中考数学常考易错点解析：2.1整式方程

2.1 整式方程 易错清单 1. 根据题意列出正确的方程. 【例 1】　(2014·山东烟台)按如图的运算程序,能使输出结果为 3 的 x,y 的值是(　　). A. x=5,y=-2 B. x=3,y=-3 C. x=-4,y=2 D. x=-3,y=-9 【解析】　由题意,得 2x-y=3, A. x=5 时,y=7,故本选项错误; B. x=3 时,y=3,故本选项错误; C. x=-4 时,y=-11,故本选项错误; D. x=-3 时,y=-9,故本选项正确. 【答案】　D 【误区纠错】　读懂题意,列出正确的整式方程是解题的关键. 2. 方程中隐含条件的运用. 【例 2】　(2014·山东济宁)若一元二次方程 ax2=b(ab>0)的两个根分别是 m+1 与 2m-4,则 =　　　　. 【解析】　∵　x2=(ab>0), ∴　x=±. ∴　方程的两个根互为相反数. ∴　m+1+2m-4=0,解得 m=1. ∴　一元二次方程 ax2=b(ab>0)的两个根分别是 2 与-2. ∴　=2. ∴　=4. 【答案】　4 【误区纠错】　一个正数有两个平方根,这两个平方根互为相反数.根据这个隐含条件可求 出 m 的值. 【例 3】 　(2014·广东广州)若关于的方程 x2+2mx+m2+3m-2=0 有两个实数根 x1,x1,则x1(x2+x1)+的最小值为　　　　. 【 解 析 】 　 该 题 主 要 是 考 察 方 程 思 想 与 函 数 思 想 的 结 合 , 由 根 与 系 数 的 关 系 得 到:x1+x2=-2m,x1x2=m2+3m-2, 而 x1(x2+x1)+=(x1+x2)2-x1x2=3m2-3m+2. 因为方程有实数根, 所以 Δ≥0,解得 m≤. 当 m=时,3m2-3m+2 的最小值为. 【答案】　 【误区纠错】　本题最大失误是不知道根据 Δ≥0 这个隐含条件求出 m 的取值范围. 3. 整体思想的运用. 【 例 4 】 　 (2014 · 江 苏 泰 州 ) 已 知 a2+3ab+b2=0(a ≠ 0,b ≠ 0), 则 代 数 式 + 的 值 等 于　　　　. 【解析】　∵　a2+3ab+b2=0, ∴　a2+b2=-3ab, ∴　原式===-3. 【答案】　-3 【误区纠错】　本题直接使用整体思想解题,将 a2+b2 视为一个整体未知数. 名师点拨 1. 能区分等式各个性质的区别与联系. 2. 理解一元一次方程的有关概念,并解决一些简单问题. 3. 会利用代入法求一元一次方程的解. 4. 会利用定义判断一元二次方程,能利用配方法、公式法、因式分解法求一元二次方程的根. 5. 记住一元二次方程根的判别式,并能解决一些问题. 6. 理解一元二次方程根与系数的关系,并能解决一些问题. 7. 会根据等量关系列整式方程并求解. 提分策略 1. 选择适当的方法求解一元二次方程. 若方程中含有未知数的代数式是一个完全平方式,可选用直接开平方法;若不是,则把右边化 为 0 且方程左边分解因式,则选用因式分解法;若不能分解因式或难以分解因式时,则选用公式法.配方法一般很少选用,但求根公式是由配方法推导的,且以后学习中还常用到,故必须 掌握这种重要的数学方法. 【例 1】　解方程:3x(x-2)=2(2-x). 【解析】　先移项,然后提取公因式(x-2),对等式的左边进行因式分解. 【答案】　由原方程,得(3x+2)(x-2)=0, 所以 3x+2=0 或 x-2=0. 解得 x1=-,x2=2. 2. 配方法在二次三项式中的应用. 在二次三项式中运用配方法与一元二次方程的配方类似,但也有不同: (1)化二次项系数为 1,当二次项系数不为 1 时,可提取二次项系数,但不能像解方程那样除 以二次项系数(因为二次三项式配方是恒等变形,而配方法解一元二次方程是同解变形). (2)加上一次项系数一半的平方,使其中的三项成为完全平方式,但又要使此二次三项式的值 不变,故在加的同时,还要减去一次项系数一半的平方. (3)配方后将原二次三项式化为 a(x+m)2+n 的形式. 【例 2】　阅读材料:把形如 ax2+bx+c 的二次三项式(或其一部分)配成完全平方式的方法 叫做配方法.配方法的基本形式是完全平方公式的逆写,即 a2±2ab+b2=(a±b)2. 例如:(x-1)2+3,(x-2)2+2x,+x2 是 x2-2x+4 的三种不同形式的配方(即“余项”分别是常数项、 一次项、二次项). 请根据阅读材料解决下列问题: (1)比照上面的例子,写出 x2-4x+2 三种不同形式的配方; (2)将 a2+ab+b2 配方(至少两种形式); (3)已知 a2+b2+c2-ab-3b-2c+4=0,求 a+b+c 的值. 【答案】　(1)x2-4x+2=(x-2)2-2; x2-4x+2=(x-)2+(2-4)x; x2-4x+2=(x-)2-x2. (2)a2+ab+b2=(a+b)2-ab=+b2. (3)a2+b2+c2-ab-3b-2c+4=+(b-2)2+(c-1)2=0. 从而 a-b=0,b-2=0,c-1=0, 即 a=1,b=2,c=1. 所以 a+b+c=4.3. 利用一次方程解决生活中的实际问题. 解决问题需要从问题中挖掘相关信息,包含隐含条件,找到相关的已知量,构建相应的数学模 型,灵活运用所学知识解决实际问题. 【例 3】　如图,要利用一面墙(墙长为 25 米)建羊圈,用 100 米的围栏围成总面积为 400 平 方米的三个大小相同的矩形羊圈,求羊圈的边长 AB,BC 各为多少米? 【解析】　设 AB 的长度为 x,则 BC 的长度为(100-4x)米;然后根据矩形的面积公式列出方 程. 【答案】　设 AB 的长度为 x,则 BC 的长度为(100-4x)米. 根据题意,得(100-4x)x=400, 解得 x1=20,x2=5. 则 100-4x=20 或 100-4x=80. ∵　80>25, ∴　x2=5 舍去. 即 AB=20,BC=20. 故羊圈的边长 AB,BC 分别是 20 米、20 米. 专项训练 一、 选择题 1. (2014·江苏泰州洋思中学)若 5k+201 D. k