2019-2020 学年度秋四川省泸县一中高三期中考试
理科数学试题
第 I 卷(选择题 共 60 分）
一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题所给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）
1．设全集 ，集合 ， ，则
A． B． C． D．
2．已知复数 ，则 的虚部是
A. B. C. D.
3．设命题： ，则 为
A． B．
C． D．
4．设 ， 满足约束条件 ，则 的最大值是
A． B． C． D．
5． 的值为（ ）
A． B． C． D．
6．函数 f（x）＝xecosx（x∈[﹣π，π]）的图象大致是
A． B．
U = R { }2log 2A x x= ≤ ( )( ){ }3 1 0B x x x= − + ≥ ( )U B A∩ =
( ], 1−∞ − ( ] ( ), 1 0,3−∞ − ( ]0,3 ( )0,3
1z i
i= + z
1
2
1
2 i 1
2
− 1
2 i−
2: ,( 1) 1 0p x Z x∀ ∈ + − > p¬
2,( 1) 1 0x Z x∀ ∈ + − > ( )2
0 0, 1 1 0x Z x∃ ∈ + − >
2,( 1) 1 0x Z x∀ ∉ + − ≤ ( )2
0 0, 1 1 0x Z x∃ ∈ + − ≤
x y
2 3 9 0
3 0
0
x y
x y
y
− + ≥
+ − ≤
≥
2z x y= +
9
2
− 3 6 8
2 2cos15 sin1952 2
−
3
2
1
2
3
2
− 1
2
−C． D．
7．函数 的单调递减区间是
A. B. C. D.
8．已知 ， ， ， ，则 的大小关系是
A. B. C. D.
9．设函数 ．若 为奇函数，则曲线 在点 处的切
线方程为
A． B． C． D．
10．已知函数 在区间(－∞,0)内单调递增，且 ，若
，则 a，b，c 的大小关系为
A． B． C． D．
11．函数 的图像与函数 的图像所有交点的横坐标之和等于
A．2 B．4 C．6 D．8
12．设函数 ，若曲线 上存在 ，使得
成立，则实数 的取值范围为
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题共 90 分）
二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）
13．已知向量 ，且 ，则实数 的值是______.
14．设函数 为参数，且 的部分图象如
图所示，则 的值为______.
[ ]( ) 3sin cos , 0,π= − ∈f x x x x
3
2,0
π
3
2,2
ππ
ππ
,3
6
5,2
ππ
0 1a b c< < < < logam c= logbn c= cr a= m n r， ，
< b a c> > a b c> >
1
1y x
= − 2sin ( 2 4)y x xπ= − ≤ ≤
( ) lnf x x x m= + + 1 e 1 ecos2 2y x
− += + ( )0 0,x y
( )( )0 0f f y y= m
20,e e 1 − + 20,e e 1 + − 20,e e 1 + + 20,e e 1 − −
(2, ), (1, 2)a bm= = − a b⊥ m
( ) ( )(sin , ,f x A x Aω ϕ ω ϕ= + )0, 0,0A ω ϕ π> > < <
ϕ15．已知曲线 在点 处的切线的倾斜角为 ，则
= __
16．已知函数 在区间 上至少有一个极值点，则 的取值范围
为__________．
三、解答题（共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第 17 ~ 21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.）
17.（本大题满分 12 分）
已知函数 .
（Ⅰ）若函数 的图象与 轴无交点，求 的取值范围；
（Ⅱ）若函数 在 上存在零点，求 的取值范围.
18．（本大题满分 12 分）
已知向量 ，函数 ，且 的图像过点
和点 .
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）将 的图像向左平移 个单位后得到函数 的图像，若
图像上各最高点到点（0,3）的距离的最小值为 1，求 的单调递增区间.
19．（本大题满分 12 分）
在锐角三角形 中，角 所对的边分别为 ，已知
( ) 32 ln
3
xf x x x
= + ( )( )1, 1f α
2 2
2
sin cos
2sin cos cos
α α
α α α
−
+
( ) 3 23 3 1f x x ax x= − + + ( )2,3 a
( ) 2 4 3,f x x x a a R= − + + ∈
( )y f x= x a
( )y f x= [ ]1,1− a
( ) ( ),cos2 , sin2 ,a m x b x n = = ( )f x a b= ⋅ ( )y f x=
, 312
π
2 , 23
π −
,m n
( )y f x= (0 )ϕ ϕ π< < ( )y g x=
( )y g x= ( )y g x=
ABC , ,A B C , ,a b c.
（Ⅰ）求角 的大小；
（Ⅱ）求 的取值范围。
20．（本大题满分 12 分）
如图,在三棱锥 中, , 底面 ， ， ，
，且 .
（Ⅰ）若 为 上一点，且 ，证明：平面 平面 .
（Ⅱ）求二面角 的余弦值.
21．（本大题满分 12 分）
已知函数 （ 为常数， ）.
（I）当 在 处取得极值时，若关于 的方程 在 上恰有两个不相
等的实数根，求实数 的取值范围；
（II）若对任意的 ，总存在 使不等式 成立，求实
数 的取值范围.
（二）选考题：共 10 分，请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一
题计分.
22. [选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分）
已知平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数）.以坐标原
点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（Ⅰ）求曲线 的极坐标方程；
（Ⅱ）过点 的直线 与曲线 交于 ， 两点，且 ，求直线 的方程.
23．已知函数 .
( )(sin sin ) (sin sin )a c A C b A B− + = −
C
2 2cos cosA B+
P ACD− 3AB BD= PB ⊥ ACD BC AD⊥ 10AC =
5PC = 2cos 10ACP∠ =
E AC EF AC⊥ PBE ⊥ PAC
A PC D− −
21 1( ) ln 2 2f x ax x ax = + + − a 0a >
( )y f x= 1
2x = x ( ) =0f x -b [0,2]
b
(1,2)a∈ 0
1 ,12x ∈
( ) ( )2
0 2 3f x m a a> + −
m
xOy C
2 3cos
1 3sin
x
y
α
α
= +
= +
α
O x
C
( 2,1)− l C A B 2AB = l
( ) | | | 2 5| ( 0)f x x a x a= + + − >（Ⅰ）当 时，解不等式 ；
（Ⅱ）当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
2a = ( ) 5f x ≥
[ ,2 2]x a a∈ − ( ) | 4 |f x x≤ + a2019-2020 学年度秋四川省泸县一中高三期中考试
理科数学试题参考答案
1-5:DADCA 6-10:BCADA 11-12:DD
13．1 14． 15． 16．
17．(1)若函数 y＝f(x)的图象与 x 轴无交点，
则方程 f(x)＝0 的根的判别式 Δ1.
(2)因为函数 f(x)＝x2－4x＋a＋3 图象的对称轴是 x＝2，
所以 y＝f(x)在[－1,1]上是减函数．
又 y＝f(x)在[－1,1]上存在零点，
所以 ,即 ,
解得－8≤a≤0.故实数 a 的取值范围为－8≤a≤0.
18．（1）由题意知， .
因为 的图像过点 和点 ，
所以 ，即 解得 .
（2）由（1）知 ，
由题意知， .
设 的图像上符合题意的最高点为 ，
由题意知， ，所以 ，
即到点（0,3）的距离为 1 的最高点为（0,2），
3
π 8
7
5 5,4 3
( ) sin2 cos2f x m x n x= +
( )y f x= , 312
π
2 , 23
π −
3 ,6 6{ 4 42 ,3 3
msin ncos
msin ncos
π π
π π
= +
− = +
1 33 ,2 2{
3 12 ,2 2
m n
m n
= +
− = − −
3, 1m n= =
( ) 3sin2 cos2 2sin 2 6f x x x x
π = + = +
( ) ( ) 2sin 2 2 6g x f x x
πϕ ϕ = + = + +
( )y g x= ( )0 ,2x
2
0 1 1x + = 0 0x =将其代入 得， .因为 ，所以 ，
因此， .
由 得 ，
所以函数 的单调递增区间为 .
19．（1）因为 ，由正弦定理得
，即 ，
则
根据余弦定理得
又因为 ，所以
（2）因为 ，所以
则
因为三角形 为锐角三角形且 ，所以
则
所以 ，
所以 即 的取值范围为
( )y g x= sin 2 16
πϕ + = 0 ϕ π< <
6
πϕ =
( ) 2sin 2 2cos22g x x x
π = + =
2 2 2 ,k x k k Zπ π π− ≤ ≤ ∈ ,2k x k k Z
ππ π− ≤ ≤ ∈
( )y g x= , ,2k k k Z
ππ π − ∈
( )( ) ( )sin sin sin sina c A C b A B− + = −
( )( ) ( )a c a c b a b− + = − 2 2 2a b c ab+ − =
2 2 2 1
2 2
a b c
ab
+ − =
1cos 2C =
0 C π< <
3C
π=
3C
π= 42 23B A
π= −
( )2 2 1 cos2 1 cos2 1cos cos 1 cos2 cos22 2 2
A BA B A B
+ ++ = + = + +
1 41 cos2 cos 22 3A A
π = + + −
1 1 31 cos2 sin22 2 2A A
= + −
11 cos 22 3A
π = + +
ABC 3C
π=
6 2A
π π< <
2 423 3 3A
π π π< + <
11 cos 2 6 2A
π − ≤ + < −
2 21 3cos cos2 4A B≤ + < 2 2cos cosA B+ 1 3
2 4
，
20．（1）证明：∵ 平面 ， 平面
∴ .
又 ， ，
∴ 平面 .
∵ 平面 ，
∴ 平面 平面 .
（2）解：
在 中，由余弦定理得
,
∴ ，
由条件得 解得
∵ 平面 ， 平面 ，平面 平面 ，
∴ ，
∴ .
过 作 ，交 于 ，则 为三棱锥 的高，则 .
∵ ，
∴ .
即三棱锥 的体积为 。
21．（1） ，即 ，又
所以 ，此时 ，所以 上递减， 上递增，
PB ⊥ ACD AC ⊂ ACD
PB AC⊥
BE AC⊥ BE BD B∩ =
AC ⊥ PBE
AC ⊂ PAC
PBE ⊥ PAC
ACP∆
2 2 2 22 cos 15 2 5 2 1310AP AC PC AC PC ACP= + − ⋅ ⋅ ∠ = − × × =
13AP =
2 2
2 2
2 2
10,
5,
13,
AB BC
BC PB
AB PB
+ =
+ =
+ =
3,
1,
2.
AB
BC
PB
=
=
=
/ /BQ PAC BQ ⊂ PAD PAC ∩ PAD PA=
/ /BQ PA
3PQ AB
QD BD
= =
Q / /QH PB AD H QH Q ACD− 1 1
4 2QH PB= =
3 1 4AD AB BD= + = + =
1 1 1 14 13 2 2 3Q ACDV − = × × × × =
Q ACD− 1
3
( ) 12 , 1 011 2 1 2
a af x x a f aax a
′ ′ = + − = + − = + + 2 2 0a a− − = 0a >
2a = ( ) ( )2 2 1
1 2
x xf x x
′ −= +
10, 2x ∈
1 ,22x ∈ 又 ，所以
（2）
因为 ，所以 ，即
所以 在 上单调递增，所以
问题等价于对任意 ，不等式 成立
设 ，
则
当 时， ，所以 在区间 上单调递减，此时
所以 不可能使 恒成立，故必有，因为
若 ，可知 在区间 上单调递增，在此区间上有 满足要求
若 ，可知 在区间 上递减，在此区间上有
，与 恒成立相矛盾，所以实数 的取值范围是 .
22．（Ⅰ）消去参数 ，可得曲线 的普通方程为 ，
.由
所以曲线 的极坐标方程为 .
（Ⅱ）显然直线 的斜率存在，否则无交点.
设直线 的方程为 ，即 .
( ) ( )1 1 3 50 ln , , 2 ln2 2 4 2f f f = = − =
3 1ln4 2b− < ≤
( ) ( ) ( )22 2 2 22 2
21 1 1
x ax aax a xaf x x aax ax ax
− −+ − = +′ − = =+ + +
1 2a< < ( )( )2 2 12 1 02 2 2
a aa
a a
− +− − = <
2 2 1
2 2
a
a
− <
( )f x 1 12
， ( ) ( )max
1 11 ln 12 2f x f a a = = + + −
( )1,2a∈ ( )21 1ln 1 2 32 2 a a m a a + + − > + −
( ) ( )( )21 1ln 1 2 3 1 22 2h a a a m a a a = + + − − + − < ( )21 4a a+ ≥
1
8m ≤ − ( )h a ( )1,2 ( ) ( )1 0h a h> =
1 08 m− < < ( )h a 11,min 1 ,24m
− −
( ) ( )1 0h a h< = ( ) 0h a > m 1, 8
−∞ −
α C 2 2( 2) ( 1) 9x y− + − =
2 2 4 2 4 0x y x y+ − − − = cos
sin
x
y
r q
r q
ì =ïí =ïî
C 2 4 cos 2 sin 4 0ρ ρ θ ρ θ− − − =
l
l 1 ( 2)y k x− = + 2 1 0kx y k− + + =而 ，则圆心到直线 的距离 .
又 ，所以 ，解得 .
所以直线 的方程为 或 .
23．（1）当 时， ，
由 ，得 ，即 ，
或 ，即 ，
或 ，即 ，
综上： 或 ，
所以不等式 的解集为 .
（2） ， ，
因为 ， ，
所以 ，
又 ， ， ，
得 .
不等式恒成立，即 在 时恒成立，
不等式恒成立必须 ， ，
2AB = l
2
2 9 1 2 22
ABd r = − = − =
2
| 4 |
1
kd
k
=
+ 2
| 4 | 2 2
1
k
k
=
+ 1k = ±
l 1 0x y+ + = 3 0x y− + =
2a = ( )
3 3 , 2
52 2 5 7 , 2 2
53 3, 2
x x
f x x x x x
x x
− < −
= + + − = − − ≤ ≤
− >
( ) 5f x ≥ 2
3 3 5
x
x
< −
− ≥
2
2
3
x
x
< − ≤ −
2x < −
52 2
7 5
x
x
− ≤ ≤
− ≥
52 2
2
x
x
− ≤ ≤
≤
2 2x− ≤ ≤
5
2
3 3 5
x
x
>
− ≥
5
2
8
3
x
x
>
≥
8
3x ≥
2x ≤ 8
3x ≥
( ) 5f x ≥ 8{ | 2 }3x x x或≤ ≥
( ) 4f x x≤ + ( ) 2 5 4f x x a x x= + + − ≤ +
[ ],2 2x a a∈ − 2 2a a− >
2a >
[ ],2 2x a a∈ − 0x a+ > 4 0x + >
2 5 4x a x x+ + − ≤ +
2 5 4x a− ≤ − [ ],2 2x a a∈ −
4a ≤ 4 2 5 4a x a− ≤ − ≤ −解得 .所以 ，
解得 ，结合 ，所以 ，即 的取值范围为 .
1 2 9a x a+ ≤ ≤ − 2 1
4 4 9
a a
a a
≥ +
− ≤ −
131 5a≤ ≤ 2 4a< ≤ 132 5a< ≤ a 132, 5
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