数学（理）试题.pdf

试卷第 1页，总 5页 2020 届高三年级数学（理）模拟试题四 一、单选题（每小题 5 分，共 12 小题） 1．已知集合 {( , ) | 2 1 0},A x y x y    {( , ) | 0}B x y x y   ，则 A B  （ ） A．{ 1, 1}x y  B．{1,1} C．{(1,1)} D． 2．已知 p ， qR ，1 i 是关于 x 的方程 2 0x px q   的一个根，则 p q  （） A． 4 B． 0 C． 2 D． 4 3．下列命题中错误．．的是（ ） A．若命题 p 为真命题，命题 q为假命题，则命题“ ( )p q  ”为真命题 B．命题“若 7a b  ，则 2a  或 5b  ”为真命题 C．命题“若函数 ( )f x 的导函数 ( )f x 满足 0( ) 0f x  ，则 0x 是函数 ( )f x 的极值点”的逆否 命题是真命题 D．命题 p： 0, sin 2 1xx x    ，则 p 为 0, sin 2 1xx x  „ 4．若 3sin 12 2       ，则 2sin 2 3      （ ） A． 1 2 B． 1 2  C． 3 2 D． 3 2  5．若 0 3 sinm xdx    ，则二项式 12 m x x     的展开式中的常数项为（ ） A．6 B．12 C．60 D．120 6．若不等式 1 1 01 4 mx x    对 10, 4x     恒成立，则实数 m 的最大值为（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 7．若 1a b c   且 2ac b ，则（ ） A． log log loga b cb c a  B． log log logc b ab a c  C． log log logb a cc b a  D． log log logb c aa b c  8．若 X 是离散型随机变量， 1 2( ) 3P X x  ， 2 1( ) 3P X x  ，又已知 3( 4)E X  ， 2( ) 9D X  ，则 1 2x x 的值为（ ）试卷第 2页，总 5页 A． 5 3 B． 2 3 C．3 D．1 9．如图是求 的程序框图，图中空白框中应填入（ ） A．A= B．A= C．A= D．A= 10．已知正三棱柱 1 1 1ABC A B C ，侧面 1 1BCC B 的面积为 4 3 ，则该正三棱柱外接球表面 积的最小值为（ ） A． 4 B．8 C．8 3 D．16 11．物线 2 2 ( 0)x py p  的焦点为 F ，已知点 ,A B 为抛物线上的两个动点，且满足 60AFB   ，过弦 AB 的中点C 作该抛物线准线的垂线CD ，垂足为 D ，则 AB CD   的最小 值为 ( ) A． 3 B．1 C． 2 3 3 D．2 12．已知函数 2 1( 0)( ) 2 1( 0) x x xf x e x x x         ，若函数 ( ( ) ) 1y f f x a   有三个零点，则实数 a 的取值范围是（ ） A． 1(1 1 ) (2 3]e ， ，  B． 1 1(1 1 ) (2 3] 3e e        ， ， C． 1 1(1 1 ) [2 3) 3e e        ， ， D． 2(1 1 ) (2 3]e  ， ，试卷第 3页，总 5页 二、填空题（每小题 5 分，共 4 小题） 13．已知 x ， y N*，满足 1 1 1 2019x y   ，则所有数对 ( , )x y 的个数是____． 14．已知四个数 1 2 3 4, , ,a a a a 依次成等比数列，且公比  0q q  不为 1.将此数列删去一个数 后得到的数列(按原来的顺序)是等差数列，则 q的取值集合是_______ 15．已知二进制和十进制可以相互转化，例如 6 5 4 3 2 1 089 1 2 0 2 1 2 1 2 0 2 0 2 1 2              ，则十进制数 89 转化为二进制数 为 2(1011001) .将 n 对应的二进制数中 0 的个数，记为 na （例如： 24 (100) ， 251 (110011) ， 289 (1011001) ，则 4 2a  ， 51 2a  ， 89 3a  ），记 ( ) 2 naf n  ，则 2018 2018 2018 2019(2 ) (2 1) (2 2) ... (2 1)f f f f        __________． 16．在锐角 ABC△ 中，内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ，若 3 sinb c A ，则 tan tan tanA B C  的最小值为__________． 三、解答题 17．设数列 na 满足  * 1 6 4 n n n aa na   N ，其中 1 1a  . （Ⅰ）证明： 3 2 n n a a      是等比数列； （Ⅱ）令 11 2n n b a    ，设数列 (2 1) nn b  的前 n 项和为 nS ，求使 2019nS  成立的最 大自然数 n 的值. 18．某购物商场分别推出支付宝和微信“扫码支付”购物活动，活动设置了一段时间的推广 期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用“扫码支付”．现统计了活动 刚推出一周内每天使用扫码支付的人次，用 x 表示活动推出的天数， y 表示每天使用扫码 支付的人次，统计数据如下表所示： x 1 2 3 4 5 6 7 y 6 11 21 34 66 101 196 （1）根据散点图判断，在推广期内，扫码支付的人 y 次关于活动推出天数 x 的回归方程适 合用 xy c d  来表示，求出该回归方程，并预测活动推出第8 天使用扫码支付的人次； 参考数据：设 lgi iv y ， 7 1 1 1.527 i i v v    ， 7 1 49.56i i i x v    ， 0.5210 3.31试卷第 4页，总 5页 参考公式：对于一组数据 1 1,u v ， 2 2,u v ，…， ,n nu v ，其回归直线 ˆˆˆv u    19．如图，在三棱台 ABC DEF 中， 2AB BC AC   ， 1AD DF FC   ，N 为 DF 的中点，二面角 D AC B  的大小为 . （1）证明： AC BN ； （2）当 为何值时，直线 AD 与平面 BEFC 所成角的正弦值为 21 7 20．已知圆 C1 的圆心在坐标原点 O，且恰好与直线 1 : 2 2 0l x y   相切． (Ⅰ)求圆 C1 的标准方程； (Ⅱ)设点 A 为圆上一动点，AN 垂直于 x 轴于点 N，若动点 Q 满足  1OQ mOA m ON     (其中 m 为非零常数)，试求动点 Q 的轨迹方程； (Ⅲ)在(Ⅱ)的结论下，当 m＝ 3 2 时，得到动点 Q 的轨迹为曲线 C，与 l1 垂直的直线 l 与曲 线 C 交于 B，D 两点，求△OBD 面积的最大值． 21．设函数   cosF x x x  ，直线 y mx n  是曲线  y F x 的切线， (I)当 0 2x   时，求 m n 的极大值； (II)曲线  y F x 是否存在“上夹线”，若存在，请求出  F x 的“上夹线”方程；若不存在， 请说明理由． （注）设直线  :l y g x ，曲线  :S y F x ，若直线 l 和曲线 S 同时满足下列条件：① 直线l 和曲线 S 相切且至少有两个切点； ②对任意的 xR ，都有直线    g x F x ．则称直线 l 为曲线 S 的“上夹线”．试卷第 5页，总 5页 22．在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 x t y m t     (t 为参数，m∈R)，以原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程 2 2 3 3 2cos    (0≤θ≤π)． (1)写出曲线 C1 的普通方程和曲线 C2 的直角坐标方程； (2)已知点 P 是曲线 C2 上一点，若点 P 到曲线 C1 的最小距离为 2 2 ，求 m 的值． 23．设函数   2 2f x x x a    ． （1）当 1a  时，求不等式   3f x  的解集； （2）当   2f x x a   时，求实数 x 的取值范围．