吉林省实验中学2019-2020高二上学期期中考试数学（理）试题（Word版含答案）.doc

吉林省实验中学 2019-2020 学年度上学期高二年级 期中考试数学（理）试卷 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的） （1）抛物线 的焦点坐标为 （ ） （A） （B） （C） （D） （2）若命题“ ”是假命题，“¬q”也是假命题，则正确的是 （ ） （A）命题“ ”是真命题 （B）命题“ ”是假命题 （C）命题“ ”是假命题 （D）命题“ ”是真命题 （3）命题“ ，都有 ”的否定为 (　　) （A） ，都有 （B）不存在 ，都有 （C） ，使得 （D） ，使得 （4）在 中， “ ”是“ ”的 （ ） （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 （5） 设双曲线 的虚轴长为 2，焦距为 ，则双曲线的渐近线方 程为（ ） （A） （B） （C） （D） （6）命题 ：“平面内与两个定点的距离的和等于常数的点的集合叫做椭圆”；命题 ：“平 面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数的点的集合叫做双曲线”. 下列命题中正确的是 （ ） （A）命题 （B）命题 （C）命题 （D）命题 )0,0(12 2 2 2 >>=− bab y a x 32 xy 2±= xy 2 2±= xy 2±= xy 2 1±= 22y x= 1( ,0)2 1( ,0)8 1(0, )8 1(0, )4 qp ∧ qp ∧¬ ）（ qp ∨ qp ∨¬ ）（ ）（ qp ¬∧ ∀ Rx∈ 2ln2 ≥x ∀ Rx∈ 2ln2 > k x 2 3 k 1 3 − 1 3 1 3 ± 1 2 ± (0,2)A C 2 4y x= F FA C M N :FM MN = 1: 5 1: 2 2: 5 1:3 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 1( ,0)F c− 2 ( ,0)( 0)F c c > 2 4y cx= P 2 1 2PF F F= 1 2+ 1 3+ 2 3 21, FF P 21, FF 21 PFPF ⊥ 1e 2e 22 2 2 1 =+ ee 211 2 2 2 1 =+ ee 42 2 2 1 =+ ee 411 2 2 2 1 =+ ee二．填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） （13）椭圆 的离心率是 ． （14）若正四棱柱 的底面边长为 2，高为 4，则异面直线 与 所成 角的余弦值是 ． （15）如图，过抛物线 的焦点 的 直线 交抛物线于点 ，交其准线于点 ， 若 ，且 ，则 为 ． （16）已知双曲线 的离心率为 2，过右焦点且垂直于 轴的直线与 双曲线交于 两点. 设 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 和 ，且 ，则双曲线的方程为 ． 三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分 10 分） 已知直线 ： 与椭圆 相离，求椭圆上的点到直线 的距离 的最大值和最小值． （18）(本小题满分 12 分) 1 1 1 1ABCD A B C D− 1BD 149 22 =+ yx AD 2 2 ( 0)y px p= > F l ,A B C 4BC BF= 6AF = p 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > x BA, BA, 1d 2d 1 2 6d d+ = l 07 =+− yx 2 29 16 144x y+ = l已知点 的坐标是 ，过点 的直线 与 轴交于 ，过点 且与直线 垂直 的直线 交 轴与点 ，设点 为 的中点，求点 的轨迹方程． （19）(本小题满分 12 分) 已知抛物线 的准线方程为 ， 为抛物线的焦点． （I）求抛物线 的方程； （II）若 P 是抛物线 C 上一点，点 A 的坐标为（ ,2），求 的最小值． C )3,2( C CA x A C CA CB y B M AB M )0(2: 2 >= ppxyC 2 1−=x F C 7 2 PA PF+（20）(本小题满分 12 分) 如图，在四棱锥 中，底面 是矩形， 平面 , ， , 是 中点. （I）求直线 与平面 所成的角的正弦值； （II）求点 到平面 的距离． （21）(本小题满分 12 分) 已 知 三 棱 柱 ， 底 面 三 角 形 为 正 三 角 形 ， 侧 棱 底 面 ， ， 为 的中点， 为 中点. （I）求证：直线 平面 ； （II）求平面 和平面 所成的锐二面角的余弦值. P ABCD− ABCD PA ⊥ ABCD 4PA AD= = 2AB = CD ACM ACM M PD P 1 1 1ABC A B C− ABC 1AA ⊥ ABC 12, 6AB AA= = E 1AA F BC //AF 1BEC 1BEC ABC AB DC P C A1 B1 A C1 B E F（22）(本小题满分 12 分) 已知 ， 分别是椭圆 ： 的左，右焦点，点 在椭圆 上， 且抛物线 的焦点是椭圆 的一个焦点. （I）求 , 的值； （II）过点 作不与 轴重合的直线 ，设 与圆 相交于 A，B 两点，且与椭 圆 相交于 C，D 两点，当 时，求△ 的面积. 1F 2F E 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = ＞ ＞ 2( 1, )2P − E 2 4y x= E a b 2F x l l 2 2 2 2x y a b+ = + E 1 1 1F A F B =⋅  1FCD 二、选择题: 1. C 2.A 3.D 4.C 5.B 6.B 7.D 8.D 9.C 10.A 11.A 12.B 三、填空题 13. 14. 15. 16. 四、解答题: 17.解：平移直线 ，设为 联立 消 得 令 则 和 和椭圆相切 ， 18.解:在直角三角形 和直角三角形 中， 是 中点 ， 设 则 ,化简得 19.(I)∵准线方程 x=- ,得 =1， ∴抛物线 C 的方程为 (II)过点 P 作准线的垂线，垂直为 B，则 = 要使 + 的最小，则 P，A，B 三点共线 此时 + = + =4· 3 5 6 6 2 9 193 22 =− yx 7y x= + y x m= + 2 29 16 144x y y x m  + =  = + y 2 225 32 16 144 0x mx m+ + − = 214400 576 0m∆ = − = 5m = ± 5y x∴ = + 5y x= − min 7 5 2 2 d −∴ = = max 7 ( 5) 6 2 2 d − −= = AOB ACB M AB ∴ CMOM =  )3,2(C ),( yxM 2222 )3()2( −+−=+ yxyx 01364 =−+ yx 1 2 p 2 2y x= PB PF PA PF PA PF 7 2 1 2 吉林省实验中学 2019-2020 学年度上学期高二年级 期中考试数学（理）试卷参考答案20.如图所示，建立空间直角坐标系，则 ， ， ， ， ， ；设平面 的一个法向量 ，由 可得： ，令 ，则 。 (I)设所求角为 ，则 ， (II)设点 到平面 距离为 则 。 21.解： 取 中点为 ，连接 ，以点 为坐标原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ， 则 ， ， (I) 则 ， ， 设 平 面 的 法 向 量 为 ， 则 ， 即 令 ，则 ，即 ，所以 ， 故直线 平面 ． （II）设平面 的法向量 ，则 ． 22.(I) 焦点为 F（1，0），则 F1（1，0），F2（1，0）， ，解得 ， ＝1， ＝1， (0,0,0)A (0,0,4)P (2,0,0)B (2,4,0)C (0,4,0)D (0,2,2)M ACM ( , , )n x y z= ,n AC n AM⊥ ⊥    2 4 0 2 2 0 x y y z + =  + = 1z = (2, 1,1)n = − α 6sin 3 CD n CD n α ⋅= =     P CA M h 2 6 3 AP nh n ⋅= =    11CB S FS F FA x FC y FS z ( 3,0,0), (0,1,0), (0,0,0), (0, 1,0)A C F B − 1 1( 3,0,6), (0,1,6), (0, 1,6), ( 3,0,3)A C B E− )0,0,3(−=AF ）（）（ 6,2,03,1,3 1 == BCBE 1BEC ),,( 111 zyxm = 0,0 1 =⋅=⋅ BCmBEm    =+ =++ 062 033 11 111 zy zyx 1 3y = 1-,0 11 == zx )1,3,0( −=m 0=⋅ mAF //AF 1BEC ABC )1,0,0(=n 10cos 10 m n m n θ ⋅= =     2 4y x＝ 1 22 PF + PF 2 2a＝ ＝ 2a = c b C A1 B1 A C1 B E F(II)由已知，可设直线 方程为 ， ， 联立 得 ，易知△＞0，则 ＝ ＝ ＝ 因为 ，所以 ＝1，解得 ， 联立 ，得 ，△＝8 ＞0 设 ，则 l 1x ty= + 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 2 2 1 3 x ty x y = +  + = 2 2( 1) 2 2 0t y ty+ + − = 1 2 2 1 2 2 2t t +1 2 t +1 y y y y  + = −  = − 1 1F A F B⋅  11 2 2( 1)( 1)x x y y+ + + 1 2 1 2(ty +2)(ty +2)+y y 2 2 1 2 1 2 2 2- 2tt +1 y y + 2t y + y + 4 t +1 （ ） （ ） ＝ 1 1 1F A F B =⋅  2 2 2-2t t +1 2 1t 3 ＝ 2 2 1 12 x ty x y + + ＝ ＝ 2 2t +2 y +2ty-1 0（ ） ＝ 2t +1（ ） 3 3 4 4C , ), ( , )x y B x y（ 3 4 2 3 4 2 2ty +y t +2 1y y 2t −   − + ＝ ＝ 1 2 FCD 1 2 3 4 2 481 8 1+t 4 63S F F y -y 72 t +2 7 3 ∆ × ⋅ （ ）＝ ＝ ＝ ＝