山东省北镇中学2018-2019学年度第一学期12月份质量检测
数学(理科)试题2018年12月
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。全卷满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项:
1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
2. 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
3. 全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效。
第Ⅰ卷
一、 选择题(共12小题。每小题5分,共60分。)
1.已知集合,集合,则()
A. B. C. D.
2.已知向量,则“”是“”的()
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知各项均为正数的等比数列的前项和为,且满足,,成等差数列,则( )
A.3 B.9 C.10 D.13
4.已知△ABC,AB=4,BC=3,AC=5,现以AB为轴旋转一周,则所得几何体的表面积( )
A.21 π B.24π C.33π D.39 π
5.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E、F分别为棱BB1、BC的中点,则异面直线AB1与EF所成角的大小为 ( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
6.已知是的外心,,,则()
A.10 B.9 C.8 D.6
7.函数f(x)=x2-sin|x|在[-2,2]上的图象大致为( )
- 7 -
8.在数列中,,,则的值为()
A.5 B. C. D.
9.若,,且和的等差中项是1,则的最小值为( )
A. B.1 C. D.
10.已知函数f(x)=ex-1,g(x)=-x2+4x-3,若存在f(a)=g(b),则实数b的取值范围为( )
A.[0,3] B.(1,3) C.[2-,2+] D.(2-,2+)
11.若对于任意x∈(﹣2,2)都有2x(x﹣a)<1成立,则a的取值范围是( )
A.(﹣∞,﹣6) B.(,+∞) C.[,+∞) D.(﹣6,+∞)
12.将函数图象上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,然后向左平移个单位长度,得到图象,若关于的方程在上有两个不相等的实根,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
第II卷(非选择题)
二、填空题(本题共4道小题,每小题5分,共20分)
13.设x,y满足约束条件,则的最大值为.
14.已知向量,,.若,则________.
15.曲线与直线在第一象限所围成的封闭图形的面积为.
16.设函数满足,则时,的最小值为
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.
三、解答题(本题共6道小题,共70分)
17.(本小题满分10分)已知函数
(Ⅰ)求的最小正周期和单调递增区间;
(Ⅱ)求函数在区间上的最大值和最小值
18.(本小题满分12分)已知数列{an}前n项和为Sn,且.
(1)证明数列{an}是等比数列;
(2)设,求数列{bn}的前n项和Tn.
19.(本小题满分12分)已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a,b,c,若=4c,B=2C.
(Ⅰ)求cosB的值;
(Ⅱ)若c=5,点D为边BC上一点,且BD=6,求△ADC的面积.
20.(本小题满分12分)如图,在四棱锥E-ABCD中,,,点F为棱DE的中点.
(1)证明:AF∥平面BCE;
(2)若,求三棱锥B-CEF的体积.
21.(本小题满分12分)已知函数
(1)求曲线在点处的切线方程;
(2)若函数恰有2个零点,求实数a的取值范围.
- 7 -
22.(本小题满分12分)已知函数是的一个极值点.
(1)若是的唯一极值点,求实数a的取值范围;
(2)讨论的单调性;
(3)若存在正数,使得,求实数a的取值范围.
数学(理科)试题2018年12月答案
一.CBCBC ABADD CC
二. 2
17.解:(¢ñ)……………1分
…………………2分
所以函数的最小正周期…………………3分
由得
所以的单调递增区间为;…………5分
(¢ò)因为所以. …………………7分
所以当,即时,取得最小值;………9分
当,即时,取得最大值……………10分
18.解:(1)当时,,所以,………2分
当时,,所以,所以数列是以为首项,以2为公比的等比数列. ………5分
(2)由(1)知,,所以,………6分
所以(1)
(2)………8分
- 7 -
(1)-(2)得:………10分
,所以.………12分
19.解:(Ⅰ)由题意,则
又,所以 …………………3分
所以 ………………………………6分
(Ⅱ)因为,,所以 ……………………………8分
由余弦定理得,,则
化简得,,解得,或(舍去), ………10分
由得,,
由,得………………………11分
所以的面积
…………………………12分
20.(1)证明:取的中点,连接.
因为点为棱的中点,所以且,
因为且,所以且,
所以四边形为平行四边形,所以,…………4分
因为平面,平面,所以平面. ………5分
(2)因为,所以.
因为,所以,…6分
所以,因为,平面,平面,所以平面. ………8分
因为点为棱的中点,且,
所以点到平面的距离为2. ………10分
- 7 -
.
三棱锥的体积.………12分
21.(1)因为,所以.所以………3分
又曲线在点处的切线方程为…5分
(2)由题意得,,………6分
所以.由,解得,………7分
故当时,,在上单调递减;当时,,在上单调递增所以..……8分
又,,结合函数的图象可得,若函数恰有两个零点,
则………10分
解得.所以实数a的取值范围为.………12分
22.(1),是极值点
,故,
是唯一的极值点恒成立或恒成立
由恒成立得,又
由恒成立得,而不存在最小值,不可能恒成立. ………………4分
(2)由(1)知,当时,,;,.
在递减,在上递增.
当时,
,;,;,.
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在、上递增,在上递减。
当时,在、上递增,在递减。
时,在上递增. ………………8分
(3)当时,,满足题意;
当时,,满足题意;
当时,由(2)知需或,
当时,,而,故存在使得,这样时的值域为从而可知满足题意
当时,得或者解得;
当时,可得满足题意.
的取值范围或. ………………12分
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