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1．3 算法案例
第1课时 算法案例(1)
课时目标
1.能用辗转相除法和更相减损术求两个数的最大公约数．
2．能用秦九韶算法求高次多项式的值．
3．掌握古代数学中这两种算法的编程．
识记强化
1．辗转相除法是用于求两个正整数的最大公约数的一种方法，这种算法由欧几里得在公元前300年左右首先提出，因而又叫欧几里得算法．
2．所谓辗转相除法，就是对于给定的两个正整数，用较大数除以较小数．若余数不为零，则将余数和较小数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则这时较小数就是原来两个数的最大公约数．
3．更相减损术是我国古代数学专著《九章算术》中介绍的一种求两个正整数最大公约数的方法．其基本过程是：对于给定的两个正整数，判断它们是否都是偶数，若是，用2约简；若不是，用较大数减去较小数，接着把所得的差与较小数比较，并以大数减小数，继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数．
4．秦九韶算法是我国南宋数学家秦九韶在他的代表作《数学九章》中提出的一种用于计算一元n次多项式的值的方法．
课时作业
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一、选择题
1．用更相减损术求36与134的最大公约数，第一步为( )
A．134－36＝98
B．134＝3×36＋26
C．先除以2，得到18与67
D．134÷36＝3(余26)
答案：C
解析：利用更相减损术求两个数的最大公约数时，若两个数都是偶数，则首先将两个数都除以2之后再作减法．
2．如果a，b是整数，且a＞b＞0，r＝aMODb，则a与b的最大公约数是( )
A．r B．b
C．b－r D．b与r的最大公约数
答案：D
解析：由题意a＝kb＋r(k∈N*)，即a，b的最大公约数是b与r的最大公约数．
3．98,280的最大公约数为( )
A．7 B．14
C．16 D．8
答案：B
解析：由辗转相除法可得：280＝98×2＋84,98＝84×1＋14,84＝14×6.故最大公约数为14.也可以使用更相减损术或短除法．
4．用秦九韶算法求n次函数f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0，在x＝x0时的值时，一个反复执行的步骤是( )
A.(k＝1,2，…，n)
B.(k＝1,2，…，n)
C.(k＝1,2，…，n)
D.(k＝1,2，…，n)
答案：B
5．用更相减损术求168与360的最大公约数时，需要做的差式运算的次数为( )
A．6 B．7
C．8 D．9
答案：C
6．使用秦九韶算法求P(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0在x＝x0时的值可减少运算次数，做加法的次数为( )
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A．n B.
C．2n＋1 D．2n
答案：A
解析：由秦九韶算法的过程可知，做加法的次数为n.
二、填空题
7．三个数30,42,60的最大公约数是________．
答案：6
解析：30＝5×6,42＝7×6,60＝10×6.
8．用秦九韶算法求多项式f(x)＝12＋35x－8x2＋79x3＋6x4＋5x5＋3x6当x＝－4时的值时，其中v1的值为________．
答案：－7
9．利用秦九韶算法求P(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0当x＝x0时的值可减少运算次数，做乘法的次数为________次．
答案：n
三、解答题
10．用辗转相除法求294与84的最大公约数．
解：用辗转相除法：
294＝84×3＋42,84＝42×2，
即294与84的最大公约数是42.
11．已知函数f(x)＝x3－2x2－5x＋6，试用秦九韶算法求f(10)的值．
解：根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：
f(x)＝x3－2x2－5x＋6＝(x2－2x－5)x＋6
＝((x－2)x－5)x＋6.
我们把x＝10代入函数式，得f(10)＝((10－2)×10－5)×10＋6＝756.
能力提升
12．已知多项式Pn(x)＝a0xn＋a1xn－1＋…＋an－1x＋an.如果在一种算法中，计算x(k＝2,3,4，…，n)的值需要k－1次乘法，计算P3(x0)的值共需要9次运算(6次乘法，3次加法)，那么计算Pn(x0)的值共需要________次运算．下面给出一种减少运算次数的算法：P0(x)＝a0，Pk＋1(x)＝xPk(x)＋ak＋1(k＝0,1,2，…，n－1)．利用该算法，计算P3(x0)的值共需要6次运算，计算Pn(x0)的值共需要________次运算．
答案：n(n＋3) 2n
解析：Pn(x)＝a0xn＋a1xn－1＋…＋an－1x＋an，共需n
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次加法运算，每个小因式中所需乘法运算依次为n，n－1，…，1,0.故总运算次数为n＋n＋(n－1)＋…＋1＝n＋＝n(n＋3)．
第二种算法中，P0(x0)＝a0不需要运算，P1(x0)＝x0P0(x0)＋a1，需2次运算，P2(x0)＝x0P1(x0)＋a2需2＋2次运算，依次往下，Pn(x0)需2n次运算．
13．春节快到了，奶奶要给来家里玩的小朋友分糖果，现有大白兔、金丝猴、阿尔卑斯三种糖果，分别重3 600克、4 000克、3 200克．现要将它们分别全部装入小礼品盒中，每个小礼品盒装入的糖果重量相等，问每盒最多装多少克糖果？
解：根据题意求每盒最多装多少克，即求3 600、4 000、3 200的最大公约数，由更相减损术原理即求9、10、8最大公约数与400的积，由更相减损术易求9、10、8最大公约数为1.
所以3 600、4 000、3 200的最大公约数为400，故每盒最多装400克糖果．
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