2020年河南省中考数学模拟试卷解析版
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2020年河南省中考数学模拟试卷解析版

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时间:2020-12-23

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资料简介
2020 年河南省中考数学模拟试卷解析版 一.选择题(共 10 小题,满分 30 分,每小题 3 分) 1.下列关系一定成立的是(  ) A.若|a|=|b|,则 a=b B.若|a|=b,则 a=b C.若|a|=﹣b,则 a=b D.若 a=﹣b,则|a|=|b| 2.根据制定中的通州区总体规划,将通过控制人口总量上限的方式,努力让副中心远离“城市病” .预计到 2035 年,副中心的常住人口规模将控制在 130 万人以内,初步建成国际一流的和谐宜 居现代化城区.130 万用科学记数法表示为(  ) A.1.3×106 B.130×104 C.13×105 D.1.3×105 3.将一个正方体沿图 1 所示切开,形成如图 2 的图形,则图 2 的左视图为(  ) A. B. C. D. 4.如图,直线 a∥b,点 C,D 分别在直线 b,a 上,AC⊥BC,CD 平分∠ACB,若∠1=65°,则∠ 2 的度数为(  ) A.65° B.70° C.75° D.80° 5.为迎接体育中考,九年级(1)班八名同学课间练习垫排球,记录成绩(个数)如下:40,38,42 ,35,45,40,42,42,则这组数据的众数与中位数分别是(  ) A.40,41 B.42,41 C.41,42 D.41,40 6.不等式组 的解集在数轴上表示正确的是(  )A. B. C. D. 7.如图,菱形 ABCD 中,对角线 AC、BD 交于点 O,点 E 为 AB 的中点,连接 OE,若 OE=3,∠ADC =60°,则 BD 的长度为(  ) A.6 B.6 C.3 D.3 8.两个不透明的袋子中分别装有标号 1、2、3、4 和标号 2、3、4 的 7 个小球,7 个小球除标号外 其余均相同,随机从两个袋子中抽取一个小球,则其标号数字和大于 6 的概率为(  ) A. B. C. D. 9.如图,在平面直角坐标系中,等边△OBC 的边 OC 在 x 轴正半轴上,点 O 为原点,点 C 坐标为( 12,0),D 是 OB 上的动点,过 D 作 DE⊥x 轴于点 E,过 E 作 EF⊥BC 于点 F,过 F 作 FG⊥OB 于点 G.当 G 与 D 重合时,点 D 的坐标为(  ) A.(1, ) B.(2,2 ) C.(4,4 ) D.(8,8 ) 10.如图 1.已知正△ABC 中,E,F,G 分别是 AB,BC,CA 上的点,且 AE=BF=CG,设△EFG 的面积为 y,AE 的长为 x,y 关于 x 的函数图象如图 2,则△EFG 的最小面积为(  )A. B. C.2 D. 二.填空题(共 5 小题,满分 15 分,每小题 3 分) 11.计算:( ﹣π)0﹣ =   . 12.如图,在⊙O 中,直径 EF⊥CD,垂足为 M,EM•MF=12,则 CD 的长度为   . 13.如果函数 y=﹣2x 与函数 y=ax2+1 有两个不同的交点,则实数 a 的取值范围是   . 14.如图,等腰三角形 ABC 中,AB=AC=2,∠B=75°,以 C 为旋转中心将△ABC 顺时针旋转, 当点 B 落在 AB 上点 D 处时,点 A 的对应点为 E,则阴影部分面积为   . 15.如图,将三角形纸片 ABC 沿 AD 折叠,使点 C 落在 BD 边上的点 E 处.若 BC=10,BE=2, 则 AB2﹣AC2 的值为   . 三.解答题(共 8 小题,满分 75 分) 16.(8 分)先化简,再求值:(x﹣2﹣ )÷ ,其中 x=2 ﹣4. 17.(9 分)某超市对今年“元旦”期间销售 A、B、C 三种品牌的绿色鸡蛋情况进行了统计,并绘 制如图所示的扇形统计图和条形统计图.根据图中信息解答下列问题: (1)该超市“元旦”期间共销售   个绿色鸡蛋,A 品牌绿色鸡蛋在扇形统计图中所对应的 扇形圆心角是   度; (2)补全条形统计图; (3)如果该超市的另一分店在“元旦”期间共销售这三种品牌的绿色鸡蛋 1500 个,请你估计这个分店销售的 B 种品牌的绿色鸡蛋的个数? 18.(9 分)如图,⊙O 中,AB 为直径,点 P 为⊙O 外一点,且 PA=AB,PA、PB 交⊙O 于 D、E 两点,∠PAB 为锐角,连接 DE、OD、OE. (1)求证:∠EDO=∠EBO; (2)填空:若 AB=8, ①△AOD 的最大面积为   ; ②当 DE=   时,四边形 OBED 为菱形. 19.(9 分)济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”.某校数学社团的同学对超然楼的 高度进行了测量.如图,他们在 A 处仰望塔顶,测得仰角为 30°,再往楼的方向前进 60m 至 B 处,测得仰角为 60°,若学生的身高忽略不计,则该楼的高度 CD 多少米?(结果保留根号) 20.(9 分)如图,已知一次函数 y=mx﹣4(m≠0)的图象分别交 x 轴,y 轴于 A(﹣4,0),B 两 点,与反比例函数 y= (k≠0)的图象在第二象限的交点为 C(﹣5,n) (1)分别求一次函数和反比例函数的表达式;(2)点 P 在该反比例函数的图象上,点 Q 在 x 轴上,且 P,Q 两点在直线 AB 的同侧,若以 B,C ,P,Q 为顶点的四边形是平行四边形,求满足条件的点 P 和点 Q 的坐标. 21.(10 分)开学前夕,某文具店准备购进 A、B 两种品牌的文具袋进行销售,若购进 A 品牌文具 袋和 B 品牌文具袋各 5 个共花费 125 元,购进 A 品牌文具袋 3 个和 B 品牌文具袋各 4 个共花费 90 元. (1)求购进 A 品牌文具袋和 B 品牌文具袋的单价; (2)若该文具店购进了 A,B 两种品牌的文具袋共 100 个,其中 A 品牌文具袋售价为 12 元,B 品牌文具袋售价为 23 元,设购进 A 品牌文具袋 x 个,获得总利润为 y 元. ①求 y 关于 x 的函数关系式; ②要使销售文具袋的利润最大,且所获利润不超过进货价格的 40%,请你帮该文具店设计一个进 货方案,并求出其所获利润的最大值. 22.(10 分)已知:AD 是△ABC 的高,且 BD=CD. (1)如图 1,求证:∠BAD=∠CAD; (2)如图 2,点 E 在 AD 上,连接 BE,将△ABE 沿 BE 折叠得到△A′BE,A′B 与 AC 相交于 点 F,若 BE=BC,求∠BFC 的大小; (3)如图 3,在(2)的条件下,连接 EF,过点 C 作 CG⊥EF,交 EF 的延长线于点 G,若 BF= 10,EG=6,求线段 CF 的长.23.(11 分)如图 1,抛物线 y=x2+(m﹣2)x﹣2m(m>0)与 x 轴交于 A、B 两点(A 在 B 左边) ,与 y 轴交于点 C.连接 AC、BC,D 为抛物线上一动点(D 在 B、C 两点之间),OD 交 BC 于 E 点. (1)若△ABC 的面积为 8,求 m 的值; (2)在(1)的条件下,求 的最大值; (3)如图 2,直线 y=kx+b 与抛物线交于 M、N 两点(M 不与 A 重合,M 在 N 左边),连 MA, 作 NH⊥x 轴于 H,过点 H 作 HP∥MA 交 y 轴于点 P,PH 交 MN 于点 Q,求点 Q 的横坐标.参考答案与试题解析 一.选择题(共 10 小题,满分 30 分,每小题 3 分) 1.【分析】根据绝对值的定义进行分析即可得出正确结论. 【解答】解:选项 A、B、C 中,a 与 b 的关系还有可能互为相反数.故选 D. 【点评】绝对值相等的两个数的关系是相等或互为相反数. 2.【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式,其中 1≤|a|<10,n 为整数.确定 n 的值时, 要看把原数变成 a 时,小数点移动了多少位,n 的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对 值>1 时,n 是正数;当原数的绝对值<1 时,n 是负数. 【解答】解:将 130 万用科学记数法表示为 1.3×106. 故选:A. 【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式,其中 1≤|a| <10,n 为整数,表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值. 3.【分析】由几何体形状直接得出其左视图,正方形上面有一条斜线. 【解答】解:如图所示:图 2 的左视图为: . 故选:C. 【点评】此题主要考查了简单组合体的三视图,正确注意观察角度是解题关键. 4.【分析】由AC⊥BC,CD 平分∠ACB 知∠BCD=45°,结合∠1=65°知∠2=∠3=180°﹣∠1 ﹣∠BCD,据此可得答案. 【解答】解:如图, ∵AC⊥BC, ∴∠ACB=90°, ∵CD 平分∠ACB,∴∠BCD= ∠ACB=45°, ∵∠1=65°, ∴∠2=∠3=180°﹣∠1﹣∠BCD=70°, 故选:B. 【点评】本题主要考查垂线的性质,解题的关键是掌握垂线与角平分线的性质及三角形的内角和 定理等知识点. 5.【分析】先将数据从大到小从新排列,然后根据众数及中位数的定义求解即可. 【解答】解:将数据从小到大排列为:35,38,40,40,42,42,42,65, 众数为 42; 中位数为 =41. 故选:B. 【点评】本题考查了众数及中位数的知识,中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排 列后,最中间的那个数(最中间两个数的平均数),叫做这组数据的中位数,如果中位数的概念 掌握得不好,不把数据按要求重新排列,就可能会出错. 6.【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集,再求出它们的公共部分,然后把不等式的解集 表示在数轴上即可. 【解答】解:解 3x﹣2<1,得 x<1; 解 x+1≥0,得 x≥﹣1; 不等式组的解集是﹣1≤x<1, 故选:D. 【点评】在数轴上表示不等式的解集,把每个不等式的解集在数轴上表示出来(>,≥向右画;< ,≤向左画),数轴上的点把数轴分成若干段,如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不 等式的个数一样,那么这段就是不等式组的解集.有几个就要几个.在表示解集时“≥”,“≤ ”要用实心圆点表示;“<”,“>”要用空心圆点表示. 7.【分析】利用三角形中位线定理求出AD,再在 Rt△AOD 中,解直角三角形求出 OD 即可解决问 题. 【解答】解:∵四边形 ABCD 是菱形,∠ADC=60°, ∴AC⊥BD,OA=OC,OB=OD,∠ADO=∠CDO=30°, ∵AE=EB,BO=OD,∴AD=2OE=6, 在 Rt△AOD 中,∵AD=6,∠AOD=90°,∠ADO=30°, ∴OD=AD•cos30°=3 , ∴BD=2OD=6 , 故选:A. 【点评】本题考查菱形的性质,三角形的中位线定理,解直角三角形等知识,解题的关键是灵活 运用所学知识解决问题,属于中考常考题型. 8.【分析】利用树状图法列举出所有可能,进而求出概率. 【解答】解:画树状图如下: 由树状图可知,共有 12 种等可能结果,其中标号数字和大于 6 的结果数为 3, 所以标号数字和大于 6 的概率为 = , 故选:C. 【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数 之比. 9.【分析】设BG=x,依据∠BFG=∠CEF=∠ODE=30°,可得 BF=2x,CF=12﹣2x,CE=2CF =24﹣4x,OE=12﹣CE=4x﹣12,OD=2OE=8x﹣24,再根据当 G 与 D 重合时,OD+BG=OB 列方程,即可得到 x 的值,进而得出点 D 的坐标. 【解答】解:如图,设 BG=x, ∵△OBC 是等边三角形, ∴∠BOC=∠B=∠C=60°, ∵DE⊥OC 于点 E,EF⊥BC 于点 F,FG⊥OB, ∴∠BFG=∠CEF=∠ODE=30°, ∴BF=2x, ∴CF=12﹣2x, ∴CE=2CF=24﹣4x, ∴OE=12﹣CE=4x﹣12, ∴OD=2OE=8x﹣24,当 G 与 D 重合时,OD+BG=OB, ∴8x﹣24+x=12, 解得 x=4, ∴OD=8x﹣24=32﹣24=8, ∴OE=4,DE=4 , ∴D(4,4 ). 故选:C. 【点评】本题考查了等边三角形的性质,含30°角的直角三角形的性质,熟练掌握等边三角形的 性质是解题的关键. 10.【分析】本题根据图2 判断△EFG 的面积 y 最小时和最大时分别对应的 x 值,从而确定 AB,EG 的长度,求出等边三角形 EFG 的最小面积. 【解答】由图 2 可知,x=2 时△EFG 的面积 y 最大,此时 E 与 B 重合,所以 AB=2 ∴等边三角形 ABC 的高为 ∴等边三角形 ABC 的面积为 由图 2 可知,x=1 时△EFG 的面积 y 最小 此时 AE=AG=CG=CF=BG=BE 显然△EGF 是等边三角形且边长为 1 所以△EGF 的面积为 故选:A. 【点评】本题是运动型综合题,考查了动点问题的函数图象等边三角形等知识点.解题关键是深 刻理解动点的函数图象,了解图象中关键点所代表的实际意义,理解动点的完整运动过程. 二.填空题(共 5 小题,满分 15 分,每小题 3 分) 11.【分析】本题涉及三次根式化简、零指数幂 2 个考点.在计算时,需要针对每个考点分别进行 计算,然后根据实数的运算法则求得计算结果.【解答】解:( ﹣π)0﹣ =1+3 =4. 故答案为:4. 【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力,是各地中考题中常见的计算题型.解决此类题目 的关键是熟练掌握三次根式、零指数幂等考点的运算. 12.【分析】连接CE,DF,根据圆周角定理得到∠E=∠D,∠C=∠F,根据相似三角形的性质得 到 CM•DM=EM•MF=12,根据垂径定理即可得到结论. 【解答】解:连接 CE,DF, ∵∠E=∠D,∠C=∠F, ∴△CEM∽△DFM, ∴ = , ∴CM•DM=EM•MF=12, ∵直径 EF⊥CD, ∴CM=DM, ∴CM= =2 , ∴CD=2CM=4 , 故答案为:4 . 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质,垂径定理,圆周角定理,正确的作出辅助线构造 相似三角形是解题的关键. 13.【分析】当a=0 时,两直线 y=﹣2x 和 y=1 只有一个交点,则当 a≠0 时,先联立抛物线与直 线的解析式得出关于 x 的方程,再由直线 y=﹣2x 和抛物线有两个不同交点可知△>0,求出 a 的 取值范围. 【解答】解:当 a=0 时,两直线 y=﹣2x 和 y=1 只有一个交点,当 a≠0 时, ,由题意得,方程 ax2+1=﹣2x 有两个不同的实数根, ∴△=4﹣4a>0, 解得:a<1. 故答案为:a<1. 【点评】主要考查的是函数图象的交点问题,两函数有两个不同的交点,则△>0. 14.【分析】作 CK⊥BD 于 K.根据 S 阴=S△ABC+S 扇形 ACE﹣S△BCD﹣S△EDC 计算即可. 【解答】解:作 CK⊥BD 于 K. ∵AB=AC=3, ∴∠B=∠ACB=75°, ∴∠BAC=180°﹣75°﹣75°=30°, 在 Rt△ACK 中,CK= AC=1,AK= , ∴BK=2﹣ , ∵CB=CD,CK⊥BD, ∴BD=2BK=4﹣2 ,∠B=∠CDB=75°, ∴ACE=∠BCD=30°, ∴S 阴=S△ABC+S 扇形 ACE﹣S△BCD﹣S△EDC = ﹣ •(4﹣2 )•1 = ﹣2+ , 故答案为 ﹣2+ . 【点评】本题考查旋转变换,扇形的面积,等腰三角形的性质,解直角三角形等知识,解题的关 键是学会用分割法求阴影部分面积. 15.【分析】由折叠的性质可得∠ADC=∠ADE=90°,DE=CD= CE,可得 DE=4,BD=6, 根据勾股定理可求 AB2﹣AC2 的值. 【解答】解:∵将三角形纸片 ABC 沿 AD 折叠,使点 C 落在 BD 边上的点 E 处,∴∠ADC=∠ADE=90°,DE=CD= CE, ∵BC=10,BE=2 ∴CE=8, ∴CD=DE=4,BD=6, 在 Rt△ABD 中,AB2=AD2+BD2, 在 Rt△ACD 中,AC2=AD2+CD2, ∴AB2﹣AC2=BD2﹣CD2=20, 故答案为:20 【点评】本题考查了翻折变换,勾股定理,熟练运用折叠的性质是本题的关键. 三.解答题(共 8 小题,满分 75 分) 16.【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算,同时利用除法法则变形,约 分得到最简结果,将 x 的值代入计算即可求出值. 【解答】解:(x﹣2﹣ )÷ = ÷ = • =x+4, 当 x=2 ﹣4 时, 原式=2 ﹣4+4=2 . 【点评】本题考查的是分式的化简求值,熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键. 17.【分析】(1)用 C 品牌的数量除以所占的百分比,计算机求出鸡蛋的总量,再用 A 品牌的百 分比乘以 360°计算即可求出圆心角的度数; (2)求出 B 品牌鸡蛋的数量,然后条形补全统计图即可; (3)用 B 品牌所占的百分比乘以 1500,计算即可得解. 【解答】解:(1)共销售绿色鸡蛋:1200÷50%=2400 个, A 品牌所占的圆心角: ×360°=60°; 故答案为:2400,60; (2)B 品牌鸡蛋的数量为:2400﹣400﹣1200=800 个,补全统计图如图; (3)分店销售的 B 种品牌的绿色鸡蛋为: ×1500=500 个. 【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用,读懂统计图,从不同的统计图中得 到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇形统计图直接 反映部分占总体的百分比大小. 18.【分析】(1)如图 1,连 AE,由等腰三角形的性质可知 E 为 PB 中点,则 OE 是△PAB 的中位 线,OE∥PA,可证得∠DOE=∠EOB,则∠EDO=∠EBO 可证; (2)如图 2,由条件知 OA=4,当 OA 边上的高最大时,△AOD 的面积最大,可知点 D 是 的 中点时满足题意,此时最大面积为 8; (3)如图 3,当 DE=4 时,四边形 ODEB 是菱形.只要证明△ODE 是等边三角形即可解决问题 . 【解答】证明:(1)如图 1,连 AE, ∵AB 为⊙O 的直径, ∴∠AEB=90°, ∵PA=AB, ∴E 为 PB 的中点,∵AO=OB, ∴OE∥PA, ∴∠ADO=∠DOE,∠A=∠EOB ∵OD=OA, ∴∠A=∠ADO, ∴∠EOB=∠DOE, ∵OD=OE=OB, ∴∠EDO=∠EBO; (2)①∵AB=8, ∴OA=4, 当 OA 边上的高最大时,△AOD 的面积最大(如图 2),此时点 D 是 的中点, ∴OD⊥AB, ∴ ; ②如图 3,当 DE=4 时,四边形 OBED 为菱形,理由如下: ∵OD=DE=OE=4, ∴△ODE 是等边三角形,∴∠EDO=60°, 由(1)知∠EBO=∠EDO=60°, ∴OB=BE=OE, ∴四边形 OBED 为菱形, 故答案为:8;4. 【点评】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、中位线定理、菱形的判定等知识,解题的 关键是找准动点 D 在圆上的位置,灵活运用所学知识解决问题, 19.【分析】由题意易得:∠A=30°,∠DBC=60°,DC⊥AC,即可证得△ABD 是等腰三角形, 然后利用三角函数,求得答案. 【解答】解:根据题意得:∠A=30°,∠DBC=60°,DC⊥AC, ∴∠ADB=∠DBC﹣∠A=30°, ∴∠ADB=∠A=30°, ∴BD=AB=60m, ∴CD=BD•sin60°=60× =30 (m) 【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题.注意证得△ABD 是等腰三角形,利用 特殊角的三角函数值求解是关键. 20.【分析】(1)将点 A 坐标代入 y=mx﹣4(m≠0),求出 m,得出直线 AB 的解析式,进而求 出点 C 坐标,再代入反比例函数解析式中,求出 k,即可得出结论; (2)先求出点 B 坐标,设出点 P,Q 坐标,分两种情况,利用平行四边形的对角线互相平分建 立方程组求解即可得出结论. 【解答】解:(1)∵点 A 是一次函数 y=mx﹣4 的图象上, ∴﹣4m﹣4=0, ∴m=﹣1, ∴一次函数的解析式为 y=﹣x﹣4, ∵点 C(﹣5,n)是直线 y=﹣x﹣4 上, ∴n=﹣(﹣5)﹣4=1, ∴C(﹣5,1), ∵点 C(﹣5,1)是反比例函数 y= (k≠0)的图象上, ∴k=﹣5×1=﹣5,∴反比例函数的解析式为 y=﹣ ; (2)由(1)知,C(﹣5,1),直线 AB 的解析式为 y=﹣x﹣4, ∴B(0,﹣4), 设点 Q(q,0),P(p,﹣ ), ∵以 B,C,P,Q 为顶点的四边形是平行四边形,且 P,Q 两点在直线 AB 的同侧, ∴①当 BP 与 CQ 是对角线时, ∴BP 与 CQ 互相平分, ∴ , ∴ , ∴P(﹣1,5),Q(4,0) ②当 BQ 与 CP 是对角线时, ∴BQ 与 CP 互相平分, ∴ , ∴ , ∴P(﹣1,5),Q(﹣4,0), 此时,点 C,Q,B,P 在同一条线上,不符合题意,舍去, 即以 B,C,P,Q 为顶点的四边形是平行四边形,点 P(﹣1,5),点 Q(4,0). 【点评】此题是反比例函数综合题,主要考查了待定系数法,平行四边形的性质,用方程组的思 想解决问题是解本题的关键. 21.【分析】(1)设购进 A 品牌文具袋的单价为 x 元,购进 B 品牌文具袋的单价为 y 元,列出方程 组求解即可; (2)①把(1)得出的数据代入即可解答; ②根据题意可以得到 x 的取值范围,然后根据一次函数的性质即可求得 w 的最大值和相应的进货方案. 【解答】解:(1)设购进 A 品牌文具袋的单价为 x 元,购进 B 品牌文具袋的单价为 y 元,根据 题意得, , 解得 , 所以购进 A 品牌文具袋的单价为 10 元,购进 B 品牌文具袋的单价为 15 元; (2)①由题意可得, y=(12﹣10)x+(23﹣15)(100﹣x)=800﹣6x; ②由题意可得, ﹣6x+800≤40%[10x+15(100﹣x)], 解得:x≥50, 又由(1)得:w=﹣6x+800,k=﹣6<0, ∴w 随 x 的增大而减小, ∴当 x=50 时,w 达到最大值,即最大利润 w=﹣50×6+800=500 元, 此时 100﹣x=100﹣50=50 个, 答:购进 A 品牌文具袋 50 个,B 品牌文具袋 50 个时所获利润最大,利润最大为 500 元. 【点评】本题综合考察了一次函数的应用及一元一次不等式的相关知识,找出函数的等量关系及 掌握解不等式得相关知识是解决本题的关键. 22.【分析】(1)利用线段的垂直平分线的性质证明 AB=AC,再利用等腰三角形的性质即可解决 问题; (2)如图 2 中,连接 EC.首先证明△EBC 是等边三角形,推出∠BED=30°,再由∠BFC=∠ FAB+∠FBA=2(∠BAE+∠ABE)=2∠BED=60°解决问题; (3)如图 3 中,连接 EC,作 EH⊥AB 于 H,EN⊥AC 于 N,EM⊥BA′于 M.首先证明∠AFE=∠ BFE=60°,在 Rt△EFM 中,∠FEM=90°﹣60°=30°,推出 EF=2FM,设 FM=m,则 EF= 2m,推出 FG=EG﹣EF=6﹣2m,FN= EF=m,CF=2FG=12﹣4m,再证明 Rt△EMB≌Rt△ENC (HL),推出 BM=CN,由此构建方程即可解决问题; 【解答】(1)证明:如图 1 中,∵BD=CD,AD⊥BC, ∴AB=AC, ∴∠BAD=∠CAD. (2)解:如图 2 中,连接 EC. ∵BD⊥BC,BD=CD, ∴EB=EC, 又∵EB=BC, ∴BE=EC=BC, ∴△BCE 是等边三角形, ∴∠BEC=60°, ∴∠BED=30°, 由翻折的性质可知:∠ABE=∠A′BE= ∠ABF, ∴∠ABF=2∠ABE,由(1)可知∠FAB=2∠BAE, ∴∠BFC=∠FAB+∠FBA=2(∠BAE+∠ABE)=2∠BED=60°.(3)解:如图 3 中,连接 EC,作 EH⊥AB 于 H,EN⊥AC 于 N,EM⊥BA′于 M. ∵∠BAD=∠CAD,∠ABE=∠A′BE, ∴EH=EN=EM, ∴∠AFE=∠EFB, ∵∠BFC=60°, ∴∠AFE=∠BFE=60°, 在 Rt△EFM 中,∵∠FEM=90°﹣60°=30°, ∴EF=2FM,设 FM=m,则 EF=2m, ∴FG=EG﹣EF=6﹣2m, 易知:FN= EF=m,CF=2FG=12﹣4m, ∵∠EMB=∠ENC=90°,EB=EC,EM=EN, ∴Rt△EMB≌Rt△ENC(HL), ∴BM=CN, ∴BF﹣FM=CF+FN, ∴10﹣m=12﹣4m+m, ∴m=1, ∴CF=12﹣4=8. 【点评】本题属于几何变换综合题,考查了等腰三角形的判定和性质,线段的垂直平分线的性质 ,全等三角形的判定和性质,勾股定理,角平分线的判定和性质,等边三角形的判定和性质等知 识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考压轴题. 23.【分析】(1)将 A、B、C 三点坐标表示为线段长,OA=m,OB=2,OC=2m,然后根据面积 公式建立关于 m 的方程,解方程即可; (2)过点 D 作 DF∥OC,可以通过平行构造八字型的相似关系,将 DE 与 OE 的比转换为 DF与 OC 的比,OC 为定值,所以设点 D 坐标,表示 DF 线段长度,从而得到表示线段长度之比的 二次函数关系式,转换成顶点式,则 的最大值可求; (3)分析条件 AM∥PH 可知应有等角,所以从 M、Q 向 x 轴作垂直,构造相似,利用直线解析 式设 M、N、Q 三点坐标,将直线与抛物线解析式联立,用韦达定理表示 x1+x2,x1x2,根据相似 关系建立参数方程,因式分解讨论取值. 【解答】解:(1)y=x2+(m﹣2)x﹣2m=(x+m)(x﹣2) 令 y=0,则(x+m)(x﹣2)=0,解得 x1=﹣m,x2=2 ∴A(﹣m,0)、B(2,0) 令 x=0,则 y=﹣2m ∴C(0,﹣2m) ∴AB=2+m,OC=2m ∵S△ABC= ×(2+m)×2m=8,解得 m1=2,m2=﹣4 ∵m>0 ∴m=2 (2)如图 1,过点 D 作 DF∥y 轴交 BC 于 F 由(1)可知:m=2 ∴抛物线的解析式为 y=x2﹣4 ∴B(2,0)、C(0,﹣4) ∴直线 BC 的解析式为 y=2x﹣4 设 D(t,t2﹣4),则 F(t,2t﹣4) ∴DF=2t﹣4﹣(t2﹣4)=﹣t2+2t,OC=4 ∵DF∥y 轴 ∴ = = = 当 t=1 时,∵ , ∴ ,此时 D(1,﹣3). (3)设 M(x1,kx1+b)、N(x2,kx2+b)联立 ,整理得 x2+(m﹣2﹣k)x﹣2m﹣b=0 ∴x1+x2=2+k﹣m,x1x2=﹣2m﹣b 设点 Q 的横坐标为 n,则 Q(n,kn+b) ∵MA∥PH 如图 2,过点 M 作 MK⊥x 轴于 K,过点 Q 作 QL⊥x 轴于 L ∵△MKA∽△QLH ∴ = 即 ,整理得 kx1x2+b(x1+x2)+kmn+bm﹣bn=0 ∴k(﹣2m﹣b)+b(2+k﹣m)+kmn+bm﹣bn=0 ∴(km﹣b)(n﹣2)=0 ①当 km﹣b=0,此时直线为 y=k(x+m),过点 A(﹣m,0),不符合题意 ②当 n﹣2=0,此时 n=2,Q 点的横坐标为 2. 【点评】此题考查了因式分解,相似构造,一元二次方程根与系数之间的关系,二次函数的极值 求法以及一次函数与二次函数的关系,前两问属于常规问题,难度不大,解法比较常见,第三问 难度较大,条件中没有已知数值,需要学生设多个参数,用韦达定理和因式分解的方法来解决问 题,难度较大.

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