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数学试卷
考试时间：120 分钟 满分：150 分
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）
1. 已知实数集 R，集合퐴 = {푥|1 < 푥 < 3}，集合퐵 = {푥|푦 = 1
√푥−2}，则 퐴 ∩ (∁푅퐵) = ( )
A. {푥|1 < 푥 ≤ 2} B. {푥|1 < 푥 < 3} C. {푥|2 ≤ 푥 < 3} D. {푥|1 < 푥 < 2}
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查交、补集的混合运算，以及函数的定义域，属于基础题．
由函数的定义域求出集合 B，由补集的运算求出∁푅퐵，由交集的运算求出퐴 ∩ (∁푅퐵)．
【解答】
解：由푥 − 2 > 0得푥 > 2，则集合퐵 = {푥|푥 > 2}，所以∁푅퐵 = {푥|푥 ≤ 2}，
又集合퐴 = {푥|1 < 푥 < 3}，则퐴 ∩ (∁푅퐵) = {푥|1 < 푥 ≤ 2}．
故选 A．
2. 已知函数푓(푥) = 4푥2 + 푘푥 − 1在区间[1,2]上是单调函数，则实数 k 的取值范围是
( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查二次函数的单调性的判断，注意运用分类讨论的思想方法，考查运算能力，属
于基础题．
求出푓(푥)的对称轴方程，讨论푓(푥)在区间[1,2]上是单调增函数和减函数，注意对称轴和
区间的关系，解不等式即可得到所求范围．
【解答】
解：函数푓(푥) = 4푥2 + 푘푥 − 1的对称轴为푥 = − 푘
8，
若푓(푥)在区间[1,2]上是单调增函数，
可得− 푘
8 ≤ 1，解得푘 ≥ −8．
若푓(푥)在区间[1,2]上是单调减函数，
可得− 푘
8 ≥ 2，解得푘 ≤ −16．
综上可得 k 的取值范围是 ．
故选 A．
3. 用二分法求方程的近似解，求得푓(푥) = 푥3 + 2푥 − 9的部分函数值数据如表所示：
x 1 2 1.5 1.625 1.75 1.875 1.8125
푓(푥) −6 3 −2.625 −1.459 −0.14 1.3418 0.5793
则当精确度为0.1时，方程푥3 + 2푥 − 9 = 0的近似解可取为( ) 第 2 页，共 11 页
A. 1.6 B. 1.7 C. 1.8 D. 1.9
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了函数的零点与方程的根的关系应用及二分法的应用，属于基础题．
由二分法及函数零点的判定定理可知．
【解答】
解：由表格可得，
函数푓(푥) = 푥3 + 2푥 − 9的零点在(1.75,1.825)之间；
结合选项可知，
方程方程푥3 + 2푥 − 9 = 0的近似解可取为(精确度为0.1)可以是1.8；
故选：C．
4. 函数푦 = 2푥2 − 푒|푥|在[−2,2]的图象大致为( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】【分析】
本题考查的知识点是函数的图象，属于基础题．
根据已知函数的解析式，分析函数的奇偶性，最大值及单调性，利用排除法，可得答案．
【解答】
解：∵ 푓(푥) = 푦 = 2푥2 − 푒|푥|，
∴ 푓(−푥) = 2(−푥)2 − 푒|−푥| = 2푥2 − 푒|푥|，
故函数为偶函数，
当푥 = ±2时，푦 = 8 − 푒2 ∈ (0,1)，故排除 A，B；
当푥 ∈ [0,2]时，푓(푥) = 푦 = 2푥2 − 푒푥，
则 有解为푥0，
当푥 ∈ [0, 푥0]时，
푥 ∈ [푥0, +∞]时， 0,'/>
故函数푦 = 2푥2 − 푒|푥|在[0,2]不是单调的，故排除 C，
故选 D.
5. 在下列各区间中，函数푓(푥) = 2푥3 − 3푥 − 9的零点所在的区间为( )
A. (−1,0) B. (0,1) C. (1,2) D. (2,3)第 3 页，共 11 页
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了零点存在性定理，属于基础题．
【解答】
解：∵函数푓(푥) = 2푥3 − 3푥 − 9是连续函数，
푓(−1) = −8，푓(0) = −9，푓(1) = −10，푓(2) = 1，푓(3) = 36，
根据零点存在性定理，
∵ 푓(1) · 푓(2) < 0，
∴函数在(1,2)存在零点．
故选：C．
6. 已知函数푦 = 푓(푥)定义域是[−2,3]，则푦 = 푓(2푥 − 1)的定义域是( )
A. [0, 5
2] B. [−1,4] C. [− 1
2 , 2] D. [−5,5]
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查函数定义域的求解，是基础题，
根据函数定义域之间的关系得−2 ≤ 2푥 − 1 ≤ 3，计算得结论．
【解答】
解：因为函数푦 = 푓(푥)定义域是[−2,3]，
所以−2 ≤ 2푥 − 1 ≤ 3，解得− 1
2 ≤ 푥 ≤ 2．
因此函数푦 = 푓(2푥 − 1)的定义域为[− 1
2 , 2]．
故选 C．
7. 已知偶函数푓(푥)在区间[0, +∞)单调递增，则满足 的 x 取值范围是
( )
A. (1
3 , 2
3) B. [1
3 , 2
3) C. (1
2 , 2
3) D. [1
2 , 2
3)
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查函数的奇偶性及单调性，同时考查不等式的求解，属于简单题．
根据函数奇偶性和单调性的性质，将不等式进行转化求解即可．
【解答】
解：∵ 푓(푥)是偶函数，
∴ 푓(푥) = 푓(|푥|)，
∴不等式等价为푓(|2푥 − 1|) < 푓(1
3)，
∵ 푓(푥)在区间[0, +∞)单调递增，
∴ |2푥 − 1| < 1
3，
解得1
3 < 푥 < 2
3．
故选 A． 第 4 页，共 11 页
8. 将函数 的图象向右平移1
4个周期后，所得图象对应的函数为( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】【分析】
本题考查三角函数的图象平移变换，注意相位变换针对自变量 x 而言，考查运算能力，
属于基础题和易错题．
求得函数 y 的最小正周期，即所对的函数式为푦 = 2푠푖푛[2(푥 − 휋
4) + 휋
6]，化简整理即可得
到所求函数式．
【解答】
解：函数푦 = 2푠푖푛(2푥 + 휋
6)的周期为푇 = 2휋
2 = 휋，
由题意函数푦 = 2푠푖푛(2푥 + 휋
6)的图象向右平移휋
4个单位，
可得图象对应的函数为푦 = 2푠푖푛[2(푥 − 휋
4) + 휋
6]，
即푦 = 2푠푖푛(2푥 − 휋
3).
故选 D．
9. 若函数푓(푥) = {(3 − 푎)푥 − 3, 푥 ≤ 7
푎푥−6, 푥 > 7 单调递增，则实数 a 的取值范围是( )
A. (9
4 , 3) B. [9
4 , 3) C. (1,3) D. (2,3)
【答案】B
【解析】【分析】
本题考查分段函数的单调性，指数函数的性质，考查学生的计算能力，属于中档题．
利用函数的单调性，判断指数函数以及一次函数的单调性，列出不等式求解即可，注意
两段函数在衔接点푥 = 7处的函数值大小的比较．
【解答】
解：∵函数푓(푥) = {(3 − 푎)푥 − 3, 푥 ≤ 7
푎푥−6, 푥 > 7 单调递增，
所以指数函数、一次函数均单调递增，
由指数函数以及一次函数的单调性的性质，可得3 − 푎 > 0且푎 > 1，
但应当注意两段函数在衔接点푥 = 7处的函数值大小的比较，
即(3 − 푎) × 7 − 3 ≤ 푎，解得푎 ≥ 9
4，
综上，实数 a 的取值范围是[9
4 , 3)．
故选 B．
10. 定义在 R 上的奇函数푓(푥)满足푓(푥 + 2) = − 1
푓(푥)，且在(0,1)上푓(푥) = 3푥，则
푓(log354) = ( )第 5 页，共 11 页
A. 3
2 B. 2
3 C. − 3
2 D. − 2
3
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查函数值的求法，指数函数、对数函数的运算与性质，函数的周期性及奇函数性
质的综合应用，利用条件求出函数的周期以及利用函数的性质逐步转化自变量是解题的
关键．
由已知条件和函数周期性的定义求出函数的周期，利用函数的周期性、奇函数的性质和
函数的解析式，逐步转化由运算性质求出푓(log354)的值．
【解答】
解：由푓(푥 + 2) = − 1
푓(푥)得，푓(푥 + 4) = − 1
푓(푥+2) = 푓(푥)，
所以函数푓(푥)的周期是 4，
因为푓(푥)是定义在 R 上的奇函数，且3 < log354 < 4，
则0 < 4 − log354 < 1，
且在(0,1)上，푓(푥) = 3푥，
所以푓(log354) = 푓(log354 − 4) = −푓(4 − log354)
．
故选 C．
11. 函数푦 = 퐴푠푖푛(휔푥 + 휑)(퐴 > 0, |휑| < 휋, 휔 > 0)的部分图
象如图所示，则( )
A. 푦 = 2푠푖푛(2푥 − 휋
6)
B. 푦 = 2푠푖푛(2푥 − 휋
3)
C. 푦 = 2푠푖푛(푥 + 휋
6)
D. 푦 = 2푠푖푛(푥 + 휋
3)
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查由푦 = 퐴푠푖푛(휔푥 + 휑)的部分图象确定其解析式，确定各个参数的值是解答的关
键，属于基础题．
根据已知中的函数푦 = 퐴푠푖푛(휔푥 + 휑)的部分图象，求出满足条件的 A，휔，휑值，可得
答案．
【解答】
解：由图可得函数的最大值为 2，最小值为−2，故 A= 2，
푇
2 = 휋
3 + 휋
6，故푇 = 휋，휔 = 2，
故푦 = 2푠푖푛(2푥 + 휑)． 第 6 页，共 11 页
将(휋
3 , 2)代入可得2푠푖푛(2휋
3 + 휑) = 2，
则 ，即 ，
|휑| < 휋，则 结合各选项可知 A 选项正确．
故选 A．
12. 已知奇函数푓(푥)的定义域为 R，若 푓(푥 + 2)为偶函数，且푓(−1) = −1，则 푓(2017) +
푓(2016) = ( )
A. −2 B. −1 C. 0 D. 1
【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性和对称性的性质求出函数的周期性是解决
本题的关键，属于基础题．
根据函数奇偶性的性质，推断出函数的周期是 8，利用函数奇偶性和周期性进行转化求
解即可．
【解答】
解：∵奇函数푓(푥)的定义域为 R，
∴ 푓(−푥) = −푓(푥)，푓(0) = 0，
∵ 푓(푥 + 2)为偶函数，
∴ 푓(−푥 + 2) = 푓(푥 + 2) = −푓(푥 − 2)，
则푓(푥 + 4) = −푓(푥)，则푓(푥 + 8) = −푓(푥 + 4) = 푓(푥)，
则函数푓(푥)的周期是 8，
则푓(2017) = 푓(252 × 8 + 1) = 푓(1) = −푓(−1) = 1，
푓(2016) = 푓(252 × 8) = 푓(0) = 0，
则푓(2017) + 푓(2016) = 0 + 1 = 1，
故选 D．
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）
13. 已知集合퐴 = {−1,0，1，2}，퐵 = {1,2，3}，则集合퐴 ∪ 퐵中所有元素之和是______．
【答案】5
【解析】解：∵集合퐴 = {−1,0，1，2}，퐵 = {1,2，3}，
∴ 퐴 ∪ 퐵 = {−1,0，1，1，2，3}，
∴集合퐴 ∪ 퐵中所有元素之和是：−1 + 0 + 1 + 2 + 3 = 5．
故答案为：5．
利用并集定义先求出퐴 ∪ 퐵，由此能求出集合퐴 ∪ 퐵中所有元素之和．
本题考查并集的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意并集定义的合理运用．
14. 已知点푃(1,2)在훼终边上，则 ______ ．
【答案】5
【解析】【分析】
本题主要考查任意角的三角函数的定义及同角三角函数基本关系式，属于基础题．
先由任意角的三角函数的定义求出正切值．再将代数式分子分母同除以余弦转化为关于
正切的代数式求解．
【解答】
解：∵点푃(1,2)在훼终边上， 第 7 页，共 11 页
∴ 푡푎푛훼 = 2，
则 ．
故答案为 5．
15. 已知函数푓(푥) = 푎푥3 + 푏푥 + 1，若푓(푎) = 8，则푓(−푎) =______ ．
【答案】−6
【解析】【分析】
本题考查了函数的奇偶性，考查学生的计算能力，属于基础题．
本题利用函数的奇偶性，得到函数解析式푓(−푥)与푓(푥)的关系，从而通过푓(−푎)的值求
出푓(푎)的值，得到本题结论．
【解答】
解：设푔(푥) = 푎푥3 + 푏푥，则푓(푥) = 푔(푥) + 1，
易知푔(푥)为奇函数，故푔(−푥) + 푔(푥) = 0，
故푓(−푥) + 푓(푥) = 푔(−푥) + 1 + 푔(푥) + 1 = 2，
故푓(−푎) = 2 − 푓(푎) = −6．
故答案为−6．
16. 函数푓(푥) = 푐표푠푥 − |푙푔푥|零点的个数为______．
【答案】4
【解析】【分析】
本题主要考查余弦函数，对数函数的图象，函数的零点与方程根的关系，属于中档题．
在同一直角坐标系中作出푦1 = 푐표푠푥和푦2 = |푙푔푥|的图象，由图可得当푥 > 0时，푦1 = 푐표푠푥
和푦2 = |푙푔푥|的图象有 4 个交点，由此可得函数푓(푥) = 푐표푠푥 − |푙푔푥|零点的个数．
【解答】
解：在同一直角坐标系中画出函数푦1 = 푐표푠푥，푦2 = |푙푔푥|的图象，如图所示：
函数푓(푥) = 푐표푠푥 − |푙푔푥|的零点，即方程푐표푠푥 = |푙푔푥|的实数根，
， ，
结合图可知当푥 > 0时，函数푦1 = 푐표푠푥和푦2 = |푙푔푥|的图象的交点个数为 4，
即푓(푥) = 푐표푠푥 − |푙푔푥|的零点有 4 个．
故答案为 4．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分）
17. 设全集为 R，퐴 = {푥|2 ≤ 푥 < 4}，퐵 = {푥|3푥 − 7 ≥ 8 − 2푥}．
(1)求퐴 ∪ (∁푅퐵)；
(2)若퐶 = {푥|푎 − 1 ≤ 푥 ≤ 푎 + 3}，퐴 ∩ 퐶 = 퐴，求实数 a 的取值范围．
【答案】解：(1)全集为 R，퐴 = {푥|2 ≤ 푥 < 4}，
퐵 = {푥|3푥 − 7 ≥ 8 − 2푥} = {푥|푥 ≥ 3}，
∁푅퐵 = {푥|푥 < 3}， 第 8 页，共 11 页
∴ 퐴 ∪ (∁푅퐵) = {푥|푥 < 4}；
(2)퐶 = {푥|푎 − 1 ≤ 푥 ≤ 푎 + 3}，
且퐴 ∩ 퐶 = 퐴，知퐴 ⊆ 퐶，
由题意知퐶 ≠ ⌀，∴ {
푎 + 3 ≥ 푎 − 1
푎 + 3 ≥ 4
푎 − 1 ≤ 2
,
解得{푎 ≥ 1
푎 ≤ 3,
∴实数 a 的取值范围是[1,3]．
【解析】本题考查了集合关系中的参数取值范围问题，考查了集合的交、并、补集的混
合运算，属于基础题．
(1)根据并集与补集的定义，计算即可；
(2)根据퐴 ∩ 퐶 = 퐴知퐴 ⊆ 퐶，列出不等式组求出实数 a 的取值范围．
18. 已知集合퐴 = {푥|푎푥2 − 3푥 + 2 = 0, 푎 ∈ 푅}．
(1)若 A 是空集，求 a 的取值范围；
(2)若 A 中只有一个元素，求 a 的值，并将这个元素写出来；
(3)若 A 中至多有一个元素，求 a 的取值范围．
【答案】解：(1)若 A 是空集，
则方程푎푥2 − 3푥 + 2 = 0无解
此时△= 9 − 8푎 < 0
即푎 > 9
8 ;
(2)若 A 中只有一个元素，
则方程푎푥2 − 3푥 + 2 = 0有且只有一个实根，
当푎 = 0时方程为一元一次方程，满足条件
当푎 ≠ 0，此时△= 9 − 8푎 = 0，解得：푎 = 9
8
∴ 푎 = 0或푎 = 9
8
若푎 = 0，则有퐴 = {2
3}，
若푎 = 9
8，则有퐴 = {4
3}；
(3)若 A 中至多只有一个元素，
则 A 为空集，或有且只有一个元素
由(1)，(2)得满足条件的 a 的取值范围是：푎 = 0或푎 ≥ 9
8
【解析】本题考查的知识点是元素与集合关系的判断，属于基础题，根据题目要求确定
集合中方程푎푥2 − 3푥 + 2 = 0根的情况，是解答本题的关键．
(1)퐴为空集，表示方程푎푥2 − 3푥 + 2 = 0无解，根据一元二次方程根的个数与△的关系，
我们易得到一个关于 a 的不等式，解不等式即可得到答案．
(2)若 A 中只有一个元素，表示方程푎푥2 − 3푥 + 2 = 0为一次方程，或有两个等根的二次
方程，分别构造关于 a 的方程，即可求出满足条件的 a 值和集合中的元素．
(3)若 A 中至多只有一个元素，则集合 A 为空集或 A 中只有一个元素，由(1)(2)的结论，第 9 页，共 11 页
将(1)(2)中 a 的取值并进来即可得到答案．
19. 计算：
(1)0. 027−1
3 − (− 1
7)−2 + 256
3
4 − 3−1 + (√2 − 1)0
．
【答案】解：(1)原式= 0．33×(−1
3) − 7−1×(−2) + 44×3
4 − 1
3 + 1 = 10
3 − 49 + 64 − 1
3 + 1 = 19；
(2)原式= 2 − 2 + 1
2 − 2 × 3 = − 11
2 ；
(3)原式= 2(푙푔5 + 푙푔2) + 푙푔5(푙푔2 + 1) + (푙푔2)2
= 2 + 푙푔2(푙푔5 + 푙푔2) + 푙푔5
= 2 + 푙푔2 + 푙푔5
= 3．
【解析】本题考查了指数与对数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
(1)利用指数的运算法则即可得出；
(2)利用对数的运算法则即可得出；
(3)利用对数的运算法则即可得出．
20. 已知푓 (푥)是二次函数，且푓 (−1) = 4，푓 (0) = 1，푓 (3) = 4．
(1)求푓 (푥)的解析式；
(2)若푥 ∈ [−1,5]，求函数푓 (푥)的值域．
【答案】解：(1)设二次函数푓(푥) = 푎푥2 + 푏푥 + 푐(푎 ≠ 0)，
由题意可得푓(−1) = 푎 − 푏 + 푐 = 4，푓(0) = 푐 = 1，푓(3) = 9푎 + 3푏 + 푐 = 4，
联立解得푎 = 1，푏 = −2，푐 = 1，
∴ 푓(푥) = 푥2 − 2푥 + 1；
(2)由(1)可得푓(푥) = 푥2 − 2푥 + 1 = (푥 − 1)2，
∴在푥 ∈ [−1,1]单调递减，在푥 ∈ [1,5]单调递增，
∴当푥 = 1时，函数取最小值푓(1) = 0；
当푥 = 5时，函数取最大值푓(5) = 16，
∴函数푓(푥)的值域为[0,16]
【解析】本题考查二次函数解析式的求解以及区间的最值，属基础题．
(1)设二次函数푓(푥) = 푎푥2 + 푏푥 + 푐，由题意可得 a、b、c 的方程组，解方程组可得；
(2)由(1)可得푓(푥)在푥 ∈ [−1,1]单调递减，在푥 ∈ [1,5]单调递增，由二次函数的性质可得．
21. 已知훼 ∈ (휋
2 , 휋)，푠푖푛훼 = √5
5
．
(1)求sin(휋
4 + 훼)的值；
(2)求cos(5휋
6 − 2훼)的值．
【答案】解：훼 ∈ (휋
2 , 휋)，푠푖푛훼 = √5
5 . ∴ 푐표푠훼 = −√1 − sin2훼 = − 2√5
5
(1)sin(휋
4 + 훼) = sin 휋
4 푐표푠훼 + cos 휋
4 푠푖푛훼 = √2
2 × (− 2√5
5 ) + √2
2 × √5
5 = − √10
10
； 第 10 页，共 11 页
∴ sin(휋
4 + 훼)的值为：− √10
10
．
(2) ∵ 훼 ∈ (휋
2 , 휋)，푠푖푛훼 = √5
5 . ∴ 푐표푠2훼 = 1 − 2푠푖푛2훼 = 3
5
，푠푖푛2훼 = 2푠푖푛훼푐표푠훼 = − 4
5
∴ cos(5휋
6 − 2훼) = cos 5휋
6 푐표푠2훼 + sin 5휋
6 푠푖푛2훼 = − √3
2 × 3
5 + 1
2 × (− 4
5) = − 4+3√3
10
．
cos(5휋
6 − 2훼)的值为：− 4+3√3
10
．
【解析】本题考查两角和与差的三角函数，三角函数的基本关系式的应用，考查计算能
力．
(1)通过已知条件求出푐표푠훼，然后利用两角和的正弦函数求sin(휋
4 + 훼)的值；
(2)求出푐표푠2훼，然后利用两角差的余弦函数求cos(5휋
6 − 2훼)的值．
22. 已知函数푓(푥) = √3푠푖푛2푥 + 2푠푖푛2푥.
(Ⅰ)求函数푓(푥)的单调增区间；
(Ⅱ)将函数푓(푥)的图象向左平移 휋
12个单位，再向下平移 1 个单位后得到函数푔(푥)的
图象，当푥 ∈ [− 휋
6 , 휋
3]时，求函数푔(푥)的值域．
【答案】解：푓(푥) = √3푠푖푛2푥 + 2푠푖푛2푥
= √3푠푖푛2푥 + 1 − 푐표푠2푥
= 2(√3
2 푠푖푛2푥 − 1
2 푐표푠2푥) + 1
= 2푠푖푛(2푥 − 휋
6) + 1．
(Ⅰ)由− 휋
2 + 2푘휋 ≤ 2푥 − 휋
6 ≤ 휋
2 + 2푘휋，푘 ∈ 푍，
解得− 휋
6 + 푘휋 ≤ 푥 ≤ 휋
3 + 푘휋, 푘 ∈ 푍．
∴函数푓(푥)的单调增区间为[− 휋
6 + 푘휋, 휋
3 + 푘휋]，푘 ∈ 푍；
(Ⅱ)将函数푓(푥)的图象向左平移 휋
12个单位，
得푦 = 2푠푖푛[2(푥 + 휋
12) − 휋
6] + 1 = 2푠푖푛2푥 + 1，
再向下平移 1 个单位后得到函数푔(푥) = 2푠푖푛2푥，
由푥 ∈ [− 휋
6 , 휋
3]，得2푥 ∈ [− 휋
3 , 2휋
3 ]，
∴ 푠푖푛2푥 ∈ [− √3
2 , 1]，
则函数푔(푥)的值域为[−√3, 2].
【解析】本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查푦 = 퐴푠푖푛(휔푥 + 휑)型函数的图象和
性质，属中档题．
利用倍角公式降幂后再由两角差的正弦公式化简．
(Ⅰ)由相位在正弦函数的增区间内求得 x 的取值范围，可得函数푓(푥)的单调增区间；
(Ⅱ)由函数的伸缩和平移变换求得푔(푥)的解析式，结合 x 的范围求得相位的范围，进一第 11 页，共 11 页
步求得函数푔(푥)的值域．
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