湖南攸县三中2020届高三数学(理)上学期第二次月考试卷(附答案)
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资料简介
2020 届高三第二次月考理科数学试题 (考试时间:120 分钟 试卷满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一个选项是符合题目要求的). 1.设集合 , ,则 ( ) A. B. C. D. 2. 已知复数 在复平面上对应的点在直线 上,复数 ( 是虚数 单位),则 ( ) A. B. C. D. 3. 若 ,则 的值为( ) A. B. C. D. 4. 在 内随机取出两个数,则这两个数满足 的概率为( ) A. B. C. D. 5. 若圆 与直线 交于不同的两点,则实数 的取值范围为( ) A. B. C. D. 6. 70 年代中期,美国各所名牌大学校园内,人们都像发疯一般,夜以继日,废寝忘食地玩一 个数学游戏.这个游戏十分简单:任意写出一个自然数 ,并且按照以下的规律进行变 换:如果是个奇数,则下一步变成 ;如果是个偶数,则下一步变成 .不单单是 学生,甚至连教师、研究员、教授与学究都纷纷加入.为什么这个游戏的魅力经久不衰? 因为人们发现,无论 是怎样一个数字,最终都无法逃脱回到谷底 .准确地说,是无法 逃出落入底部的 循环,永远也逃不出这样的宿命.这就是著名的“冰雹猜想”.按 照这种运算,自然数 经过十步运算得到的数为 (  ) A. B. C. D. 7. 在 中, , , 分别为内角 , , 的对边,且 }2)1(log|{ 2 1 4 1 8 1 10 1 16 2 2 12 16 0x y x+ − + = y kx= k ( 3, 3)− ( 5, 5)− 5 5( , )2 2 − 3 3( , )2 2 − N 3 1N + 2 N N 1 4 2 1− − 27 142 71 214 107 ABC△ a b c A B C,则 的值为( ) A. B. C. D. 8.某几何体的三视图如图所示,若该几何体的体积为 ,则图中 的值为( ) A. B. C. D. 9. 运行如下程序框图,如果输入的 ,则输出 属于( ) A. B. C. D. 10.已知向量 , , ,若 与 的夹角为 60°,且 ,则实数 的值为( ) A. B. C. 6 D. 4 11.如图,在四边形 中, , , .现沿对角线 折起,使得平面 平面 ,且三棱锥 的体积为 ,此时点 , , , 在同一个球面上,则该球的体积是( ) A. B. C. D. 2 2 23 3 2 3 sina b c bc A= + − C 3 π 6 π 4 π 3 2π 20 3 x 3 1 2 5 2 [ ]0,5t ∈ S [ )4,10− [ ]5,2− [ ]4,3− [ ]2,5− 3OA = 2OB = OC mOA nOB= +   OA OB OC AB⊥  m n 1 6 1 4 ABCD 2AB BC= = 90ABC∠ = ° DA DC= AC DAC ⊥ ABC D ABC− 4 3 A B C D 9 2 π 8 2 3 π 27 2 π 12π 开始 输入 t 2?t ≥ 222 2 2 4S t t= − 5S t= 输出 S 结束 是 否12.已知函数 存在极值,若这些极值的和大于 ,则实数 的取值 范围为( ) A. B. C. D. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 若 ,其中 ,则 的值为 . 14. 已知函数 ,若 ,实数 满足约束条件 ,则目标函数 的最大值为 . 15. 过点 的直线交抛物线 于 两点,若抛物线的焦点为 ,则 面 积的最小值为 . 16. 以下四个命题: ①已知随机变量 ,若 ,则 的值为 ; ②设 ,则“ ”是“ ”的充分不必要条件; ③函数 的零点个数为 1; ④命题 ,,则 为 . 其中真命题的序号为 . 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) ( ) 2 lnf x ax x x= − − 5 ln 2+ a ( ),4−∞ ( )4,+∞ ( ),2−∞ ( )2,+∞ ( )( )6 2 7 0 1 2 71 x a x a a x a x a x+ − = + + +⋅⋅⋅+ ( )π 0 sin cos da x x x= −∫ 0 1 2 6a a a a+ + +…+ ( ) 1 , 02 2, 0 x xf x x x   1 2 a+ ,a b∈R 2 2log loga b> 2 1a b− > ( ) 1 2 1 2 x f x x  = −   2: ,3 1np n n∀ ∈ ≥ +N p¬ 2,3 1nn n∀ ∈ ≤ +N17.(本小题满分 12 分) 已知数列 为公差不为 0 的等差数列,满足 ,且 成等比数列. (1)求 的通项公式; (2)若数列 满足 ,且 ,求数列 的前 项和 . 18. (本小题满分 12 分) 已知在四棱锥 中, 平面 , , 是边长为 的等边 三角形, , 为 的中点. (1)求证: ; (2)若直线 与平面 所成角的正切值为 ,求二面角 的大小. 19.(本小题满分 12 分) 近年来,微信越来越受欢迎,许多人通过微信表达自己、交流思想和传递信息,微信是现 代生活中进行信息交流的重要工具.而微信支付为用户带来了全新的支付体验,支付环节由 此变得简便而快捷.某商场随机对商场购物的 名顾客进行统计,其中 岁以下占 , 采用微信支付的占 , 岁以上采用微信支付的占 . (1)请完成下面 列联表: 岁以下 岁以上 合计 使用微信支付 未使用微信支付 合计 并由列联表中所得数据判断有多大的把握认为“使用微信支付与年龄有关”? { }na 2 9 30, ,a a a { }na { }nb ( ) 1 1 1 n n n a nb b ∗ + − = ∈N 1 1 3b = { }nb n nT C ABDE− DB ⊥ ABC / /AE DB ABC△ 2 1AE = M AB CM EM⊥ DM ABC 2 B CD E− − 100 40 3 5 2 3 40 1 4 2 2× 40 40 1 5a =(2)采用分层抽样的方法从 名顾客中抽取 人参与抽奖活动,一等奖两名,记 “ 岁以下”得一等奖的人数为 ,求 的分布列及数学期望. 参考公式: , . 参考数据: 20.(本小题满分 12 分) 已知椭圆的两个焦点为 , , 是椭圆上一点,若 , . (1)求椭圆的方程; (2)点 是椭圆上任意一点, 分别是椭圆的左、右顶点,直线 与直线 分别交于 两点,试证:以 为直径的圆交 轴于定点,并求该定点的坐标. 21.(本小题满分 12 分) 已知函数 . (1)如果对于任意的 , 恒成立,求实数 的取值范围; (2)若 ,过点 作函数 的图象的所有切线,令 各切点的横坐标按从小到大构成数列 ,求数列 的所有项之和. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 中,点 ,以原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线 的极坐标方程为 .直线 的参数方程为 为参数 . 100 10 40 X X n a b c d= + + + ( )2 0P K k≥ 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 ( )1 5,0F − ( )2 5,0F M 1 2 0MF MF⋅ =  1 2 8MF MF⋅ =  P 1 2A A、 1 2PA PA, 3 5 2x = ,E F EF x ( ) sin ce ( os )xf x x x= + 2 π0,x  ∈   ( ) e cosxf x kx x≥ + k 2015 20π π17,2 2x  ∈ −   1,0π 2M −     ( )f x { }nx { }nx xOy ( )0 3P , x C 2 2 4 1 cos ρ θ= + l 1 2 ( 33 2 x t t y t  = −  = + ) 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + 0k(Ⅰ)写出曲线 的直角坐标方程和直线 的普通方程; (Ⅱ)设直线 与曲线 的两个交点分别为 ,求 的值. C l l C ,A B 1 1 PA PB +2020 年届高三第二次月考 理科数学·全解全析 第Ⅰ卷 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一个 选项是符合 题目要求的). 1.【解析】由题意可得 , ,或 ,由 和 ,解得 ,所以 ,即 ,故 ,故答案为 C. 2. 【解析】因为复数 在复平面上对应的点在直线 上,所以点 在 直线 上,即 ,解得 ,所以 ,故 ,则 .故选 D. 3. 【解析】 .故选 A. 4. 【解析】所求概率为几何概型,测度为面积,易知 构成的公共区域为 正方形,且面积为 ,满足 的为图中的阴影部分,又阴影部分的面积为 , 因此所求的概率为 ,选 B. }31|{ k 5 5 2 2k− < < 82,41,124,62,31,94,47,142,71,214 214 2 2 2 2 22 cos 3 3 2 3 sina b c bc A b c bc A= + − = + − 2 2 ( 3sin cos )b c bc A A+ = − 2 2 2sin( )6 b c Abc + π= − 2 2 2 2sin( ) 26 b c Abc + π≤ = − ≤ 2sin( ) 26A π− = b c= 6 2A π π− = 3A 2π= 6C π= F ABC− A CDEF− A CDEF− CDEF 2x 4 2 21 443 3x x× = F ABC− 1 22 x x× × = x 21 3 x 2 2 24 1 5 20 3 3 3 3V x x x= + = = 2x =9. 【解析】当 时, ;当 时, ,所以 . 故选 A. 10.【解析】 , ,故选 A. 11.【解析】∵ , ,∴ 的外接圆半径为 .由题 意知 ,平面 平面 ,如图,取 的中点 ,连结 ,则 平 面 ,球心 在 上.因为三棱锥 的体积为 ,所以 ,解得 ,∴球心 到平面 的距离为 ( 为外 接球的半径),由勾股定理可得 ,∴ ,故所求球的体积为 .故选 A. 12【解析】对函数 求导得 . 存在极值, 在 上有解,即方程 在 上有解, 即 .显然当 时, 无极值,不合题意,所以方程 必有 [ )0,2t ∈ [ )5 0,10t ∈ [2,5]t ∈ [ ]2 4 4,5t t− ∈ − [ )4,10S ∈ − · 3 2 cos60 3, , ,OAOB OC mOA nOB OC AB= × × = = + ⊥        ( ) ( )( ) ( ) 2 2 · · · 0mOA nOB AB mOA nOB OB OA m n OAOB mOA nOB∴ + = + − = − − + =           ( ) 13 9 4 0, 6 mm n m n n ∴ − − + = ∴ = 2AB BC= = 90ABC∠ = ° ABC△ 1 22 AC = DA DC= DAC ⊥ ABC AC E DE DE ⊥ ABC O DE D ABC− 4 3 4 1 1 2 23 3 2V DE= = × × × × 2DE = O ABC 2 R− R ( ) ( )222 2 2R R= − + 3 2R = 34 9π π3 2R = ( )f x 22 1( ) x axf x x − +′ = − ( )f x 22 1( ) 0x axf x x − +′∴ = − = ( )0,+∞ 22 1 0x ax− + = ( )0,+∞ 2 8 0a∆ = − ≥ 0∆ = ( )f x 22 1 0x ax− + = 是两个不等正根.设方程 的两个不等正根分别为 ,则 ,由 题意知 ,解得 ,满足 ,又 ,即 ,故 所求 的取值范围是 .故选 B. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 【解析】由题意得 ,则 ,令 ,可得 ,由于展开式中含 的项的系数是 中含 的项的系数与 中含 的项的系数之积,又 展开式的通项为 ,则 的系数是 ,所以 , 则 . 14.【解析】根据分段函数,得 ,则 ,约束条件 ,即为 ,作出可行域 (如图中阴影部分所示),因为 ,故只需求出 的最大值,而 表示过可行域内的点 和点 的直线的斜率, 由图象,得当直线过点 , 时,斜率最大,即 ,故函数 的最大值为 . 22 1 0x ax− + = 1 2,x x 1 2 1 2 1 02 2+ = x x ax x  = >   ( ) ( )1 2f x f x+ ( ) ( ) ( )2 2 1 2 1 2 1 2ln lna x x x x x x= + − + − + 2 2 1 11 ln 5 ln2 4 2 2 a a= − + − > − 2 16a > 0∆ > 1 2 02+ =ax x > 0a > a ( )4,+∞ ( )π π 00 sin cos d ( cos sin ) | 2a x x x x x= − = − − =∫ ( )( ) ( )( )6 6 2 7 0 1 2 71 1 2x a x x x a a x a x a x+ − + − = + + +⋅⋅⋅+= 1x = 0 1 2 7 2a a a a+ + +⋅⋅⋅+ = 7x ( )62 x− 6x ( )1 x+ x ( )62 x− ( ) ( )6 6 1 6 6C 2 1 2 Cr rr r r r r rT x x− − + = − = − 6x ( )66 6 6 6C 2 1 1− − = 7 1 1 1a = × = 0 1 2 6 2 1 1a a a a+ + +⋅⋅⋅+ = − = ( ) 212 42f − − = =   ( ) ( )2 4 4 2 2f f f a− = = − = =   0 6 2 6 x a x y x y − ≥ + ≤ − ≤    2 0 6 2 6 x x y x y − ≥ + ≤ − ≤    3 4 10 4 4 32 2 x y yz x x + + += = ++ + ( )4 1 32 y x += ++ 1' 2 yz x += + 1' 2 yz x += + ( ),x y ( )2, 1M − − ( )2,4A ( 2, 1)M − − max 5' 4z = 3 4 10 2 x yz x + += + 54 3 84 × + = 15.【解析】设点 .①当直线 的斜率不存在时,易知 直线 的方程为 ,此时将 代入抛物线的方程 中,得 ,解得 ,所以点 的坐标分别为 ,所以 的面积为 ;②当直线 的斜率存在时, 设斜率为 ,显然 ,故直线 的方程为 .联立 ,消去 , 得 ,且 ,由根与系数的关系,得 ,所以 的面积 为 .综上所述, 面积的最小值为 . 16.【解析】①由题意得正态密度函数的图象关于直线 对称,正态密度函数的图象与 轴 围成的面积为 ,所以有 ,故①为假命题; ② , ,所以“ ”是“ ”的 充分不必要条件,故②为真命题; ③在同一平面直角坐标系中作出函数 与 的图象,由图可知,两个函数图象只 ( ) ( )( )1 1 2 2 1 2, , , 0, 0A x y B x y y y> < AB AB 2x = 2x = 2 4y x= 2 8y = 2 2y = ± ,A B ( ) ( )2,2 2 , 2, 2 2− ABF△ ( )1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 2 2 22 2 2S PF y y y y= × × − = − = − − = AB k 0k ≠ AB ( )2y k x= − ( ) 2 2 4 y k x y x  = − = y ( )2 2 2 24 4 4 0k x k x k− + + = 232 16 0k∆ = + > ( )( )2 1 2 1 2 1 2 1 22 4 4 , 4, 2 2kx x x x y y x xk ++ = = ∴ = − 1 24 8x x= − = − ABF△ ( )2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 12 4 4 2 2 22 2 2 2S PF y y y y y y y y x x x x= × × − = − = + − = + − × × − ( ) 2 1 2 2 2 1 1 4 4 1 16 14 16 4 16 32 32 2 22 2 2 2 kx x k k += + + = × + = + > = ABF△ 2 2 0x = x 1 ( )1( 2) ( 2) 12P X P X a> = < − = − 2 2log log 0a b a b> ⇔ > > 2 1a b a b− > ⇔ > 2 2log loga b> 2 1a b− > 1 2y x= 1 2 x y  =   有一个交点,所以函数 的零点只有 1 个,故③为真命题; ④由全称命题的否定为特称命题,知 为 ,故④为假命题. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 【解析】(1)设等差数列 的公差为 ( ),由 成等比数列可知 ,又 ,解得 ,∴ .………………4 分 (2)由 ,得 , 当 时, ,………………………8 分 对 上式也成立,∴ ,∴ , ∴ . ………12 分 18. 【解析】(1)因为 是等边三角形, 为 的中点,所以 .又因为 平面 , ,可得 平面 ,因为 平面 ,所以 ;(4 分) (2)如图,以点 为坐标原点, 所在直线分别为 轴,过 且与直线 平行 的直线为 轴,建立空间直角坐标系.因为 平面 ,所以 为直线 与平 面 所成的角.(6 分) 由题意得 ,即 ,故 , , ,于是 , , , ,设平面 与平面 的法向量分别为 , 2 3na n= + ( )f x p¬ 2 0 0,3 1nn n∃ ∈ < +N { }na d 0d ≠ 2 9 30, ,a a a ( )( ) ( )2 1 1 129 8a a d a dd + = ++ 1 5a = 2d = ( ) 1 1 1 n n n a nb b ∗ + − = ∈N ( )1 1 1 1 2,n n n a n nb b ∗ − − − = ≥ ∈N 2n ≥ 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n n nb b b b b b b b− − −      = − + − + + − +            ( )( ) ( )1 2 1 1 1 1 1 2 6 3 22n na a a n n n nb− −= + + + + = − + + = + 1 1 3b = ( )( )1 2 n n n nb ∗= + ∈N ( ) 1 1 1 1 2 2 2nb n n n n  = = − + +  ( )( ) 21 1 1 1 1 1 1 3 1 1 3 512 3 2 4 2 2 2 1 2 4 1 2n n nT n n n n n n   +       = − + − + + − = − − =        + + + + +         ABC△ M AB CM AB⊥ DB ⊥ ABC DB CM∴ ⊥ CM ⊥ ABDE EM ⊂ ABDE CM EM⊥ M ,MC MB ,x y M BD z DB ⊥ ABC DMB∠ DM ABC tan 2BDDMB MB ∠ = = 2BD = ( )0,1,0B ( )3,0,0C ( ) ( )0,1,2 , 0, 1,1D E − ( )3, 1,0BC = − ( )0,0,2BD = ( )3, 1,1CE = − − ( )3,1,2CD = − BCD CDE ( )1 1 1, ,x y z=m,则由 得 ,令 ,得 ,所以 .同理求得 , (10 分) 所以 ,则二面角 的大小为 .(12 分) 19.【解析】(1)由已知可得, 岁以下的有 人,使用微信支付的有 人, 岁以上使用微信支付的有 人.所以 列联表为: 岁以下 岁以上 合计 使用微信支付 40 10 50 未使用微信支付 20 30 50 合计 60 40 100 由列联表中的数据计算可得 的观测值为 ,由于 ,所以有 的把握认为“使用微信支付与年龄有关”. .....5 分 (2)采用分层抽样的方法从 名顾客中抽取 人,则从“ 岁以下”的人中抽取 人, 从“ 岁以上”的人中抽取 人, 的所有可能取值为 ,又 , , ,故分布列如下: ( )2 2 2, ,x y z=n 0 0 BC BD  ⋅ =  ⋅ =   m m 1 1 1 3 0 2 0 x y z  − = = 1 1x = 1 3y = ( )1, 3,0=m 3 2 31, ,3 3  = −    n cos , 0 ⋅= =m nm n m n B CD E− − 90° 40 3100 605 × = 260 403 × = 40 140 104 × = 2 2× 40 40 2K ( )2100 40 30 20 10 50 60 40 50 50 3k × × − ×= =× × × 50 10.8283 > 100 10 40 6 40 4 X 0,1,2 ( ) 2 4 2 10 C 20 C 15P X = = = ( ) 1 1 6 4 2 10 C C 81 C 15P X = = = ( ) 2 6 2 10 C 12 C 3P X = = = X 0 1 2数学期望 . .....12 分 20.【解析】(1)由 ,得 ,即 ,由勾股定理,得 ,且 ,解得 ,根据椭圆的定 义,可得 ,即 ,所以 ,所以椭圆的方程为 ......4 分 (2)由(1)得 , ,设 ,则直线 的方程为 ,它与直线 的交点的坐标为 ,直线 的方程为 ,它与直线 的交点的坐标为 ,再设以 为直径的圆交 轴于点 ,则 , 从而 ,即 ,即 , 解得 .故以 为直径的圆交 轴于定点,该定点的坐标为 或 . ..........12 分 21.【解析】(1)令 ,要使 恒 成立,只需当 时, , ,令 ,则 对 恒成立, 在 3 5 2x = EF P 2 15 8 15 1 3 2 8 1 6( ) 0 1 215 15 3 5E X = × + × + × = 1 2 0MF MF⋅ =  1 2MF MF⊥  1 2MF MF⊥ 2 2 2 1 2 (2 ) 20MF MF c+ = = 1 2 8MF MF⋅ =  1 24, 2MF MF= =  1 2 2 6MF MF a+ = =  3a = 2 2 2 4b a c= − = 2 2 19 4 x y+ = ( )1 3,0A − ( )2 3,0A ( )0 0,P x y 1PA ( )0 0 33 yy xx = ++ 3 5 2x = 0 0 3 5 3 5, 32 3 2 yE x   +    +    2PA ( )0 0 33 yy xx = −− 0 0 3 5 3 5, 32 3 2 yF x   −    −    EF x ( ),0Q m QE QF⊥ 1QE QFk k⋅ = − 0 0 0 0 3 5 3 53 33 2 3 2 1 3 5 3 5 2 2 y y x x m m    + −   + −   ⋅ = − − − 2 2 0 2 0 9 3 54 9 2 y mx  = − −  −   3 5 12m = ± x 3 5 1,02  +    3 5 1,02  −    ( ) ( ) cosexg x f x kx x= − − sinex x kx= − ( ) e cosxf x kx x≥ + 2 π0,x  ∈   ( )min 0g x ≥ ( ) ( )sin se coxg x x x k= + −′ ( ) ( )sin ce osxh x x x= + ( ) 2 cos 0exh x x′ = ≥ 2 π0,x  ∈   ( )h x∴ 2 π0,x  ∈  上是增函数,则 ,..........2 分 ①当 时, 恒成立, 在 上为增函数, , 满足题意; ②当 时, 在 上有实根 , 在 上是增函数,则 当 时, , 不符合题意; ③当 时, 恒成立, 在 上为减函数, 不 符合题意, ,即 . ..........5 分 (2) , , 设切点坐标为 ,则切线斜率为 ,从而切线方程为 , ,即 ,令 , ,这两个函数的图象关于点 对称,则它们交点的横坐标关于 对 称,从而所作的所有切线的切点的横坐标构成数列 的项也关于 成对出现,又在 内共有 1008 对,每对和为 ,∴数列 的所有项之和为 .......12 分 22. 【解析】(1)曲线 的直角坐标方程为 ,直线 的普通方程为 .…………5 分 (2)点 在直线 上,将直线 的参数方程代入曲线 的直角坐标方 ( ) 2 π e1,h x  ∈    1k ≤ ( ) 0g x′ ≥ ( )g x 2 π0,x  ∈   ( ) ( )min 0 0g x g∴ = = 1k∴ ≤ 2 π 1 ek< < ( ) 0g x′ = 2 π0,x  ∈   0x ( )h x 2 π0,x  ∈   [ )00,x x∈ ( ) 0g x′ < ( ) ( )0 0 0g x g∴ < = π 2ek ≥ ( ) 0g x′ ≤ ( )g x 2 π0,x  ∈   ( ) ( )0 0g x g∴ < = 1k∴ ≤ ( ],1k ∈ −∞ ( )f x = ( )sin coe sx x x+ ( ) e' 2 cosxf x x∴ = ( )( )0 0 0 0, sin cosexx x x+ ( ) 0 0 02 cos' exf x x= ( )0 0 0sin cosexy x x− + ( )0 0 02 cosex x x x= − ( )0 0 0 0 0 0 1sin cos 2 co 2 πe sex xx x x x − ∴− + = −   0 0tan 2 2 πx x = −   1 tany x= 2 2 2 πy x = −   π ,02      π 2x = { }nx π 2x = 2015 2017,2 2 π π −   π { }nx 1008π C 2 2 12 4 x y+ = l 3 3x y+ = ( )0 3P , :l 3 3x y+ = l C程,得 , ,设两根为 , , , ,故 与 异号, , , .………………10 分 221 32 3 42 2t t   − + + =        25 12 4 0t t∴ + − = 1t 2t 1 2 12 5t t+ = − 1 2 4· 05t t∴ = − < 1t 2t 2 1 2 1 2 1 2 4 14( ) 4 5PA PB t t t t t t∴ + = − = + − = 1 2 1 2 4 5PA PB t t t t⋅ = ⋅ = − ⋅ = 1 1 14· PA PB PA PB PA PB +∴ + = =

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