人教A版数学必修4平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课时跟踪检测含解析
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资料简介
天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 课时跟踪检测(二十三) 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 层级一 学业水平达标 ‎1.已知向量a=(0,-2),b=(1,),则向量a在b方向上的投影为(  )‎ A.           B.3‎ C.- D.-3‎ 解析:选D 向量a在b方向上的投影为==-3.选D.‎ ‎2.设x∈R,向量a=(x,1),b=(1,-2),且a⊥b,则|a+b|=(  )‎ A. B. C.2 D.10‎ 解析:选B 由a⊥b得a·b=0,‎ ‎∴x×1+1×(-2)=0,即x=2,‎ ‎∴a+b=(3,-1),‎ ‎∴|a+b|==.‎ ‎3.已知向量a=(2,1),b=(-1,k),a·(2a-b)=0,则k=(  )‎ A.-12 B.-6‎ C.6 D.12‎ 解析:选D 2a-b=(4,2)-(-1,k)=(5,2-k),由a·(2a-b)=0,得(2,1)·(5,2-k)=0,∴10+2-k=0,解得k=12.‎ ‎4.a,b为平面向量,已知a=(4,3),2a+b=(3,18),则a,b夹角的余弦值等于(  )‎ A. B.- C. D.- 解析:选C 设b=(x,y),则2a+b=(8+x,6+y)=(3,18),所以解得故b=(-5,12),所以cos〈a,b〉==.‎ ‎5.已知A(-2,1),B(6,-3),C(0,5),则△ABC的形状是(  )‎ A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 解析:选A 由题设知=(8,-4),=(2,4),=(-6,8),∴·=2×8+(-4)×4=0,即⊥.‎ ‎∴∠BAC=90°,‎ 故△ABC是直角三角形.‎ ‎6.设向量a=(1,2m),b=(m+1,1),c=(2,m).若(a+c)⊥b,则|a|=________.‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 解析:a+c=(3,3m),由(a+c)⊥b,可得(a+c)·b=0,即3(m+1)+3m=0,解得m=-,则a=(1,-1),故|a|=.‎ 答案: ‎7.已知向量a=(1,),2a+b=(-1,),a与2a+b的夹角为θ,则θ=________.‎ 解析:∵a=(1,),2a+b=(-1,),‎ ‎∴|a|=2,|2a+b|=2,a·(2a+b)=2,‎ ‎∴cos θ==,∴θ=.‎ 答案: ‎8.已知向量a=(,1),b是不平行于x轴的单位向量,且a·b=,则向量b的坐标为________.‎ 解析:设b=(x,y)(y≠0),则依题意有解得故b=.‎ 答案: ‎9.已知平面向量a=(1,x),b=(2x+3,-x),x∈R.‎ ‎(1)若a⊥b,求x的值;‎ ‎(2)若a∥b,求|a-b|.‎ 解:(1)若a⊥b,‎ 则a·b=(1,x)·(2x+3,-x)‎ ‎=1×(2x+3)+x(-x)=0,‎ 即x2-2x-3=0,解得x=-1或x=3.‎ ‎(2)若a∥b,则1×(-x)-x(2x+3)=0,‎ 即x(2x+4)=0,解得x=0或x=-2.‎ 当x=0时,a=(1,0),b=(3,0),‎ a-b=(-2,0),|a-b|=2.‎ 当x=-2时,a=(1,-2),b=(-1,2),‎ a-b=(2,-4),|a-b|==2.‎ 综上,|a-b|=2或2.‎ ‎10.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(1,4),B(-2,3),C(2,-1).‎ ‎(1)求·及|+|;‎ ‎(2)设实数t满足(-t)⊥,求t的值.‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 解:(1)∵=(-3,-1),=(1,-5),‎ ‎∴·=-3×1+(-1)×(-5)=2.‎ ‎∵+=(-2,-6),‎ ‎∴|+|==2.‎ ‎(2)∵-t=(-3-2t,-1+t),=(2,-1),且(-t)⊥,‎ ‎∴(-t)·=0,‎ ‎∴(-3-2t)×2+(-1+t)·(-1)=0,‎ ‎∴t=-1.‎ 层级二 应试能力达标 ‎1.设向量a=(1,0),b=,则下列结论中正确的是(  )‎ A.|a|=|b|          B.a·b= C.a-b与b垂直 D.a∥b 解析:选C 由题意知|a|==1,|b|==,a·b=1×+0×=,(a-b)·b=a·b-|b|2=-=0,故a-b与b垂直.‎ ‎2.已知向量=(2,2),=(4,1),在x轴上有一点P,使·有最小值,则点P的坐标是(  )‎ A.(-3,0) B.(2,0)‎ C.(3,0) D.(4,0)‎ 解析:选C 设P(x,0),则=(x-2,-2),=(x-4,-1),‎ ‎∴·=(x-2)(x-4)+2=x2-6x+10=(x-3)2+1,‎ 故当x=3时,·最小,此时点P的坐标为(3,0).‎ ‎3.若a=(x,2),b=(-3,5),且a与b的夹角是钝角,则实数x的取值范围是(  )‎ A. B. C. D. 解析:选C x应满足(x,2)·(-3,5)<0且a,b不共线,解得x>,且x≠-,‎ ‎∴x>.‎ ‎4.已知=(-3,1),=(0,5),且∥,⊥ (O 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 为坐标原点),则点C的坐标是(  )‎ A. B. C. D. 解析:选B 设C(x,y),则=(x,y).‎ 又=(-3,1),‎ ‎∴=-=(x+3,y-1).‎ ‎∵∥,‎ ‎∴5(x+3)-0·(y-1)=0,∴x=-3.‎ ‎∵=(0,5),‎ ‎∴=-=(x,y-5),=-=(3,4).‎ ‎∵⊥,∴3x+4(y-5)=0,∴y=,‎ ‎∴C点的坐标是.‎ ‎5.平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(m∈R),且c与a的夹角等于c与b的夹角,则m=________.‎ 解析:因为向量a=(1,2),b=(4,2),所以c=ma+b=(m+4,2m+2),所以a·c=m+4+2(2m+2)=5m+8,b·c=4(m+4)+2(2m+2)=8m+20.‎ 因为c与a的夹角等于c与b的夹角,所以=,即=,所以=,‎ 解得m=2.‎ 答案:2‎ ‎6.已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则·的值为______;·的最大值为______.‎ 解析: ‎ 以D为坐标原点,建立平面直角坐标系如图所示.‎ 则D(0,0),A(1,0),B(1,1),C(0,1),‎ 设E(1,a)(0≤a≤1).‎ 所以·=(1,a)·(1,0)=1,‎ ‎·=(1,a)·(0,1)=a≤1,‎ 故·的最大值为1.‎ 答案:1 1‎ ‎7.已知a,b,c是同一平面内的三个向量,其中a=(1,2).‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎(1)若|c|=2,且c∥a,求c的坐标;‎ ‎(2)若|b|=,且a+2b与2a-b垂直,求a与b的夹角θ.‎ 解:(1)设c=(x,y),∵|c|=2,∴=2,‎ ‎∴x2+y2=20.‎ 由c∥a和|c|=2,‎ 可得解得或 故c=(2,4)或c=(-2,-4).‎ ‎(2)∵(a+2b)⊥(2a-b),∴(a+2b)·(2a-b)=0,‎ 即2a2+3a·b-2b2=0,‎ ‎∴2×5+3a·b-2×=0,整理得a·b=-,‎ ‎∴cos θ==-1.‎ 又θ∈[0,π],∴θ=π.‎ ‎8.已知=(4,0),=(2,2),=(1-λ)+λ (λ2≠λ).‎ ‎(1)求·及在上的投影;‎ ‎(2)证明A,B,C三点共线,且当=时,求λ的值;‎ ‎(3)求||的最小值.‎ 解:(1)·=8,设与的夹角为θ,则cos θ===,‎ ‎∴在上的投影为||cos θ=4×=2.‎ ‎(2)=-=(-2,2),=-=(1-λ)·-(1-λ)=(λ-1),所以A,B,C三点共线.‎ 当=时,λ-1=1,所以λ=2.‎ ‎(3)||2=(1-λ)2+2λ(1-λ)·+λ2‎ ‎=16λ2-16λ+16=162+12,‎ ‎∴当λ=时,||取到最小值,为2.‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎

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