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2019-2020 学年度南昌市高三第二轮复习测试试卷
文科数学(七)
命题人:南大附中 陈一君 审题人:江科附中 梁懿涛
本试卷分必做题和选做题两部分.满分150 分,考试时间120 分钟.
注意事项:
1.客观题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用
橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.主观题用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写
作答.若在试题卷上作答,答题无效.
2.选做题为二选一,先在答题卡上把对应要选做的题目标号涂黑,没有选择作答无效.
3.考试结束后,监考员将答题卡收回
一.选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合
题目要求的.
1.已知全集为 R ,集合 R ( ) 0 , R ( ) 0A x f x B x g x ,则 ( ) ( ) 0f x g x 的解集为
A. A B B. RC A B C. RC A B D. RA C B
2.已知复数 z 满足 1 i 3 iz ,则复数 z 的共轭复数的模为
A. 2 B. 22 C. 2 D.1
3.已知命题 :p 00 x ,使得 0sin 00 xx ;命题 :q 若 nm, 是两条不同的直线, 是平面,
则 m , m n //n .则下列结论正确的是
A. qp B. qp
C. qp D. qp
4.若实数 yx, 满足不等式组
022
042
0
yx
yx
x
,
则 yxz 2 的最小值为
A.1 B. 4
C. 2 D. 4
5.执行如图所示的程序框图,若输出 M 的值
为3 ,则判断框中的条件可以为
A. 6i B. 7i C. 8i D. 6i
6.某学校为了了解学生的体能情况,对初一年级部分学生进行了体能测试,学生的测试成绩分
四类:A.优秀、B.良好、C.合格、D.不
合格,并将获得的成绩绘制成两辐不完
整的统计图(如图).若学校准备分批
对测试成绩不合格的学生加强体能训练,
第一批按男女比例随机抽取 6 名学生进
行训练,已知初一(3)班女生小李、小
王体能测试成绩不合格.则小李、小王 — 高三文科数学(七)第 2 页(共 4 页) —
都被抽到的概率为
A.
5
2 B.
5
1 C.
10
3 D.
10
1
7.函数
xx
xy sin
cos6
的部分图象大致为
A. B.
C. D.
8.在 ABC 中,D 为 AC 上的一点且 π2 2, 2, 4AD DC AB BAC ,E 为 BD 的中
点,则 BCAE
A.
4
12 B.
2
22 C.
2
12 D.
4
22
9.已知数列 na 的通项公式为 152 nan ,前 n 项和为 nS ,数列 na 的前 n 项和为 nT ,则下
列结论正确的是
①当 8n 时, nn ST ; ②当 8n 时, 72SST nn ;
③当 8n 时, nn ST ; ④当 8n 时, 7STn ;
A.①③ B.②④ C.②③ D.①④
10 . 已 知 双 曲 线 1: 2
2
2
2
b
y
a
xC 的 焦 点 为 1 2,F F , P 是 C 上 一 点 , 若 1 2
π
3F PF ,
421 FF , 1 2PF F 的面积 3 .则双曲线C 的渐近线方程为
A. 03 yx B. 03 yx C. 02 yx D. 02 yx
11.已知函数 xxaxxf 32
23 在区间 5,1 上不是单调函数,则 a 的取值范围为
A. 72( , ] [0, )5 B. 72( , ) (0, )5 C. 72( ,0)5 D. 72[ ,0]5
12.已知函数 2xf 的图像关于点 0,2 对称,且当 ,0x 时, xfxfx 恒成立,若
3cos,2cos,1cos cba ,则下列结论正确的是
A. bfafcf B. cbfbcf C. acfcaf D. bafabf
二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
13.函数
2
1
2
log (2 1)y x x 的单调递减区间为 . — 高三文科数学(七)第 3 页(共 4 页) —
14.已知 3(0, ),sin π( )4 5π ,则 cos .
15.已知函数 sin( )( 0)6
πf x x ,若导函数 xf 在区间 0, 2π 上有且仅有 5 个零点,则
的取值范围为 .
16.已知函数 xaxxxxf 1ln 与直线 1 xy 有两个不同的交点,则实数 a 的取值范围
为 .
三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(一)必做部分
17.(本小题满分 12 分)已知正项数列 na 的首项 21 a ,且满足 1
2
1
2 2 nnnn aaaa ( 2n 且
Nn )
(Ⅰ)求数列 na 的通项公式;
(Ⅱ)若 122log nn ab ,求数列
1
1{ }
n nb b
的前 n 项和 nT .
18.(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P ABCD 中, PA 平面 ABCD , ABC 是
正三角形, AC 与 BD 的交点 M 恰好是 AC 中点,
3 ABPA , CDAD , 120CDA ,过
点 M 的截面 //EFGH 平面 PCD .
(Ⅰ)求证:平面 PBD 平面 PAC ;
(Ⅱ)求四棱锥 ABEFH 的体积.
19.(本小题满分 12 分)某公司计划购买 1 台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有
一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个 200 元.在机器使用期间,
如果备件不足再购买,则每个 500 元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为
此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期
内更换的易损零件数,得下面柱状图:
记 x 表示 1 台机器在三年使用期内需更换的易
损零件数,y 表示 1 台机器在购买易损零件上所
需的费用(单位:元), n 表示购机的同时购买的
易损零件数.
(Ⅰ)若 n=19,求 y 与 x 的函数解析式;
(Ⅱ)若要求“需更换的易损零件数不大于 n ”
的频率不小于 0.5,求 n 的最小值;
(III)假设这 100 台机器在购机的同时每台都
购买 19 个易损零件,或每台都购买 20 个易损零件,分别计算这 100 台机器在购买易损零件上所需
费用的平均数,以此作为决策依据,购买 1 台机器的同时应购买 19 个还是 20 个易损零件?
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20.(本小题满分 12 分)已知抛物线C : )0(22 ppyx 与圆O : 1222 yx 相交于 A ,B 两
点,且点 A 的横坐标为 22 . F 是抛物线C 的焦点,过焦点的直线l 与抛物线C 相交于不同的两
点 ., NM
(Ⅰ)求抛物线C 的方程 ;
(Ⅱ)过点 NM, 作抛物线C 的切线 1 2,l l , 0 0( , )P x y 是 1 2,l l 的交点.求证:点 P 在定直线上.
21.(本小题满分 12 分)已知函数 xxxf ln22 ,其中 .0
(Ⅰ)讨论 xf 的单调性;
(Ⅱ)若 1 ,且 axxf 恒成立,求实数 a 的取值范围.
(二)选做部分
请考生在第(22)、(23)两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作答时
用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑,把答案填在答题卡上.
22.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,已知直线l 的参数方程为
ty
tx
34
2
13 (t 为参数),曲线
sin
cos:1 y
xC (
为参数)经伸缩变换
yy
xx 2 后得到曲线 2C ,以坐标原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐
标系.
(Ⅰ)求直线l 的普通方程和曲线 2C 的参数方程;
(Ⅱ)若 P 为曲线 2C 上一点,求点 P 到直线l 的最大距离.
23.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲
(Ⅰ)设函数 542log2 xxxf ,求函数 xf 的定义域;
(Ⅱ)已知 zyx ,, 为互不相等的正实数,且 1 zyx .求证: 9111 zyx .
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文科数学(七)参考答案
一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B A D B B C A B C A C C
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
13. ,1 14.
10
2 15. 13 8[ , )6 3 16. 1( , ln 2)4
三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分)
17.【解析】(Ⅰ)由 022 111
2
1
2 nnnnnnnn aaaaaaaa ,
因为 0na ,所以 nnn aaa 12 为等比数列,
nn
na 222 1 .
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得 12 nbn ,设 1
1 1 1 1 1( )2 1 2 1 2 2 1 2 1n n
n n
c cb b n n n n
,
12
1
12
1
5
1
3
1
3
112
1
21 nncccT nn
1212
112
1
n
n
n .
18.【解析】(Ⅰ)证明:因为 ABC 是正三角形,且 M 是 AC 的中点,
所以 ACBD ,又 PA 平面 ABCD , BDPA
BD 平面 PAC ,
又因为 BD 平面 PBD ,所以平面 PBD 平面 PAC .
(Ⅱ)在 ABCD 中,
903060180DCB , 1 CDAD ,
因为面 //EFGH 平面 PCD ,所以 CDEF // , BCEF , — 高三文科数学(七)第 6 页(共 4 页) —
所以
4
5
2
130sin CDBMMFEMEF ,
1 5 3 9 312 4 4 32ECDFS
, 3120sin12
134
3 22
ABCDS ,
所以
32
323
32
393 ABEFS ,
又面 //EFGH 平面 PCD 可得: PCEF // ,所以 3 DM
BM
EC
BE
HP
BH ,
H 到平面 ABEF 的距离为 PA4
3 ,
所以
128
6934
3
32
323
3
1 ABEFHV .
19.【解析】(Ⅰ)当 19x 时, 200 19 3800y ;
当 19x 时, 200 19 500( 19) 500 5700.y x x
所以 y 关于 x 的函数解析式为 3800 19,=
500 5700, 19,
x x Ny
x x x N
,
(Ⅱ)由柱状图知,需更换的零件数不大于18的频率为 6+16+24 =0.46100 ,
不大于19的频率为 240.46+ =0.7100 ,故 n 的最小值为19.
(III)若每台机器在购机的同时都够买19 个易损零件,则这100 台机器中有 70 台在购买零件上
的费用为3800 元, 20 台的费用为 4300 元,10 台的费用为 4800 元,因此这100 台机器购买易
损零件上所需费用的平均数为 1 3800 70+4300 20 4800 10) 4000100 ( ;
若每台机器在购机的同时都购买 20 个易损零件,则这100 台机器中有90 台在购买零件上的费用
为 4000 元,10 台的费用为 4500 元,因此这100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为
1 4000 90+4500 10) 4050100 ( .
比较这两个平均数可知,购买1台机器的同时应购买19个易损零件.
20.【解析】(Ⅰ)由点 A 的横坐标为 22 ,可得点 A 的坐标为 2,22 ,
代入 pyx 22 ,解得 2p ,所以抛物线C 的方程为 yx 42 ; — 高三文科数学(七)第 7 页(共 4 页) —
(Ⅱ)抛物线
2
: 4
xC y ,则
2
xy , 设 2211 ,,, yxNyxM ,
∴切线 PM 的方程为 1
1 1( )2
xy y x x ,即
2
1 1= 2 4
x xy x ,
同理切线 PN 的方程为
2
2 2= 2 4
x xy x ,
联立得点 P 1 2 1 2,2 4
x x x x
,
设直线 MN 的方程为 1y kx ,代入 2: 4C x y 得 2 4 4 0x kx .所以 1 2 = 4x x ,
所以点 P 在直线 1y 上. 结论得证.
21.【解析】(Ⅰ) x
x
xxxf )2(2
22 ( 0x ),
当 0 时, 0 xf ,所以 xf 在 ,0 上单调递减;
当 0 时, ;2
200 xxf xxf
2
20 ,
所以 xf 在 2(0, )2
上单调递减,在 2( , )2
上单调递增.
(Ⅱ)设 xxxG ln1 ,则 xGxx
xxG )0(1 在 1,0 上单调递减,
在 ,1 上单调递增. 所以 1ln01 xxGxG ,
当 1a 时, 011ln 222 xxxxxxxaxxf ,此时符合题意,
当 1a 时,令 ax , 0lnln222 aaaaaafaxxf ,此时不符合题意.
综上所述: 1a .
22.【解析】(Ⅰ)由
ty
tx
34
2
13 (t 为参数) 036432 yx ,
所以直线l 的普通方程为 036432 yx , — 高三文科数学(七)第 8 页(共 4 页) —
将
yy
xx 2 代入曲线
sin
cos:1 y
xC 得
sin
2
cos
y
x ,
所以曲线 2C 的参数方程为
sin
2
cos
y
x ( 为参数).
(Ⅱ)设 cos( ,sin )2P , 则 P 到直线l 的距离为
2cos( ) 4 6 33 cos sin 4 6 3 6
13
π
13
d
当 πcos( ) 16 时, max
6( 39 13)
13d .
23.【解析】(Ⅰ)由 542 xx 可得
当 2x 时,不等式可化为
2
1526 xx ,所以
2
1x ;
当 42 x 时,不等式可化为 52 ,此时不等式无解;
当 4x 时,不等式可化为
2
11562 xx ,所以
2
11x ,
综上所述:函数 xf 的定义域为 1 11( , ) ( , )2 2 .
(Ⅱ)由 1 1 1 1 1 1 x y z x y z x y zx y zx y z x y z x y z
3 y z x z x y
x y z
2 2 2 6y z x z x y y x y z z x
x y z x y z y x z
, 1 1 1 9.x y z
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高三文科数学(七)选择填空详细解析
1. B【解析】 ( ) ( ) 0 0 0f x g x f x g x 或 ,所以解集为 RC A B .
2. A【解析】 21 i 3 i 1 i 21 iz z z z
.
3. D【解析】在直角坐标系中,作半径为 1 的圆(如图),设 xAOP ,
则
xxxxxxSSS AOAOPAOP tansin,tan12
112
1sin12
1 T扇形
,
(0, )2
πx .当 π
2x 时, 1 sπ in2x x .所以 0sin,0 xxx ,故 p 假;若 nm, 是两条
不同的直线, 是平面,则 m , m n //n 或 n .故 q 假.所以选 D.
4. B【解析】不等式组表示的可行域(如图),
当 yxz 2 过点 4,0A 时,
4min z .
5. B【解析】由执行程序可知:
87
8log6
7log5
6log4
5log3
4log2
3log1
2log57 2222222
Mi 时,当
当 8i 时, 38loglog 22 MM ,此时输出符合题意.故选 B.
6. B【解析】由统计图可知:测试成绩不合格的学生人数为 10,男女各 5 人.现按男女比例随机抽
取 6 名学生,则应随机抽取女生 3 人,所有可能的抽取结果有 10 种,其中包含小李、小王的结果
有 3 种.所以小李、小王都被抽到的概率为
10
3 .
7. A【解析】由此函数为奇函数,可排除 B, C,又因为
2
π0,x
时 0cos,0sin xxx ,所
以排除 D.
8. B【解析】在 ABC 中, E 为 BD 的中点,
1 1 2( ) ( ),2 2 3AE AB AD AB AC BC AC AB ,
所以
ABACACABBCAE 3
2
2
1 — 高三文科数学(七)第 10 页(共 4 页) —
2 21 1 1 1 1 1 2 2 2( ) ( ) 3 2 3 2 .3 2 3 2 6 6 2 2AC AB AC AB AC AB AB AC
9. C【解析】因为
8,
7,
na
naa
n
n
n ,所以
当 8n 时, nnnn SaaaaaaT 2121 ,
当 8n 时, nnn aaaaaaaaT 872121
77211 22 SSaaaaa nn .故选 C
10. A【解析】由 1332cot 22
21
bbbS FPF
,
又 3314,242 222
21 abcaccFF ,
所以渐近线方程为 03
3
1 yxxy .
11. C【解析】 33 2 axxxf ,易得 xf 开口向上,且 30 f ,
要使得 xf 在 5,1 上不是单调函数则
05
72
05
01
af
f
.
12. C【解析】由已知可得 xf 为奇函数,当 ,0x 时, 02
x
xfxfx
x
xf ,
设
x
xfxF ,则当 ,0x 时 0 xF ,且 xF 为偶函数,
所以 xF 在 ,0 上单调递增,且 xFxF .
因为 π0 π 3 1 π 2 cos π 3 cos1 cos π 2 02 ,
所以 cos π 3 cos1 cos π 2 cos 3 cos1 cos 2F F F F F F ,
即
b
bf
a
af
c
cfbFaFcF ( 0,0,0 cba ),选 C.
13. ,1 .【解析】由 12
10112012 2 xxxxxx 或 ,设 12 2 xxt ,— 高三文科数学(七)第 11 页(共 4 页) —
则 ty
2
1log 因为 12 2 xxt 在
2
1, 上单调递减,在 ,1 上单调递增;而 ty
2
1log
单调递减,所以函数 12log 2
2
1 xxy 的单调递减区间为 ,1 .
14.
10
2 【解析】由, π π 3π π 3 20, π ( , ), sin( ) ,4 4 4 4 5 2
π π0,4 4
π 4 π π 4 2 3 2 2cos( ) cos cos[( ) ]4 5 4 4 5 2 5 2 10 .
15. 3
8
6
13 【解析】设 xf 在 0, 2π 上的零点为 ix ,因为有且仅有 5 个零点,所以
9π π 11π 13 82 .2 6 2 6 3
16. 1( , ln 2)4 【解析】原问题转化为 )0(ln111 2 xxxxa 有两个不等的实根.
设
32
12ln111 x
xxxFxxxxF ,
所以 xF 在 2,0 上单调递增,在 ,2 上单调递减. 2ln4
12max FxF ,
又因为 0x 时, xF ; x 时, xF ,
所以 a 的取值范围为 1( , ln 2)4 .