分
22.(本小题满分 12 分)一盒中装有 9 张各写有一个数字的卡片，其中 4 张卡片
上的数字是 1,3 张卡片上的数字是 2,2 张卡片上的数字是 3.从盒中任取 3 张卡
片．
(1)求所取 3 张卡片上的数字完全相同的概率；
(2)X 表示所取 3 张卡片上的数字的中位数，求 X 的分布列．
(注：若三个数 a，b，c 满足 a≤b≤c，则称 b 为这三个数的中位数)
[解] (1)由古典概型的概率计算公式知所求概率为
P＝C34＋C33
C39
＝ 5
84.---------4 分
(2)X 的所有可能值为 1,2,3，且
P(X＝1)＝C24C15＋C34
C39
＝17
42
，
P(X＝2)＝C13C14C12＋C23C16＋C33
C39
＝43
84
，
P(X＝3)＝C22C17
C39
＝ 1
12.--------10 分
故 X 的分布列为
X 1 2 3
P 17
42
43
84
1
12
-------------12 分
微信/支付宝扫码支付