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绝密★启用前
2020 届高三年级寒假考试理科数学试题（二）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮
擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第（Ⅰ）卷
一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的）
1.已知集合 { | 2}M x x， 2|0N x x x ，则下列关系中正确的是（）
A． RNM B． RNCM R C． RMCN R D． MNM
2. 若复数 1
2
biZ i
（ ib R, 为虚数单位）的实部与虚部相等，则b 的值为（）
A．3 B． 3 C． 3 D． 3
3. 命题“ 0
2
00 ,2 xxx ”的否定是（）
A . 0
2
00 ,2 xxx B. 0
2
00 ,2 xxx C. xxx 2,2 D. xxx 2,2
4.如图，角 ， 均以Ox 为始边，终边与单位圆O 分别交于点 A，B，则OA OB（）
A.sin( ) B.sin( ) C.cos( ) D.cos( )
第 4 题图 第 5 题图 第 6 题图
5. 已知我市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图 1 和图 2 所示，为了解该小
区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取 30%的户主进行调查，则样本容量和抽取
的户主对四居室满意的人数分别为（）
A. 240，18 B. 200，20 C. 240，20 D. 200，18
6.某空间几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图均为边长为 1 的等腰直角三角形，则此空间
几何体的表面积是（）
A.
2
32 B.
2
31 C.
2
132 D. 32
7.《孙子算经》中有这样一道题目：“今有百鹿入城，家取一鹿不尽，又三家共一鹿适尽，问城中家几
何？”意思是：有100头鹿，每户人家分1头还有剩余；每3户人家再分1头，正好分完，问共有多少
户人家？设计流程图如下，则输出的值是（）
开始 i = 1 i ≠3*(100-i ) i = i +1 输出 i 结束是
否
A.74 B. 75 C. 76 D. 77
8. 中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、狗、
龙、蛇、马、羊、猴、鸡、猪）中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一
个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让
三位同学选取礼物都满意，则选法有（）
A．30 种 B．50 种 C．60 种 D．90 种
9. 设
0,1
0,1)( 2 xx
xxxf , 5.07.0 a , 7.0log 5.0b ， 5log 7.0c ,则（）
A. )()()( cfbfaf B. )()()( cfafbf
B. )()()( bfafcf D. )()()( afbfcf
10.在 ABC 中，角 CBA ,, 所对的边分别为 cba ,, ，若 7tan,5
4sin,4 CAa ，则 的面积
为（）
A． 27 B．7 C． 214 D．14
11．已知双曲线 )0,0(12
2
2
2
bab
y
a
x 的左，右焦点分别为 21 FF， .假定双曲线的左支上存在一点 P
（在 x 轴上方），使得 2PF 垂直于双曲线的一条渐近线，垂足为 H ，且 HFPF 22 4 ，则该双曲
线的离心率为（）
A．
3
62 B．
3
5 C．
2
13 D．
3
4
12．已知函数 |)( 1 xxexf ，关于 x 的方程 0cos)(sin2)(2 xfxf 有四个不等实根，
cossin 恒成立，则实数 的最大值为（）
A. 5
7 B. 2
1 C. 2 D. 1 第 3 页（共 4 页） ·理第 4 页（共 6 页）·理
第（Ⅱ）卷
二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13. 已知向量| |=l，| |= 2 ，且 •（2 + ）=1，则向量 ， 的夹角的余弦值为________.
14. 若任取实数对( , )(0 1,0 1),x y x y 则“ 1
2 x y x ”的概率为________.
15. 函数 )(xf 是定义域为 R 的奇函数，且 )5( xf 是偶函数，则 )2020()2010()2000( fff =_.
16. 已知某个机械零件是由两个有公共底面的圆锥组成的，且这两个圆锥有公共点的母线互相垂直，
把这个机械零件打磨成球形，该球的半径最大为 1，设这两个圆锥的高分别为 21,hh ，则 21 hh 的
最小值为__________.
三、解答题（共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第 17〜21 题为必考题，每个试题
考生都必须作答.第 22, 23 题为选考题，考生根据要求作答）
（一）必考题：共 60 分．
17. （本小题满分 12 分）
已知数列 na 满足： 1 2 3 nna a a a n a ，（ 1,2,3,n ）
（1）求证：数列 1na 是等比数列；
（2）令 21nnb n a ，（ 1,2,3,n ），如果对任意 *Nn ，都有 21
4nb t t，
求实数t 的取值范围.
18.（本小题满分 12 分）
如图，已知四边形 ABCD满足 aBCDCADBABCAD 2
1,// ，E 是 BC的中点，将 BAE 沿
AE 翻折成 AEB1 ，使得 aDB 2
6
1 ， F 为 DB1 的中点.
（1）证明： //1EB 平面 ACF ；
（2）求平面 1ADB 与平面 1ECB 所成锐二面角的余弦值.
19.（本小题满分 12 分）为响应绿色出行，某市在推出“共享单车”后，又推出“新能源分时租赁汽车”．其
中一款新能源分时租赁汽车，每次租车收费的标准由两部分组成：①根据行驶里程数按 1 元/公里计费；
②行驶时间不超过 40 分时，按 0.12 元/分计费；超过 40 分时，超出部分按 0.2 元/分计费．
已知王先生家离上班地点 15 公里，每天租用该款汽车上、下班各一次．由于堵车、红绿灯等因素，
每次路上开车花费的时间t (分)是一个随机变量．现统计了 50 次路上开车花费时间，在各时间段
内的频数分布情况如下表所示：
时间t （分）
频数 2 18 20 10
将各时间段发生的频率视为概率，每次路上开车花费的时间视为用车时间，范围为(20,60]分．
（1）写出王先生一次租车费用 y （元）与用车时间t （分）的函数关系式；
（2）若王先生一次开车时间不超过 40 分为“路段畅通”，设 表示 3 次租用新能源分时租赁汽车
中“路段畅通”的次数，求 的分布列和期望；
（3）若公司每月给 1000 元的车补，请从费用的角度估计王先生每月（按 22 天计算）的车补是否
足够上、下班租用新能源分时租赁汽车,并说明理由．（同一时段，用该区间的中点值作代表）
20. （本小题满分 12 分）已知椭圆 14: 2
2
1 yxC 的左、右两个顶点分别为 , B, 点 P 为椭圆 1C 上异
于 ,B 的一个动点，设直线 PA,PB 的斜率分别为 21,kk ，若动点 与 的连线斜率分别为 43,kk ，
且 )0(2143 kkkk ，记动点 的轨迹为曲线 2C .
（1）当 4 时，求曲线 2C 的方程；
（2）已知点 )2
11( ，M ，直线 与 分别与曲线 2C 交于 两点，设 AMF 的面积为 1S ，
BME 的面积为 2S ，若 ]31[ ， ，求
2
1
S
S 的取值范围.
21. （本小题满分 12 分）
设函数 .)(,)1(ln)( 2 exexgxbaxxxxf x ．
（1）当 0b 时，函数 )(xf 有两个极值点，求 a 的取值范围； 第 5 页（共 4 页） ·理第 6 页（共 6 页）·理
（2）若 )(xfy 在点 ))1(,1( f 处的切线与 x 轴平行，且函数 )()()( xgxfxh 在
),1( x 时，其图象上每一点处切线的倾斜角均为锐角，求 a 的取值范围．
(二)选考题（共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分）
22. （本小题满分 10 分）[选修 4—4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点O 为极点,， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 M
的极坐标方程为 cos2 ，若极坐标系内异于O 的三点 ),( 1 A , ),6,( 2
B
)0,0,0)(6,( 3213 C 都在曲线 M 上.
（1）求证： 3213 ；
（2）若过 B,C 两点直线的参数方程为
ty
tx
2
1
2
32
（t 为参数），求四边形OBAC的面积.
23. （本小题满分 10 分）[选修 4—5：不等式选讲]
已知函数 ( ) | | 2 | 1| ( 0).f x x m x m
（1）当 2m 时，求不等式 ( ) 8 ;fx 的解集
（2）若不等式 ( 1) 3fx的解集为，求实数m 的取值范围.
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