高一年级疫情防控延期开学期间数学辅导测试三
一、单选题（共 12 题；共 60 分）
1. 已知幂函数 f（x）=λ•xα 的图象过点 ，则 λ+α=（ ）
A. 2 B. 1 C. D.
2. 三个数 0.993.3 ， log3π，log20.8 的大小关系为（ ）
A. log20.8＜0.993.3＜log3π B. log20.8＜log3π＜0.993.3
C. 0.993.3＜log20.81＜log3π D. log3π＜0.993.3＜log20.8
3. 已知函数 f（x）=x2•sin（x﹣π），则其在区间[﹣π，π]上的大致图象是（ ）
A. B. C. D.
4.已知函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，当 x≥0 时，f（x）=x2﹣2sinx，则当 x＜0 时，f
（x）=（ ）
A. ﹣x2﹣2sinx B. ﹣x2+2sinx C. x2+2sinx D. x2﹣2sin
x
5. 某商场在 2020 年元旦开展“购物折上折”活动，商场内所有商品先按标价打八折，折后价格
每满 500 元再减 100 元，如某商品标价 1500 元，则购买该商品的实际付款额为
1500×0.8﹣200=1000 元．设购买某商品的实际折扣率= ，某人欲购买标价为 2700 元的商品，
那么他可以享受的实际折扣率约为（ ）
A. 55% B. 65% C. 75% D. 80%
6. 已知锐角 α 终边上一点 A 的坐标为（2sin3，﹣2cos3），则角 α 的弧度数为（ ）
A. 3 B. π﹣3 C. 3﹣ D. ﹣3
7. 已知当 时，函数 y=sinx+acosx 取最大值，则函数 y=asinx﹣cosx 图象的一条对称轴为（ ）
A. B. C. D.
8.已知△ABC 的三个顶点 A、B、C 及平面内一点 P 满足 ，则点 P 与△ABC 的关系为（ ）
A. P 在△ABC 内部 B. P 在△ABC 外部 C. P 在 AB 边所在直线上 D. P 是 AC 边
的一个三等分点
9. 设 f（sinα+cosα）=sinα•cosα，则 f（sin ）的值为（ ）
A. B. C. D.
10. 函数 y=sin （2x+ ）的图象可由函数 y=cosx 的图象（ ）
A. 先把各点的横坐标缩短到原来的 倍，再向左平移 个单位
B. 先把各点的横坐标缩短到原来的 倍，再向右平移 个单位
C. 先把各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，再向左平移 个单位
D. 先把各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，再向右平移 个单位
11. 已知函数 f（x）= （a∈A），若 f（x）在区间（0，1]上是减函数，则集合 A 可以是
（ ）
A. （﹣∞，0） B. [1，2） C. （﹣1，5] D. [4，
6]
12. 设 f（x）是定义在 R 上的偶函数，且 f（2+x）=f（2﹣x），当 x∈[﹣2，0]时，f（x）=（ ）
x﹣1，若在区间（﹣2，6）内关于 x 的方程 f（x）﹣log a（x+2）=0，恰有 4 个不同的实数根，
则实数 a（a＞0，a≠1）的取值范围是（ ）
A. （ ，1） B. （1，4） C. （1，8） D. （8，+∞）
二、填空题（共 4 题；共 20 分）
13. 函数 的定义域为________．
14. 函数 f（x）=2sinωx（ω＞0）在[0， ]上单调递增，且在这个区间上的最大值是 ，则 ω
的值为________．
15. 若函数 的定义域和值域都是 ，则 ________．
16. 的值等于________．
三、解答题（共 6 题；共 70 分）
17. ( 10 分 )
如图△ABC，点 D 是 BC 中点， =2 ，CF 和 AD 交于点 E，设 =a， =b． （1）以 a，b 为基底表示向量 ， ．
（2）若 =λ ，求实数 λ 的值．
18. ( 12 分 ) 已知函数 ．
（1）求函数 f（x）的对称中心；
（2）若 ，不等式|x﹣m|＜3 的解集为 B，A∩B=A，求实数 m 的取值范围．
19. ( 12 分 ) 在△ABC 中， = +
（Ⅰ）求△ABM 与△ABC 的面积之比
（Ⅱ）若 N 为 AB 中点， 与 交于点 P 且 =x +y （x，y∈R），求 x+y 的值．20. ( 12 分 ) 已知函数 f（x）=2sinωxcosωx+2 sin2ωx﹣ （ω＞0）的最小正周期为 π．
（Ⅰ）求函数 f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）将函数 f（x）的图象向左平移 个单位，再向上平移 1 个单位，得到函数 y=g（x）的
图象．若 y=g（x）在[0，b]（b＞0）上至少含有 10 个零点，求 b 的最小值．
21. ( 12 分 ) 已知函数 ，θ∈[0，2π）
（1）若函数 f（x）是偶函数：①求 tanθ 的值；②求 的值．
（2）若 f（x）在 上是单调函数，求 θ 的取值范围． 22. ( 12 分 ) 已知函数 f（x）=x﹣a，g（x）=a|x|，a∈R．
（1）设 F（x）=f（x）﹣g（x）．
①若 a= ，求函数 y=F（x）的零点；
②若函数 y=F（x）存在零点，求 a 的取值范围．
（2）设 h（x）=f（x）+g（x），x∈[﹣2，2]，若对任意 x1，x2∈[﹣2，2]，|h（x1）﹣h（x2）
|≤6 恒成立，试求 a 的取值范围．
答案部分
一、单选题
1.C
2. A 解：∵0＜0.993.3＜1，log3π＞1，log20.8＜0，
∴log20.8＜0.993.3＜log3π，故选：A．
3.D 解：f（x）=x2•sin（x﹣π）=﹣x2•sinx，
∴f（﹣x）=﹣（﹣x）2•sin（﹣x）=x2•sinx=﹣f（x），∴f（x）奇函数，
∵当 x= 时，f（ ）=﹣ ＜0，故选：D
4. A 解：函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），
当 x≥0 时，f（x）=x2﹣2sinx，当 x＜0 时，则﹣x＞0，可得 f（﹣x）=x2+2sinx=﹣f（x），
∴f（x）=﹣x2﹣2sinx，故答案为：A．
5. B 解：当购买标价为 2700 元的商品时，
产品的八折后价格为：2700×0.8=2160，故实际付款：2160﹣400=1760，
故购买某商品的实际折扣率为： ≈65%，故答案为：B
6.C 解：∵锐角 α 终边上一点的坐标为（2sin3，﹣2cos3），
由任意角的三角函数的定义可得 tanα=﹣cot3=tan（ 3﹣ ），
又 3﹣ ∈（0， ），∴α=3﹣ ．故选 C
7.A 解：∵当 时，函数 y=sinx+acosx 取最大值， ∴ 解得： ，
∴ ，∴ 是它的一条对称轴，故选 A．8.D 解：∵ ， ∴ ，∴ ，
∴P 是 AC 边的一个三等分点．故选项为 D
9. A 解：令 sinα+cosα=t（t∈[﹣ ， ]），
平方后化简可得 sinαcosα= ，再由 f（sinα+cosα）=sinαcosα，得 f（t）= ，
所以 f（sin ）=f（ ）= =﹣ ．故答案为：A．
10.B 解：把函数 y=cosx=sin（x+ ）的图象的横坐标变为原来的 倍，可得 y=sin（2x+ ）
的图象，再把所得图象再向右平移 个单位，可得 y=sin[2（x﹣ ）+ ]=sin（2x+ ）的图
象，故答案为：B．
11. A 解：由题意，f（x）在区间（0，1]上是减函数．函数 f（x）= （a∈A），
当 a=0 时，函数 f（x）不存在单调性性，故排除 C．
当 a＜0 时，函数 y= 在（0，1]上是增函数，而分母是负数，可得 f（x）在区间（0，1]上是
减函数，故 A 对．
当 1≤a＜2 时，函数 y= 在（0，1]上是减函数，而分母是负数，可得 f（x）在区间（0，1]上
是增函数，故 B 不对．
当 4≤a≤6 时，函数 y= 在（0，1]上可能没有意义．故 D 不对．故选 A．
12. D 解：对于任意的 x∈R，都有 f（2+x）=f（2﹣x），
∴f（x+4）=f[2+（x+2）]=f[（x+2）﹣2]=f（x），∴函数 f（x）是一个周期函数，且 T=4．
又∵当 x∈[﹣2，0]时，f（x）=（ ）x﹣1，且函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数，
若在区间（﹣2，6）内关于 x 的方程 f（x）﹣log a（x+2）=0，恰有 4 个不同的实数解，
则函数 y=f（x）与 y=log a（x+2），在区间（﹣2，6）上有四个不同的交点，如下图所示：
又 f（﹣2）=f（2）=f（6）=1，
则对于函数 y=log a（x+2），根据题意可得，当 x=6 时的函数值小于 1，
即 log a8＜1，由此计算得出：a＞8，∴a 的范围是（8，+∞），故答案为：D．
二、填空题13. 解：要使函数有意义，需
，解得 故答案为 ．
14. 解：∵函数 f（x）=2sinωx（ω＞0）在[0， ]上单调递增，∴ ≤ ．
再根据在这个区间上 f（x）的最大值是 ，可得 ω• = ，则 ω= ，故答案为： ．
15. . 当 时，函数 递增，又函数 的定义域和值域都是 ， 则： ，此不等式组无解。
当 时，函数 递减，又函数 的定义域和值域都是 ，
则： ，解得： ，
所以 .
16. 解： = ﹣ = = = = ．故答案为： ．
三、解答题
17.（1）解：因为点 D 是 BC 中点，
所以 2 = + ，即 =2 ﹣ ，
所以 = ﹣ =2 ﹣ ﹣ =2 ﹣ ，
（2）解： =λ = （ + ）= + ，
因为点 C，E，F 共线，所以 + λ=1，所以 λ= ．
18.（1）解： ，
解得：
（2）解： ，不等式|x﹣m|＜3 的解集为 B，A∩B=A，
，∴ ，∴A=[1，2]，又解得 B=（m﹣3，m+3）
而 A∩B=A⇒A⊆B∴ ，得﹣1＜m＜4
19.解：（Ⅰ）在△ABC 中， = + ⇒ ⇒3
⇒3 ，即点 M 在线段 BC 上的靠近 B 的四等分点，
∴△ABM 与△ABC 的面积之比为 ．
.,0,62
k Zk ∈
+ ππ（Ⅱ）∵ = + ， =x +y （x，y∈R）， ，
∴设 = = ；
∵三点 N、P、C 共线，∴ ， ，x+y= ．
20.解：（Ⅰ）由题意，可得
f（x）= = ．
∵函数的最小正周期为 π，∴ =π，解之得 ω=1．由此可得函数的解析式为
．
令 ，解之得
∴函数 f（x）的单调增区间是 ．
（Ⅱ）将函数 f（x）的图象向左平移 个单位，再向上平移 1 个单位，可得函数 y=f（x+
）+1 的图象，
∵
∴g（x）= +1=2sin2x+1，可得 y=g（x）的解析式为 g（x）
=2sin2x+1．
令 g（x）=0，得 sin2x=﹣ ，可得 2x= 或 2x=
解之得 或 ．
∴函数 g（x）在每个周期上恰有两个零点，
若 y=g（x）在[0，b]上至少含有 10 个零点，则 b 不小于第 10 个零点的横坐标即可，
即 b 的最小值为 ．
21.（1）解：∵函数 f（x）是偶函数，∴ ∴
①tanθ= ② =
（2）解：f（x）的对称轴为 ，
或 ，
或 （9 分），
∵θ∈[0，2π），∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ， ，∴
22.（1）解：F（x）=f（x）﹣g（x）=x﹣a﹣a|x|， ①若 a= ，则由 F（x）=x﹣ |x|﹣
=0 得： |x|=x﹣ ，当 x≥0 时，解得：x=1；当 x＜0 时，解得：x= （舍去）；
综上可知，a= 时，函数 y=F（x）的零点为 1；
②若函数 y=F（x）存在零点，则 x﹣a=a|x|，当 a＞0 时，作图如下：
由图可知，当 0＜a＜1 时，折线 y=a|x|与直线 y=x﹣a 有交点，即函数 y=F（x）存在零点；
同理可得，当﹣1＜a＜0 时，求数 y=F（x）存在零点；
又当 a=0 时，y=x 与 y=0 有交点（0，0），函数 y=F（x）存在零点；
综上所述，a 的取值范围为（﹣1，1）．（2）∵h（x）=f（x）+g（x）=x-a+a|x|，x∈[-2，2]， ∴当-2≤x＜0 时，h（x）=（1-a）x-a；
当 0≤x≤2 时，h（x）=（1+a）x-a； 又对任意 x1 ， x2∈[-2，2]，|h（x1）-h（x2）|≤6 恒成立，
则 h（x1）max-h（x2）min≤6， ①当 a≤-1 时，1-a＞0，1+a≤0，h（x）=（1-a）x-a 在区间[-2，
0）上单调递增； h（x）=（1+a）x-a 在区间[0，2]上单调递减（当 a=-1 时，h（x）=-a）； ∴h
（x）max=h（0）=-a，又 h（-2）=a-2，h（2）=2+a， ∴h（x2）min=h（-2）=a-2， ∴-a-（a-2）
=2-2a≤6，解得 a≥-2， 综上，-2≤a≤-1； ②当-1＜a＜1 时，1-a＞0，1-a＞0，∴h（x）=（1-a）
x-a 在区间[-2，0）上单调递增， 且 h（x）=（1+a）x-a 在区间[0，2]上也单调递增， ∴h
（x）max=h（2）=2+a，h（x2）min=h（-2）=a-2， 由 a+2-（a-2）=4≤6 恒成立，即-1＜a＜1 适
合题意； ③当 a≥1 时，1-a≤0，1+a＞0，h（x）=（1-a）x-a 在区间[-2，0）上单调递减 （当
a=1 时，h（x）=-a），h（x）=（1+a）x-a 在区间[0，2]上单调递增； ∴h（x）min=h（0）=-a；
又 h（2）=2+a＞a-2=h（-2）， ∴h（x）max=h（2）=2+a， ∴2+a-（-a）=2+2a≤6，解得 a≤2，
又 a≥1， ∴1≤a≤2； 综上所述，-2≤a≤2．
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