中考数学题型训练及答案七

中考题型训练及答案七 1.如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，切点为 A，BC 交⊙O 于点 D，点 E 是 AC 的中 点． （1）试判断直线 DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）若⊙O 的半径为 2，∠B=50°，AC=4.8，求图中阴影部分的面积． 【解答】解：（1）直线 DE 与⊙O 相切．理由如下：连接 OE、OD，如图， ∵AC 是⊙O 的切线，∴AB⊥AC，∴∠OAC=90°， ∵点 E 是 AC 的中点，O 点为 AB 的中点，∴OE∥BC，∴∠1=∠B，∠2=∠3， ∵OB=OD，∴∠B=∠3，∴∠1=∠2，在△AOE 和△DOE 中 ， ∴△AOE≌△DOE，∴∠ODE=∠OAE=90°，∴OA⊥AE，∴DE 为⊙O 的切线； （2）∵点 E 是 AC 的中点，∴AE= AC=2.4， ∵∠AOD=2∠B=2×50°=100°， ∴图中阴影部分的面积=2• ×2×2.4﹣ =4.8﹣ π． 2.如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，BE 平分∠ABC 交 AC 于点 E，作 ED⊥EB 交 AB 于点 D，⊙O是△BED 的外接圆． （1）求证：AC 是⊙O 的切线； （2）已知⊙O 的半径为 2.5，BE=4，求 BC，AD 的长． 【解答】解：（1）如图，连接 OE， ∵OB=OE，∴∠OBE=∠OEB，∵BE 平分∠ABC，∴∠OBE=∠CBE， ∴∠OEB=∠CBE，∴OE∥BC，又∵∠C=90°，∴∠AEO=90°，即 OE⊥AC， ∴AC 为⊙O 的切线； （2）∵ED⊥BE，∴∠BED=∠C=90°，又∵∠DBE=∠EBC，∴△BDE∽△BEC， ∴ = ，即 = ，∴BC= ；∵∠AEO=∠C=90°，∠A=∠A， ∴△AOE∽△ABC，∴ = ，即 = ， 解得：AD= ． 3.如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 为⊙O 上一点，CN 为⊙O 的切线，OM⊥AB 于点 O，分别交 AC、CN 于 D、M 两点． （1）求证：MD=MC； （2）若⊙O 的半径为 5，AC=4 ，求 MC 的长．【解答】解：（1）连接 OC， ∵CN 为⊙O 的切线，∴OC⊥CM，∠OCA+∠ACM=90°， ∵OM⊥AB，∴∠OAC+∠ODA=90°，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA， ∴∠ACM=∠ODA=∠CDM，∴MD=MC； （2）由题意可知 AB=5×2=10，AC=4 ，∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB=90°，∴BC= ， ∵∠AOD=∠ACB，∠A=∠A，∴△AOD∽△ACB， ∴ ，即 ，可得：OD=2.5， 设 MC=MD=x，在 Rt△OCM 中，由勾股定理得：（x+2.5）2=x2+52， 解得：x= ，即 MC= ． 4.如图，C、D 是以 AB 为直径的⊙O 上的点， = ，弦 CD 交 AB 于点 E． （1）当 PB 是⊙O 的切线时，求证：∠PBD=∠DAB； （2）求证：BC2﹣CE2=CE•DE； （3）已知 OA=4，E 是半径 OA 的中点，求线段 DE 的长．【解答】解：（1）∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB=90°，即∠BAD+∠ABD=90°， ∵PB 是⊙O 的切线，∴∠ABP=90°，即∠PBD+∠ABD=90°，∴∠BAD=∠PBD； （2）∵∠A=∠C、∠AED=∠CEB，∴△ADE∽△CBE， ∴ = ，即 DE•CE=AE•BE，如图，连接 OC， 设圆的半径为 r，则 OA=OB=OC=r， 则 DE•CE=AE•BE=（OA﹣OE）（OB+OE）=r2﹣OE2， ∵ = ，∴∠AOC=∠BOC=90°， ∴CE2=OE2+OC2=OE2+r2，BC2=BO2+CO2=2r2， 则 BC2﹣CE2=2r2﹣（OE2+r2）=r2﹣OE2， ∴BC2﹣CE2=DE•CE； （3）∵OA=4，∴OB=OC=OA=4，∴BC= =4 ， 又∵E 是半径 OA 的中点，∴AE=OE=2， 则 CE= = =2 ， ∵BC2﹣CE2=DE•CE，∴（4 ）2﹣（2 ）2=DE•2 ， 解得：DE= ．5.如图，四边形 ABCD 中，AB=AD=CD，以 AB 为直径的⊙O 经过点 C，连接 AC，OD 交于点 E． （1）证明：OD∥BC； （2）若 tan∠ABC=2，证明：DA 与⊙O 相切； （3）在（2）条件下，连接 BD 交于⊙O 于点 F，连接 EF，若 BC=1，求 EF 的长． 【解答】解：（1）连接 OC， 在△OAD 和△OCD 中， ∵ ， ∴△OAD≌△OCD（SSS），∴∠ADO=∠CDO， 又 AD=CD，∴DE⊥AC， ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACB=90°，即 BC⊥AC， ∴OD∥BC； （2）∵tan∠ABC= =2，∴设 BC=a、则 AC=2a，∴AD=AB= = ， ∵OE∥BC，且 AO=BO，∴OE= BC= a，AE=CE= AC=a， 在△AED 中，DE= =2a，在△AOD 中，AO2+AD2=（ ）2+（ a）2= a2，OD2=（OF+DF）2=（ a+2a）2= a2， ∴AO2+AD2=OD2，∴∠OAD=90°，则 DA 与⊙O 相切； （3）连接 AF，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AFD=∠BAD=90°， ∵∠ADF=∠BDA，∴△AFD∽△BAD， ∴ = ，即 DF•BD=AD2①， 又∵∠AED=∠OAD=90°，∠ADE=∠ODA， ∴△AED∽△OAD， ∴ = ，即 OD•DE=AD2②， 由①②可得 DF•BD=OD•DE，即 = ， 又∵∠EDF=∠BDO，∴△EDF∽△BDO， ∵BC=1，∴AB=AD= 、OD= 、ED=2、BD= 、OB= ， ∴ = ，即 = ，解得：EF= ． 6.如图，线段 AB 为⊙O 的直径，点 C，E 在⊙O 上， = ，CD⊥AB，垂足为点 D，连接 BE， 弦 BE 与线段 CD 相交于点 F． （1）求证：CF=BF； （2）若 cos∠ABE= ，在 AB 的延长线上取一点 M，使 BM=4，⊙O 的半径为 6．求证：直线 CM 是⊙O 的切线．【解答】证明：（1）延长 CD 交⊙O 于 G，如图， ∵CD⊥AB，∴ = ，∵ = ，∴ = ， ∴∠CBE=∠GCB，∴CF=BF； （2）连接 OC 交 BE 于 H，如图， ∵ = ，∴OC⊥BE， 在 Rt△OBH 中，cos∠OBH= = ， ∴BH= ×6= ， ∴OH= = ， ∵ = = ， = = ， ∴ = ， 而∠HOB=∠COM，∴△OHB∽△OCM， ∴∠OCM=∠OHB=90°，∴OC⊥CM，∴直线 CM 是⊙O 的切线． 7.如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，经过点 C 的切线交 AB 的延长线于点 E，AD⊥EC 交 EC 的延长线于点 D，AD 交⊙O 于 F，FM⊥AB 于 H，分别交⊙O、AC 于 M、N，连接 MB， BC．（1）求证：AC 平分∠DAE； （2）若 cosM= ，BE=1，①求⊙O 的半径；②求 FN 的长． 【解答】（1）证明：连接 OC，如图，∵直线 DE 与⊙O 相切于点 C， ∴OC⊥DE，又∵AD⊥DE，∴OC∥AD．∴∠1=∠3 ∵OA=OC，∴∠2=∠3，∴∠1=∠2，∴AC 平方∠DAE； （2）解：①∵AB 为直径，∴∠AFB=90°， 而 DE⊥AD，∴BF∥DE，∴OC⊥BF，∴ = ，∴∠COE=∠FAB， 而∠FAB=∠M，∴∠COE=∠M，设⊙O 的半径为 r， 在 Rt△OCE 中，cos∠COE= = ，即 = ，解得 r=4， 即⊙O 的半径为 4； ②连接 BF，如图，在 Rt△AFB 中，cos∠FAB= ， ∴AF=8× = 在 Rt△OCE 中，OE=5，OC=4，∴CE=3， ∵AB⊥FM，∴ ，∴∠5=∠4， ∵FB∥DE，∴∠5=∠E=∠4，∵ = ，∴∠1=∠2， ∴△AFN∽△AEC，∴ = ，即 = ，∴FN= ．8.如图，抛物线y = ax2 +bx−3过A(1,0)、B(−3,0)，直线 AD 交抛物线于点 D，点 D 的横坐标为−2，点P(m,n)是线段 AD 上的动点． (1)求直线 AD 及抛物线的解析式； (2)过点 P 的直线垂直于 x 轴，交抛物线于点 Q，求线段 PQ 的长度 l 与 m 的关 系式，m 为何值时，PQ 最长？ (3)在平面内是否存在整点(横、纵坐标都为整数)R，使得 P、Q、D、R 为顶点的四 边形是平行四边形？若存在，直接写出点 R 的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】解：(1)把(1,0)，(−3,0)代入函数解析式，得 { a + b−3 = 0 9a−3b−3 = 0，解得{ a = 1 b = 2， 抛物线的解析式为y = x2 +2x−3； 当x = −2时，y = (−2)2 +2 × (−2)−3，解得y = −3，即D(−2,−3)． 设 AD 的解析式为y = kx + b，将A(1,0)，D(−2,−3)代入，得 { k + b = 0 −2k + b = −3，解得{ k = 1 b = −1， 直线 AD 的解析式为y = x−1； (2) 设 P 点坐标为(m,m−1)，Q(m,m2 +2m−3)， l = (m−1)−(m2 + 2m−3) 化简，得 l = −m2−m + 2 配方，得 l = −(m + 1 2)2 + 9 4 ，当m = −1 2 时，l最大 = 9 4 ； (3) (3)DR//PQ且DR = PQ时，PQDR 是平行四边形， 由(2)得0 < PQ ≤ 9 2 ，又 PQ 是正整数， ∴ PQ = 1，或PQ = 2． 当PQ = 1时，DR = 1，−3 + 1 = −2，即R(−2,−2)， −3−1 = −4，即R(−2,−4)； 当PQ = 2时，DR = 2，−3 + 2 = −1，即R(−2,−1)， −3−2 = −5，即R(−2,−5)， 综上所述：R 点的坐标为(−2,−2)，(−2,−4)，(−2,−1)(−2,−5)，使得 P、Q、D、R 为顶点的四边形是平行四边 形．9.如图，已知⊙O 是等边三角形 ABC 的外接圆，点 D 在圆上，在 CD 的延长线上有一点 F，使 DF=DA，AE∥BC 交 CF 于 E． （1）求证：EA 是⊙O 的切线； （2）求证：BD=CF． 【解答】证明：（1）连接 OD，∵⊙O 是等边三角形 ABC 的外接圆， ∴∠OAC=30°，∠BCA=60°，∵AE∥BC，∴∠EAC=∠BCA=60°， ∴∠OAE=∠OAC+∠EAC=30°+60°=90°，∴AE 是⊙O 的切线； （2）∵△ABC 是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=∠ABC=60°， ∵A、B、C、D 四点共圆，∴∠ADF=∠ABC=60°， ∵AD=DF，∴△ADF 是等边三角形，∴AD=AF，∠DAF=60°， ∴∠BAC+∠CAD=∠DAF+∠CAD，即∠BAF=∠CAF， 在△BAD 和△CAF 中， ∵ ， ∴△BAD≌△CAF，∴BD=CF． 10.如图，PA 是⊙O 的切线，A 是切点，AC 是直径，AB 是弦，连接 PB、PC，PC 交 AB 于点 E，且 PA=PB． （1）求证：PB 是⊙O 的切线； （2）若∠APC=3∠BPC，求 的值．【解答】（1）证明：连接 OP、OB．∵PA 是⊙O 的切线， ∴PA⊥OA，∴∠PAO=90°， ∵PA=PB，PO=PO，OA=OB，∴△PAO≌△PBO． ∴∠PAO=∠PBO=90°，∴PB⊥OB，∴PB 是⊙O 的切线． （2）设 OP 交 AB 于 K．∵AB 是直径，∴∠ABC=90°，∴AB⊥BC， ∵PA、PB 都是切线，∴PA=PB，∠APO=∠BPO， ∵OA=OB，∴OP 垂直平分线段 AB，∴OK∥BC， ∵AO=OC，∴AK=BK，∴BC=2OK，设 OK=a，则 BC=2a， ∵∠APC=3∠BPC，∠APO=∠OPB， ∴∠OPC=∠BPC=∠PCB，∴BC=PB=PA=2a， ∵△PAK∽△POA，∴PA2=PK•PO，设 PK=x， 则有：x2+ax﹣4a2=0，解得 x= a（负根已经舍弃）， ∴PK= a，∵PK∥BC，∴ = = ． 11.如图，AD 是⊙O 的直径，AB 为⊙O 的弦，OP⊥AD，OP 与 AB 的延长线交于点 P，过 B 点的切线交 OP 于点 C. （1）求证：∠CBP=∠ADB. （2）若 OA=2，AB=1，求线段 BP 的长.【解答】证：（1）连接 OB，则 OB⊥BC，∠OBD＋∠DBC＝90°， 又 AD 为直径，∠DBP=∠DBC+∠CBP＝90°， ∴∠OBD=∠CBP 又 OD=OB，∠OBD=∠ODB， ∴∠ODB=∠CBP，即∠ADB=∠CBP. 解：（2）在 Rt△ADB 与 Rt△APO 中，∠DAB＝∠PAO， Rt△ADB∽Rt△APO AB=1，AO=2，AD=4， = ， AP=8， ∴BP=AP-AB=8-1=7. 12.如图，线段 AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 H，点 M 是 上任意一点，AH=2，CH=4． （1）求⊙O 的半径 r 的长度； AO AB AP AD（2）求 sin∠CMD； （3）直线 BM 交直线 CD 于点 E，直线 MH 交⊙O 于点 N，连接 BN 交 CE 于点 F，求 HE•HF 的 值． 【解答】解：（1）如图 1 中，连接 OC． ∵AB⊥CD，∴∠CHO=90°， 在 Rt△COH 中，∵OC=r，OH=r﹣2，CH=4， ∴r2=42+（r﹣2）2，∴r=5． （2）如图 1 中，连接 OD． ∵AB⊥CD，AB 是直径，∴ = = ，∴∠AOC= ∠COD， ∵∠CMD= ∠COD，∴∠CMD=∠COA， ∴sin∠CMD=sin∠COA= = ． （3）如图 2 中，连接 AM．∵AB 是直径，∴∠AMB=90°，∴∠MAB+∠ABM=90°， ∵∠E+∠ABM=90°，∴∠E=∠MAB，∴∠MAB=∠MNB=∠E， ∵∠EHM=∠NHFM∴△EHM∽△NHF，∴ = ， ∴HE•HF=HM•HN， ∵HM•HN=AH•HB， ∴HE•HF=AH•HB=2•（10﹣2）=16． 13.如图，AB 是⊙O 的直径，AB=4 ，点 E 为线段 OB 上一点（不与 O，B 重合），作 CE⊥OB， 交⊙O 于点 C，垂足为点 E，作直径 CD，过点 C 的切线交 DB 的延长线于点 P，AF⊥PC 于点 F， 连接 CB． （1）求证：CB 是∠ECP 的平分线； （2）求证：CF=CE； （3）当 = 时，求劣弧 的长度（结果保留 π） 【解答】（1）证明：∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC， ∵PF 是⊙O 的切线，CE⊥AB，∴∠OCP=∠CEB=90°， ∴∠PCB+∠OCB=90°，∠BCE+∠OBC=90°，∴∠BCE=∠BCP，∴BC 平分∠PCE． （2）证明：连接 AC．∵AB 是直径，∴∠ACB=90°， ∴∠BCP+∠ACF=90°，∠ACE+∠BCE=90°， ∵∠BCP=∠BCE，∴∠ACF=∠ACE， ∵∠F=∠AEC=90°，AC=AC，∴△ACF≌△ACE， ∴CF=CE．（3）解：作 BM⊥PF 于 M．则 CE=CM=CF，设 CE=CM=CF=4a，PC=4a，PM=a， ∵△BMC∽△PMB，∴ = ， ∴BM2=CM•PM=3a2，∴BM= a， ∴tan∠BCM= = ，∴∠BCM=30°， ∴∠OCB=∠OBC=∠BOC=60°， ∴ 的长= = π． 14.如图，已知⊙O 的半径为 2，AB 为直径，CD 为弦．AB 与 CD 交于点 M，将 沿 CD 翻折后，点 A 与圆 心 O 重合，延长 OA 至 P，使 AP=OA，连接 PC （1）求 CD 的长； （2）求证：PC 是⊙O 的切线； （3）点 G 为 的中点，在 PC 延长线上有一动点 Q，连接 QG 交 AB 于点 E．交 于点 F（F 与 B、C 不 重合）．问 GE•GF 是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由． 【分析】（1）连接 OC，根据翻折的性质求出 OM，CD⊥OA，再利用勾股定理列式求解即可； （2）利用勾股定理列式求出 PC，然后利用勾股定理逆定理求出∠PCO=90°，再根据 圆的切线的定义证明即 可；（3）连接 GA、AF、GB，根据等弧所对的圆周角相等可得∠BAG=∠AFG，然后根据两组角对应相等两三角 相似求出△AGE 和△FGA 相似，根据相似三角形对应边成比例可得 = ，从而得到 GE•GF=AG2，再根据 等腰直角三角形的性质求解即可． 【解答】（1）解：如图，连接 OC， ∵ 沿 CD 翻折后，点 A 与圆心 O 重合， ∴OM= OA= ×2=1，CD⊥OA， ∵OC=2， ∴CD=2CM=2 =2 =2 ； （2）证明：∵PA=OA=2，AM=OM=1，CM= CD= ，∠CMP=∠OMC=90°， ∴PC= = =2 ， ∵OC=2，PO=2+2=4， ∴PC2+OC2=（2 ）2+22=16=PO2， ∴∠PCO=90°， ∴PC 是⊙O 的切线； （3）解：GE•GF 是定值，证明如下： 如图，连接 GA、AF、GB， ∵点 G 为 的中点，∴ = ，∴∠BAG=∠AFG， 又∵∠AGE=∠FGA，∴△AGE∽△FGA， ∴ = ，∴GE•GF=AG2， ∵AB 为直径，AB=4，∴∠BAG=∠ABG=45°， ∴AG=2 ，∴GE•GF=8．15. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=5cm，∠BAC=60°， 动点 M 从点 B 出发，在 BA 边上以每秒 2cm 的速度向点 A 匀速运动，同时动点 N 从点 C 出发，在 CB 边上以每 秒 cm 的速度向点 B 匀速运动，设运动时间为 t 秒 （0 ），连接 MN． （1）若 BM=BN，求 t 的值； （2）若△MBN 与△ABC 相似，求 t 的值； （3）当 t 为何值时，四边形 ACNM 的面积最小？ 并求出最小值． 考点：三角形的面积，三角形相似的性质，二次函数的图象及其性质。 解析：（1）∵在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=5，∠BAC=60°， ∴ ， ． ………………………1 分 由题意知 ， ， ， 由 BM=BN 得 ，………………………2 分 解得： ．………………………3 分 （2）①当△MBN∽△ABC 时， ∴ ，即 ， 解得： ．…………5 分 ②当△NBM∽△ABC 时， 3 5≤≤ t 10=AB 35=BC tBM 2= tCN 3= tBN 335 −= tt 3352 −= 15310 32 35 −= + =t BC BN AB MB = 35 335 10 2 tt −= 2 5=t ∴ ， 即 ， 解得： ． ∴当 或 时，△MBN 与△ABC 相似．………………………7 分 （3）过 M 作 MD⊥BC 于点 D，可得： ．……………8 分 设四边形 ACNM 的面积为 ， ∴ ……………9 分 ． ∴根据二次函数的性质可知，当 时， 的值最小． 此时， ………………………10 分 16.如图，在△ABC 中，∠C=90°，D、F 是 AB 边上的两点，以 DF 为直径的⊙O 与 BC 相交于点 E，连接 EF， 过 F 作 FG⊥BC 于点 G，其中∠OFE= ∠A． （1）求证：BC 是⊙O 的切线； （2）若 sinB= ，⊙O 的半径为 r，求△EHG 的面积（用含 r 的代数式表示）． BC BM AB NB = 35 2 10 335 tt =− 7 15=t 2 5=t 7 15=t tMD = y MDBNBCACSSy BMNABC ⋅−⋅=−= ∆∆ 2 1 2 1 tt ⋅−−××= )335(2 13552 1 2 325 2 35 2 3 2 +−= tt 38 75)2 5(2 3 2 +−= t 2 5=t y 38 75=最小y【分析】（1）首先连接 OE，由在△ABC 中，∠C=90°，FG⊥BC，可得 FG∥AC，又由∠OFE= ∠A，易得 EF 平分∠BFG，继而证得 OE∥FG，证得 OE⊥BC，则可得 BC 是⊙O 的切线； （2）由在△OBE 中，sinB= ，⊙O 的半径为 r，可求得 OB，BE 的长，然后由在△BFG 中，求得 BG，FG 的长，则可求得 EG 的长，易证得△EGH∽△FGE，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，求得答案． 【解答】（1）证明：连接 OE， ∵在△ABC 中，∠C=90°，FG⊥BC，∴∠BGF=∠C=90°， ∴FG∥AC，∴∠OFG=∠A，∴∠OFE= ∠OFG，∴∠OFE=∠EFG， ∵OE=OF，∴∠OFE=∠OEF，∴∠OEF=∠EFG，∴OE∥FG， ∴OE⊥BC，∴BC 是⊙O 的切线； （2）解：∵在 Rt△OBE 中，sinB= ，⊙O 的半径为 r， ∴OB= r，BE= r，∴BF=OB+OF= r，∴FG=BF•sinB= r， ∴BG= = r，∴EG=BG﹣BE= r， ∴S△FGE= EG•FG= r2，EG：FG=1：2， ∵BC 是切线，∴∠GEH=∠EFG， ∵∠EGH=∠FGE，∴△EGH∽△FGE，∴ =（ ）= ， ∴S△EHG= S△FGE= r2．17.如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，垂足为 H，连接 AC，过 上一点 E 作 EG∥AC 交 CD 的延长线于 点 G，连接 AE 交 CD 于点 F，且 EG＝FG，连接 CE． （1）求证：EG 是⊙O 的切线； （2）延长 AB 交 GE 的延长线于点 M，若 AH＝3，CH＝4，求 EM 的值． 【解答】解：（1）如图，连接 OE， ∵FG＝EG，∴∠GEF＝∠GFE＝∠AFH， ∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA， ∵CD⊥AB，∴∠AFH+∠FAH＝90°，∴∠GEF+∠AEO＝90°， ∴∠GEO＝90°，∴GE⊥OE，∴EG 是⊙O 的切线； （2）连接 OC，设⊙O 的半径为 r， ∵AH＝3、CH＝4，∴OH＝r﹣3，OC＝r，则（r﹣3）2+42＝r2，解得：r＝ ， ∵GM∥AC，∴∠CAH＝∠M，∵∠OEM＝∠AHC，∴△AHC∽△MEO， ∴ ＝ ，即 ＝ ，解得：EM＝ ．