2018-2019学年初三数学专题复习 图形的相似
一、单选题
1.如图，在△ABC中E、F分别是AB、AC上的点，EF∥BC，且 ，若△AEF的面积为2，则四边形EBCF的面积为（ ）
A. 4 B. 6 C. 16 D. 18
2. 已知△ABC∽△A′B′C′且=，则S△ABC：S△A'B'C′为（ ）
A. 1：2 B. 2：1 C. 1：4 D. 4：1
3.如图是小莹设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙CD的顶端C处．已知AB⊥BD ， CD⊥BD ． 且测得AB=1.4米，P=2.1米，PD=12米．那么该古城墙CD的高度是（ ）.
A. 6米 B. 8米 C. 10米 D. 12米
4.若两个相似三角形的面积之比为1：4，则它们的最大边的比是（ ）
A. 1:2 ； B. 1:4 ； C. 1:5 ； D. 1:16 ;
5.如图，在△ABC中，若DE∥BC， ，BC = 12 cm，则DE的长为（ ）
A. 12cm B. 6 cm C. 4cm D. 3 cm
6.下列各组图形中，两个图形形状不一定相同的是（ ）
A. 两个等边三角形 B. 有一个角是35°的两个等腰三角形 C. 两个正方形 D. 两个圆
7.如图，身高为1.6m的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B向A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合 ， 测得BC=3.2m ，CA=0.8m， 则树的高度为（ ）
A. 4.8m B. 6.4m C. 8m D. 10m
8.如图，已知 是坐标原点， 与 是以 点为位似中心的位似图形，且 与 的相似比为 ，如果 内部一点 的坐标为 ，则 在 中的对应点 的坐标为（ ）
A. (-x， -y) B. (-2x， -2y) C. (-2x， 2y) D. (2x， -2y)
9.如果线段a、b、c、d满足ad=bc，则下列各式中不成立的是（ ）
A. B. C. D.
10.顶角为20°的等腰三角形放大2倍后所得的三角形是（ ）
A. 其顶角为40° B. 其底角为80° C. 周长不变 D. 面积为原来的2倍
11.如果a＝3，b＝2，且b是a和c的比例中项，那么c＝（ ）
A. B. C. D.
12.如图所示，在平面直角坐标系中，有两点A（4，2），B（3，0），以原点为位似中心，A′B′与AB的相似比为， 得到线段A′B′．正确的画法是（ ）
A. B.
C. D.
13.如图，若果∠1=∠2，那么添加下列任何一个条件：（1） = ，（2） = ，（3）∠B=∠D，（4）∠C=∠AED，其中能判定△ABC∽△ADE的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
14.中午1点，身高为165cm的小雪的影长为55cm，同学小冰此时在同一地点的影长为60cm，那么小冰的身高为（ ）
A. 180cm B. 175cm C. 170cm D. 160cm
15.如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，且DE∥BC，若 = ，则 的值等于（ ）
A. B. 3 C. D.
16.如图，AD∥BC，AD⊥AB，点A，B在y轴上，CD与x轴交于点E（2，0），且AD=DE，BC=2CE，则BD与x轴交点F的横坐标为（ ）
A. B. C. D.
17.下列说法中正确的是（ ）
A. 两个直角三角形相似 B. 两个等腰三角形相似
C. 两个等边三角形相似 D. 两个锐角三角形相似
二、填空题
18.为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在离树底（B）8.4米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=2.4米，观察者目高CD=1.6米，则树（AB）的高度为________米．
19.如图，DC∥AB，OA=2OC，则△OCD与△OAB的位似比是________ ．
20.已知 ，则 =________．
21.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，点P是AD边上一点，联结PB、PC，且AB2=AP•PD，则图中有________ 对相似三角形．
22.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？”
用今天的话说，大意是：如图， 是一座边长为200步（“步”是古代的长度单位）的正方形小城，东门 位于 的中点，南门 位于 的中点，出东门15步的 处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于 处的树木（即点 在直线 上）？请你计算 的长为________步．
三、解答题
23.（1）计算：|﹣2|﹣+（﹣）﹣1；
（2）如图，直线AD∥BE∥CF，=， DE=6，求EF的长．
24.如图，△ABC中，AB=8厘米，AC=16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是多少？
25.如图，△ABC中，A、B两点在x轴的上方，点C的坐标是（﹣1，0）．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是2，求点B的横坐标．
26.如图所示，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，求未知边x的长度和α的大小．
四、作图题
27.如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣1，2），B（﹣3，4），C（﹣2，6）．
①画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△A1B1C1；
②以原点O为位似中心，在图中画出将△A1B1C1三条边放大为原来的2倍后的△A2B2C2 ， 并写出A2、B2、C2的坐标．
五、综合题
28.如图，△ABC中，AD、BE是高．
（1）求证：；
（2）连接DE，那么△CDE与△CAB是位似图形吗？
29.已知在△ABC中，∠BAC=90°，过点C的直线EF∥AB，D是BC上一点，连接AD，过点D分别作GD⊥AD，HD⊥BC，交EF和AC于点G，H，连接AG．
（1）当∠ACB=30°时，如图1所示．
①求证：△GCD∽△AHD；
②试判断AD与DG之间的数量关系，并说明理由；
（2）当tan∠ACB= 时，如图2所示，请你直接写出AD与DG之间的数量关系．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】B
10.【答案】B
11.【答案】C
12.【答案】D
13.【答案】C
14.【答案】A
15.【答案】D
16.【答案】A
17.【答案】C
二、填空题
18.【答案】5.6
19.【答案】1：2
20.【答案】8
21.【答案】3
22.【答案】
三、解答题
23.【答案】解：（1）原式=2﹣3+（﹣2）=﹣3；
（2）∵AD∥BE∥CF，=，DE=6
∴==，
即= ，
∴DF=9，
∴EF=DF﹣DE=9﹣6=3．
24.【答案】解：设运动了ts，根据题意得：AP=2tcm，CQ=3tcm，则AQ=AC﹣CQ=16﹣3t（cm），
当△APQ∽△ABC时， ，即 ，解得：t= ；
当△APQ∽△ACB时， ，即 ，解得：t=4；
故当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是： s或4s．
25.【答案】解：过点B、B'分别作BD⊥x轴于D，B'E⊥x轴于E，
∴∠BDC=∠B'EC=90°．
∵△ABC的位似图形是△A'B'C，
∴点B、C、B'在一条直线上，
∴∠BCD=∠B'CE，
∴△BCD∽△B'CE．
∴，
又∵，
∴，
又∵点B'的横坐标是2，点C的坐标是（﹣1，0），
∴CE=3，
∴．
∴，
∴点B的横坐标为-．
26.【答案】解：由题意得：，
∴x=18，
∵∠C′=360°﹣（63°+129°+78°）=90°，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，
∴∠C=∠C′=90°，
即α=90°．
四、作图题
27.【答案】解：①如图，△A1B1C1为所求； ②如图，△A2B2C2为所作，点A2、B2、C2的坐标分别为（﹣2，4），B（2，8），C（6，6）．
五、综合题
28.【答案】（1）证明：∵AD、BE是高，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∵∠C=∠C，
∴△ADC∽△BEC，
∴；
（2）解：如图，△CDE与△CAB不是位似图形．
因为DE、AB的交点不为点A．
29.【答案】（1）①证明：∵∠BAC=90°，EF∥AB，
∴∠GCM=∠BAC=90°，
∵GD⊥AD，
∴∠ADM=90°，
∴∠GCA=∠ADM，
∵∠AND=∠GMC，
∴DAH=∠∠CGD，
∵∠ADH=∠CDG=90°﹣∠HDG
∴△GCD∽△AHD；
②解：由①知：△GCD∽△AHD，
∴ ，
在Rt△DHC中，
∵∠ACB=30°，
=tan30°= ，
∴ = ；
（2）5AD=4DG，
解：由①知△GCD∽△AHD，
在Rt△DHC中，
∵tan∠ACB= ，
∴ = ．
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