山东临沂兰山区2018年3月中考数学模拟试卷(附解析)
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资料简介
‎ 2018年山东省临沂市兰山区中考数学模拟试卷(3月份)‎ 一.选择题(共14小题,满分42分)‎ ‎1.实数﹣3,,,0中,最大的数是(  )‎ A.﹣3 B. C. D.0‎ ‎2.下列计算正确的是(  )‎ A.﹣2x﹣2y3•2x3y=﹣4x﹣6y3 B.(﹣2a2)3=﹣6a6 ‎ C.(2a+1)(2a﹣1)=2a2﹣1 D.35x3y2÷5x2y=7xy ‎3.科学家可以使用冷冻显微术以高分辨率测定溶液中的生物分子结构,使用此技术测定细菌蛋白结构的分辨率达到0.22纳米,也就是0.000 000 000 22米.将0.000 000 000 22用科学记数法表示为(  )‎ A.0.22×10﹣9 B.2.2×10﹣10 C.22×10﹣11 D.0.22×10﹣8‎ ‎4.下列哪个图形不是中心对称图形(  )‎ A.圆 B.平行四边形 C.矩形 D.梯形 ‎5.如图所示的几何体的俯视图是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎6.如果一组数据6、7、x、9、5的平均数是2x,那么这组数据的方差为(  )‎ A.4 B.3 C.2 D.1‎ ‎7.如果不等式组恰有3个整数解,则a的取值范围是(  )‎ A.a≤﹣1 B.a<﹣1 C.﹣2≤a<﹣1 D.﹣2<a≤﹣1[ 8.若x+y=2,xy=﹣2,则+的值是(  )‎ A.2 B.﹣2 C.4 D.﹣4‎ ‎9.如图,⊙O中,弦AB、CD相交于点P,若∠A=30°,∠APD=70°,则∠B等于(  )‎ A.30° B.35° C.40° D.50°‎ ‎10.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,以点C为顶点向△ABC内作正方形DECF,使正方形的另三个顶点D、E、F分别在边AB,BC,AC上,若BC=6,AB=10,则正方形DECF的边长为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎11.如图,两个一次函数图象的交点坐标为(2,4),则关于x,y的方程组的解为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎12.如图,正方形网格中,已有两个小正方形被涂黑,再将图中其余小正方形涂黑一个,使整个图案构成一个轴对称图形,那么涂法共有(  )‎ A.3种 B.4种 C.5种 D.6种 ‎13.等腰三角形的一边长为4,另两边长是关于x的方程x2﹣20x+‎ m=0的两个实数根,则m的值为(  )‎ A.64 B.100 C.48 D.64或100‎ ‎14.已知函数y=﹣kx+4与y=的图象有两个不同的交点,且A(﹣,y1)、B(﹣1,y2)、C(,y3)在函数y=的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是(  )‎ A.y1<y2<y3 B.y3<y2<y1 C.y3<y1<y2 D.y2<y3<y1‎ ‎ ‎ 二.填空题(共5小题,满分15分,每小题3分)‎ ‎15.分解因式(xy﹣1)2﹣(x+y﹣2xy)(2﹣x﹣y)=   .‎ ‎16.定义运算“※”:a※b=,若5※x=2,则x的值为   .‎ ‎17.如图,BD平分∠ABC,ED∥BC,AB=3,AD=1,则△AED的周长为   .‎ ‎18.如图,△ABC的三个顶点和它内部的点P1,把△ABC分成3个互不重叠的小三角形;△ABC的三个顶点和它内部的点P1、P2,把△ABC分成5个互不重叠的小三角形;△ABC的三个顶点和它内部的点 P1、P2、P3,把△ABC分成7个互不重叠的小三角形;…△ABC的三个顶点和它内部的点P1、P2、P3、…、P2017,把△ABC分成   个互不重叠的小三角形.‎ ‎19.如图,在菱形纸片ABCD中,AB=3,∠A=60°,将菱形纸片翻折,使点A落在CD的中点E处,折痕为FG,点F,G分别在边AB,AD上,则tan∠EFG的值为   .‎ ‎ ‎ 三.解答题(共7小题,满分39分)‎ ‎20.(7分)计算:()﹣2﹣+(﹣4)0﹣cos45°.‎ ‎21.(6分)小明学习电学知识后,用四个开关按键(每个开关按键闭合的可能性相等)、一个电源和一个灯泡设计了一个电路图 ‎(1)若小明设计的电路图如图1(四个开关按键都处于打开状态)如图所示,求任意闭合一个开关按键,灯泡能发光的概率;‎ ‎(2)若小明设计的电路图如图2(四个开关按键都处于打开状态)如图所示,求同时时闭合其中的两个开关按键,灯泡能发光的概率.(用列表或树状图法)‎ ‎22.(8分)如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+b与反比例函数y=(m≠0)的图象交于点A(3,1),且过点B(0,﹣2).‎ ‎(1)求反比例函数和一次函数的表达式;‎ ‎(2)如果点P是x轴上一点,且△ABP的面积是3,求点P的坐标.‎ ‎23.(9分)如图,点D在⊙O的直径AB的延长线上,点C在⊙O上,且AC=CD,∠ACD=120°.‎ ‎(1)求证:CD是⊙O的切线;‎ ‎(2)若⊙O的半径为2,求图中阴影部分的面积.‎ ‎24.(9分)某企业信息部进行市场调研发现:‎ 信息一:如果单独投资A种产品,所获利润yA(万元)与投资金额x(万元)之间存在某种关系的部分对应值如下表:‎ x(万元)‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎2.5‎ ‎3‎ ‎5‎ yA(万元)‎ ‎0.4‎ ‎0.8‎ ‎1‎ ‎1.2‎ ‎2‎ 信息二:如果单独投资B种产品,则所获利润yB(万元)与投资金额x(万元)之间存在二次函数关系:yB=ax2+bx,且投资2万元时获利润2.4万元,当投资4万元时,可获利润3.2万元.‎ ‎(1)求出yB与x的函数关系式;‎ ‎(2)从所学过的一次函数、二次函数、反比例函数中确定哪种函数能表示yA与x之间的关系,并求出yA与x的函数关系式;‎ ‎(3)如果企业同时对A、B两种产品共投资15万元,请设计一个能获得最大利润的投资方案,并求出按此方案能获得的最大利润是多少?‎ ‎25.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=6cm,BC=8cm,点D从点A出发以1cm/s的速度运动到点C停止.作DE⊥AC交边AB或BC于点E,以DE为边向右作正方形DEFG.设点D的运动时间为t(s).‎ ‎(1)求AC的长.‎ ‎(2)请用含t的代数式表示线段DE的长.‎ ‎(3)当点F在边BC上时,求t的值.‎ ‎(4)设正方形DEFG与△ABC重叠部分图形的面积为S(cm2),当重叠部分图形为四边形时,求S与t之间的函数关系式.‎ ‎26.如图①,二次函数的抛物线的顶点坐标C,与x轴的交于A(1,0)、B(﹣3,0)两点,与y轴交于点D(0,3).‎ ‎(1)求这个抛物线的解析式;‎ ‎(2)如图②,过点A的直线与抛物线交于点E,交y轴于点F,其中点E的横坐标为﹣2,若直线PQ为抛物线的对称轴,点G为直线PQ上的一动点,则x轴上是否存在一点H,使D、G、H、F四点所围成的四边形周长最小?若存在,求出这个最小值及点G、H的坐标;若不存在,请说明理由;‎ ‎(3)如图③,连接AC交y轴于M,在x轴上是否存在点P,使以P、C、M为顶点的三角形与△AOM相似?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎ ‎ 参考答案与试题解析 一.选择题 ‎1.实数﹣3,,,0中,最大的数是(  )‎ A.﹣3 B. C. D.0‎ ‎【解答】解:∵﹣3<0<<,‎ ‎∴最大的数是,‎ 故选:B.‎ ‎2.下列计算正确的是(  )‎ A.﹣2x﹣2y3•2x3y=﹣4x﹣6y3 B.(﹣2a2)3=﹣6a6 ‎ C.(2a+1)(2a﹣1)=2a2﹣1 D.35x3y2÷5x2y=7xy ‎【解答】解:A、原式=﹣4xy4,不符合题意;‎ B、原式=﹣8a6,不符合题意;‎ C、原式=4a2﹣1,不符合题意;‎ D、原式=7xy,符合题意,‎ 故选:D.‎ ‎3.科学家可以使用冷冻显微术以高分辨率测定溶液中的生物分子结构,使用此技术测定细菌蛋白结构的分辨率达到0.22纳米,也就是0.000 000 000 22米.将0.000 000 000 22用科学记数法表示为(  )‎ A.0.22×10﹣9 B.2.2×10﹣10 C.22×10﹣11 D.0.22×10﹣8‎ ‎【解答】解:0.000 000 000 22=2.2×10﹣10,‎ 故选:B.‎ ‎4.下列哪个图形不是中心对称图形(  )‎ A.圆 B.平行四边形 C.矩形 D.梯形 ‎【解答】解:A、圆是中心对称图形,故此选项错误;‎ B、平行四边形是中心对称图形,故此选项错误;‎ C、矩形是中心对称图形,故此选项错误;‎ D、梯形不是中心对称图形,故此选项正确.‎ 故选:D.‎ ‎5.如图所示的几何体的俯视图是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【解答】解:从上往下看,该几何体的俯视图与选项D所示视图一致.‎ 故选:D.‎ ‎6.如果一组数据6、7、x、9、5的平均数是2x,那么这组数据的方差为(  )‎ A.4 B.3 C.2 D.1‎ ‎【解答】解:根据题意,得: =2x,‎ 解得:x=3,‎ 则这组数据为6、7、3、9、5,其平均数是6,‎ 所以这组数据的方差为×[(6﹣6)2+(7﹣6)2+(3﹣6)2+(9﹣6)2+(5﹣6)2]=4,‎ 故选:A.‎ ‎7.如果不等式组恰有3个整数解,则a的取值范围是(  )‎ A.a≤﹣1 B.a<﹣1 C.﹣2≤a<﹣1 D.﹣2<a≤﹣1‎ ‎【解答】解:如图,‎ 由图象可知:不等式组恰有3个整数解,‎ 需要满足条件:﹣2≤a<﹣1.‎ 故选:C.‎ ‎8.若x+y=2,xy=﹣2,则+的值是(  )‎ A.2 B.﹣2 C.4 D.﹣4‎ ‎【解答】解:∵x+y=2,xy=﹣2,‎ ‎∴原式====﹣4.‎ 故选:D.‎ ‎9.如图,⊙O中,弦AB、CD相交于点P,若∠A=30°,∠APD=70°,则∠B等于(  )‎ A.30° B.35° C.40° D.50°‎ ‎【解答】解:∵∠APD是△APC的外角,‎ ‎∴∠APD=∠C+∠A;‎ ‎∵∠A=30°,∠APD=70°,‎ ‎∴∠C=∠APD﹣∠A=40°;‎ ‎∴∠B=∠C=40°;‎ 故选:C.‎ ‎10.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,以点C为顶点向△ABC内作正方形DECF,使正方形的另三个顶点D、E、F分别在边AB,BC,AC上,若BC=6,AB=10,则正方形DECF的边长为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【解答】解:∵Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6,AB=10,‎ ‎∴AC=,‎ ‎∵正方形DECF,‎ ‎∴DE∥AC,CE=DE ‎∴△DEB∽△ABC,‎ ‎∴,‎ 即,‎ 解得:CE=,‎ 故选:B.‎ ‎11.如图,两个一次函数图象的交点坐标为(2,4),则关于x,y的方程组的解为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【解答】解:∵直线y1=k1x+b1与y2=k2x+b2的交点坐标为(2,4),‎ ‎∴二元一次方程组的解为,‎ 故选:A.‎ ‎12.如图,正方形网格中,已有两个小正方形被涂黑,再将图中其余小正方形涂黑一个,使整个图案构成一个轴对称图形,那么涂法共有(  )‎ A.3种 B.4种 C.5种 D.6种 ‎【解答】解:如图所示:‎ ‎,‎ 共5种,‎ 故选:C.‎ ‎13.等腰三角形的一边长为4,另两边长是关于x的方程x2﹣20x+m=0的两个实数根,则m的值为(  )‎ A.64 B.100 C.48 D.64或100‎ ‎【解答】解:∵一个等腰三角形的一边长为4,另两边长是关于x的方程x2﹣20x+m=0的两根,‎ ‎①当腰长为4时,把x=4代入原方程得 ‎16﹣80+m=0,‎ ‎∴m=64,‎ ‎∴原方程变为:x2﹣20x+64=0,‎ 设方程的另一个根为x,‎ 则4+x=20,‎ ‎∴x=16,‎ ‎∵4+4<16‎ ‎∴不能构成三角形;‎ ‎②当底边为4时,那么x的方程x2﹣20x+m=0的两根是相等的,‎ ‎∴△=(﹣20)2﹣4m=0,‎ ‎∴m=100,‎ ‎∴方程变为x2﹣20x+100=0,‎ ‎∴方程的两根相等为x1=x2=10,‎ ‎∴三角形的周长为4+2×10=24.‎ 综上,m的值是100,‎ 故选:B.‎ ‎14.已知函数y=﹣kx+4与y=的图象有两个不同的交点,且A(﹣,y1)、B(﹣1,y2)、C(,y3)在函数y=的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是(  )‎ A.y1<y2<y3 B.y3<y2<y1 C.y3<y1<y2 D.y2<y3<y1‎ ‎【解答】解:把y=﹣kx+4代入y=得,﹣kx+4=,‎ 化简得kx2﹣4x+k=0,‎ 因为有两个不同的交点,‎ 所以16﹣4k2>0,2k2<8,从而2k2﹣9<0,‎ 函数y=的图象在第二,四象限,‎ 在每个象限内,y随x的增大而增大,‎ 所以0<y2<y1,y3<0,故y3<y2<y1.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ 二.填空题(共5小题,满分15分,每小题3分)‎ ‎15.分解因式(xy﹣1)2﹣(x+y﹣2xy)(2﹣x﹣y)= (y﹣1)2(x﹣1)2 .‎ ‎【解答】解:令x+y=a,xy=b,‎ 则(xy﹣1)2﹣(x+y﹣2xy)(2﹣x﹣y)‎ ‎=(b﹣1)2﹣(a﹣2b)(2﹣a)‎ ‎=b2﹣2b+1+a2﹣2a﹣2ab+4b ‎=(a2﹣2ab+b2)+2b﹣2a+1‎ ‎=(b﹣a)2+2(b﹣a)+1‎ ‎=(b﹣a+1)2;‎ 即原式=(xy﹣x﹣y+1)2=[x(y﹣1)﹣(y﹣1)]2=[(y﹣1)(x﹣1)]2=(y﹣1)2(x﹣1)2.‎ 故答案为:(y﹣1)2(x﹣1)2.‎ ‎16.定义运算“※”:a※b=,若5※x=2,则x的值为 或10 .‎ ‎【解答】解:当x<5时, =2,x=,‎ 经检验,x=是原分式方程的解;‎ 当x>5时, =2,x=10,‎ 经检验,x=10是原分式方程的解;‎ 综上所述,x=或10;‎ 故答案为:或10.‎ ‎17.如图,BD平分∠ABC,ED∥BC,AB=3,AD=1,则△AED的周长为 4 .‎ ‎【解答】解:∵BD平分∠ABC,‎ ‎∴∠ABD=∠CBD,‎ ‎∵ED∥BC,‎ ‎∴∠CBD=∠BDE,‎ ‎∴∠ABD=∠BDE,‎ ‎∴BE=DE,‎ ‎△AED的周长=AE+DE+AD=AE+BE+AD=AB+AD,‎ ‎∵AB=3,AD=1,‎ ‎∴△AED的周长=3+1=4.‎ 故答案为:4.‎ ‎18.如图,△ABC的三个顶点和它内部的点P1,把△ABC分成3个互不重叠的小三角形;△ABC的三个顶点和它内部的点P1、P2,把△ABC分成5个互不重叠的小三角形;△ABC的三个顶点和它内部的点 P1、P2、P3,把△ABC分成7个互不重叠的小三角形;…△ABC的三个顶点和它内部的点P1、P2、P3‎ ‎、…、P2017,把△ABC分成 4035 个互不重叠的小三角形.‎ ‎【解答】解:如图,△ABC的三个顶点和它内部的点P1,把△ABC分成的互不重叠的小三角形的个数=3+2×0,‎ ‎△ABC的三个顶点和它内部的点P1、P2,把△ABC分成的互不重叠的小三角形的个数=3+2×1,‎ ‎△ABC的三个顶点和它内部的点 P1、P2、P3,把△ABC分成的互不重叠的小三角形的个数=3+2×2,‎ 所以△ABC的三个顶点和它内部的点 P1、P2、P3、…、Pn,把△ABC分成的互不重叠的小三角形的个数=3+2(n﹣1)=2n+1,‎ 当n=2017时,‎ ‎2n+1=4035,‎ 故答案为:4035.‎ ‎19.如图,在菱形纸片ABCD中,AB=3,∠A=60°,将菱形纸片翻折,使点A落在CD的中点E处,折痕为FG,点F,G分别在边AB,AD上,则tan∠EFG的值为  .‎ ‎【解答】解:如图,连接AE交GF于O,连接BE,BD,则△BCD为等边三角形,‎ ‎∵E是CD的中点,‎ ‎∴BE⊥CD,‎ ‎∴∠EBF=∠BEC=90°,‎ Rt△BCE中,CE=cos60°×3=1.5,BE=sin60°×3=,‎ ‎∴Rt△ABE中,AE=,‎ 由折叠可得,AE⊥GF,EO=AE=,‎ 设AF=x=EF,则BF=3﹣x,‎ ‎∵Rt△BEF中,BF2+BE2=EF2,‎ ‎∴(3﹣x)2+()2=x2,‎ 解得x=,即EF=,‎ ‎∴Rt△EOF中,OF==,‎ ‎∴tan∠EFG==.‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ 三.解答题(共7小题,满分39分)‎ ‎20.(7分)计算:()﹣2﹣+(﹣4)0﹣cos45°.‎ ‎【解答】解:原式=4﹣3+1﹣×‎ ‎=2﹣1‎ ‎=1.‎ ‎21.(6分)小明学习电学知识后,用四个开关按键(每个开关按键闭合的可能性相等)、一个电源和一个灯泡设计了一个电路图 ‎(1)若小明设计的电路图如图1(四个开关按键都处于打开状态)如图所示,求任意闭合一个开关按键,灯泡能发光的概率;‎ ‎(2)若小明设计的电路图如图2(四个开关按键都处于打开状态)如图所示,求同时时闭合其中的两个开关按键,灯泡能发光的概率.(用列表或树状图法)‎ ‎【解答】解:(1)一共有四个开关按键,只有闭合开关按键K2,灯泡才会发光,‎ 所以P(灯泡发光)=‎ ‎(2)用树状图分析如下:‎ 一共有12种不同的情况,其中有6种情况下灯泡能发光,‎ 所以P(灯泡发光)=.‎ ‎22.(8分)如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+b与反比例函数y=(m≠0)的图象交于点A(3,1),且过点B(0,﹣2).‎ ‎(1)求反比例函数和一次函数的表达式;‎ ‎(2)如果点P是x轴上一点,且△ABP的面积是3,求点P的坐标.‎ ‎【解答】解:(1)∵反比例函数y=(m≠0)的图象过点A(3,1),‎ ‎∴3=‎ ‎∴m=3.‎ ‎∴反比例函数的表达式为y=.‎ ‎∵一次函数y=kx+b的图象过点A(3,1)和B(0,﹣2).‎ ‎∴,‎ 解得:,‎ ‎∴一次函数的表达式为y=x﹣2;‎ ‎(2)令y=0,∴x﹣2=0,x=2,‎ ‎∴一次函数y=x﹣2的图象与x轴的交点C的坐标为(2,0).‎ ‎∵S△ABP=3,‎ PC×1+PC×2=3.‎ ‎∴PC=2,‎ ‎∴点P的坐标为(0,0)、(4,0).‎ ‎23.(9分)如图,点D在⊙O的直径AB的延长线上,点C在⊙O上,且AC=CD,∠ACD=120°.‎ ‎(1)求证:CD是⊙O的切线;‎ ‎(2)若⊙O的半径为2,求图中阴影部分的面积.‎ ‎【解答】证明:(1)连接OC,‎ ‎∵CD=AC,‎ ‎∴∠CAD=∠D,‎ 又∵∠ACD=120°,‎ ‎∴∠CAD=(180°﹣∠ACD)=30°,‎ ‎∵OC=OA,‎ ‎∴∠A=∠1=30°,‎ ‎∴∠COD=60°,‎ 又∵∠D=30°,‎ ‎∴∠OCD=180°﹣∠COD﹣∠D=90°,‎ ‎∴CD是⊙O的切线; ‎ ‎(2)∵∠A=30°,‎ ‎∴∴∠1=2∠A=60°∠1=2∠A=60°.‎ ‎∴∴,‎ 在Rt△OCD中,.‎ ‎∴.‎ ‎∴图中阴影部分的面积为2﹣π.‎ ‎24.(9分)某企业信息部进行市场调研发现:‎ 信息一:如果单独投资A种产品,所获利润yA(万元)与投资金额x(万元)之间存在某种关系的部分对应值如下表:‎ x(万元)‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎2.5]‎ ‎3‎ ‎5‎ yA(万元)‎ ‎0.4‎ ‎0.8‎ ‎1‎ ‎1.2‎ ‎2‎ 信息二:如果单独投资B种产品,则所获利润yB(万元)与投资金额x(万元)之间存在二次函数关系:yB=ax2+bx,且投资2万元时获利润2.4万元,当投资4万元时,可获利润3.2万元.‎ ‎(1)求出yB与x的函数关系式;‎ ‎(2)从所学过的一次函数、二次函数、反比例函数中确定哪种函数能表示yA与x之间的关系,并求出yA与x的函数关系式;‎ ‎(3)如果企业同时对A、B两种产品共投资15万元,请设计一个能获得最大利润的投资方案,并求出按此方案能获得的最大利润是多少?‎ ‎【解答】解:(1)由题意得,将坐标(2,2.4)(4,3.2)代入函数关系式yB=ax2+bx,‎ 求解得:‎ ‎∴yB与x的函数关系式:yB=﹣0.2x2+1.6x ‎(2)根据表格中对应的关系可以确定为一次函数,‎ 故设函数关系式yA=kx+b,将(1,0.4)(2,0.8)代入得:,‎ 解得:,‎ 则yA=0.4x;‎ ‎(3)设投资B产品x万元,投资A产品(15﹣x)万元,总利润为W万元,‎ W=﹣0.2x2+1.6x+0.4(15﹣x)=﹣0.2(x﹣3)2+7.8‎ 即当投资B3万元,A12万元时所获总利润最大,为7.8万元.‎ ‎25.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=6cm,BC=8cm,点D从点A出发以1cm/s的速度运动到点C停止.作DE⊥AC交边AB或BC于点E,以DE为边向右作正方形DEFG.设点D的运动时间为t(s).‎ ‎(1)求AC的长.‎ ‎(2)请用含t的代数式表示线段DE的长.‎ ‎(3)当点F在边BC上时,求t的值.‎ ‎(4)设正方形DEFG与△ABC重叠部分图形的面积为S(cm2),当重叠部分图形为四边形时,求S与t之间的函数关系式.‎ ‎【解答】解:(1)在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=6cm,BC=8cm,‎ 根据勾股定理得:AC==10cm;‎ ‎(2)分两种情况考虑:如图1所示,‎ 过B作BH⊥AC,‎ ‎∵S△ABC=AB•BC=AC•BH,‎ ‎∴BH===,‎ ‎∵∠ADE=∠AHB=90°,∠A=∠A,‎ ‎∴△AED∽△ABH,‎ ‎∴=,即=,‎ 解得:DE=t,‎ 则当0≤t≤时,DE=t;‎ 如图2所示,‎ 同理得到△CED∽△CBH,‎ ‎∴=,即=,‎ 解得:DE=(10﹣t)=﹣t+,‎ 则当<t≤10时,DE=(10﹣t)=﹣t+;‎ ‎(3)如图3所示,‎ 由题意,得AD+DG+GC=10,即t+t+t×=10,‎ 解得:t=;‎ ‎(4)如图1所示,当0<t≤时,S=(t)2=t2;‎ 如图2所示,当≤t<10时,S=[(10﹣t)]2﹣×(10﹣t)××(10﹣t)=(10﹣t)2.‎ ‎26.如图①,二次函数的抛物线的顶点坐标C,与x轴的交于A(1,0)、B(﹣3,0)两点,与y轴交于点D(0,3).‎ ‎(1)求这个抛物线的解析式;‎ ‎(2)如图②,过点A的直线与抛物线交于点E,交y轴于点F,其中点E的横坐标为﹣2,若直线PQ为抛物线的对称轴,点G为直线PQ上的一动点,则x轴上是否存在一点H,使D、G、H、F四点所围成的四边形周长最小?若存在,求出这个最小值及点G、H的坐标;若不存在,请说明理由;‎ ‎(3)如图③,连接AC交y轴于M,在x轴上是否存在点P,使以P、C、M为顶点的三角形与△AOM相似?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎【解答】解:(1)设所求抛物线的解析式为:y=ax2+bx+c,将A(1,0)、B(﹣3,0)、D(0,3)代入,‎ 得 即所求抛物线的解析式为:y=﹣x2﹣2x+3.‎ ‎(2)如图④,在y轴的负半轴上取一点I,使得点F与点I关于x轴对称,‎ 在x轴上取一点H,连接HF、HI、HG、GD、GE,则HF=HI…①‎ 设过A、E两点的一次函数解析式为:y=kx+b(k≠0),‎ ‎∵点E在抛物线上且点E的横坐标为﹣2,将x=﹣2,代入抛物线y=﹣x2﹣2x+3,得y=﹣(﹣2)2﹣2×(﹣2)+3=3‎ ‎∴点E坐标为(﹣2,3)…(4分)‎ 又∵抛物线y=﹣x2﹣2x+3图象分别与x轴、y轴交于点A(1,0)、B(‎ ‎﹣3,0)、‎ D(0,3),所以顶点C(﹣1,4)‎ ‎∴抛物线的对称轴直线PQ为:直线x=﹣1,‎ ‎∴点D与点E关于PQ对称,GD=GE…②‎ 分别将点A(1,0)、点E(﹣2,3)‎ 代入y=kx+b,得:解得:‎ 过A、E两点的一次函数解析式为:‎ y=﹣x+1‎ ‎∴当x=0时,y=1‎ ‎∴点F坐标为(0,1)…(5分)‎ ‎∴|DF|=2…③‎ 又∵点F与点I关于x轴对称,‎ ‎∴点I坐标为(0,﹣1)‎ ‎∴…④‎ 又∵要使四边形DFHG的周长最小,由于DF是一个定值,‎ ‎∴只要使DG+GH+HI最小即可 …(6分)‎ 由图形的对称性和①、②、③,可知,‎ DG+GH+HF=EG+GH+HI 只有当EI为一条直线时,EG+GH+HI最小 设过E(﹣2,3)、I(0,﹣1)两点的函数解析式为:y=k1x+b1(k1≠0),‎ 分别将点E(﹣2,3)、点I(0,﹣1)代入y=k1x+b1,得:解得:‎ 过I、E两点的一次函数解析式为:y=﹣2x﹣1‎ ‎∴当x=﹣1时,y=1;当y=0时,x=﹣;‎ ‎∴点G坐标为(﹣1,1),点H坐标为(﹣,0)‎ ‎∴四边形DFHG的周长最小为:DF+DG+GH+HF=DF+EI 由③和④,可知:‎ ‎ DF+EI=‎ ‎∴四边形DFHG的周长最小为.…(7分)‎ ‎(3)如图⑤,由(2)可知,点A(1,0),点C(﹣1,4),‎ 设过A(1,0),点C(﹣1,4)两点的函数解析式为:y=k2x+b2,‎ 得:‎ 解得:,‎ 过A、C两点的一次函数解析式为:y=﹣2x+2,当x=0时,y=2,即M的坐标为(0,2);‎ 由图可知,△AOM为直角三角形,且,‎ 要使,△AOM与△PCM相似,只要使△PCM为直角三角形,且两直角边之比为1:2即可,‎ 设P(a,0),CM=,且∠CPM不可能为90°时,因此可分两种情况讨论; ‎ ‎①当∠CMP=90°时,CM=,‎ 若,则,‎ 可求的P(﹣4,0),‎ 则CP=5,CP2=CM2+PM2,即P(﹣4,0)成立,‎ 若,由图可判断不成立;…(10分)‎ ‎②当∠PCM=90°时,CM=,若,则,‎ 可求出P(﹣3,0),则PM=,‎ 显然不成立,‎ 若,则,更不可能成立.‎ 综上所述,存在以P、C、M为顶点的三角形与△‎ AOM相似,点P的坐标为(﹣4,0).‎

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