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“华安一中、长泰一中、南靖一中、平和一中”四校联考
2017—2018学年第二学期第二次月考
高二理科数学
考试时间120分钟。满分150分。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知是虚数单位，则所对应的点位于复平面内的
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知P是曲线上一点，则点P到直线距离的最小值为
A． B． C． D．
3．下列四个散点图中，相关系数最大的是
4．已知随机变量～，且，则
A．0.15 B．0.35 C．0.85 D．0.3
5．两个实习生每人加工一种零件．加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为
A． B． C． D．
6．为了研究某班学生的脚长(单位:厘米)和身高(单位:厘米)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系，设其回归直线方程为．已知, ，，若该班某学生的脚长为25，
据此估计其身高为
A. 160 B. 165 C. 170 D. 175
7．已知X的分布列如图：则的数学期望E(Y)等于
X
﹣1
0
1
P
A． B． C． D．
8．函数的图象大致为
A B C D
9．抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A为“红色骰子点数为3”，事件B为“蓝色骰子出现的点数是奇数”，
则
A． B． C． D．
10．若的展开式中的系数为80，则的展开式中各项系数的绝对值之和为
A．32 B．81 C．243 D．256
11．5名教师分配到3个学校支教，每个学校至少分配1名教师，甲、乙两个老师不能分配到同一个学校，
则不同的分配方案有
A．60 种 B．72种 C．96 种 D．114种
12．若对恒有，则实数的取值范围为
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13． ．
14．的展开式中常数项为 ．
15．宋元时期杰出的数学家朱世杰在其数学巨著《四元玉鉴》卷中“茭草形段”第一个问题“今有茭草六百八十束，欲令‘落一形’埵（同垛）之．问底子（每层三角形边茭草束数，等价于层数）几何？”中探讨了“垛枳术”中的落一形垛（“落一形”即是指顶上1束，下一层3束，再下一层6束，…，成三角锥的堆垛，故也称三角垛，如图，表示第二层开始的每层茭草束数），则本问题中三角垛底层茭草总束数为______．
16.已知定义域为R的函数的导函数为，且，，则不等式的解集为_____．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）
某商场为了解该商场某商品近5年日销售量(单位：件)，随机抽取近5年50天的销售量，统计结果如下：
日销售量
100
150
天数
30
20
频率
若将上表中频率视为概率，且每天的销售量相互独立．则在这5年中：
(1)求5天中恰好有3天销售量为150件的概率(用分式表示)；
(2)已知每件该商品的利润为20元，用X表示该商品某两天销售的利润和(单位：元)，求X的分布列和数学期望．
18．（12分）
已知函数在处取得极值．
(1)求，并求函数在点处的切线方程；
(2) 求函数的单调区间．
19．（12分）
某学校参加某项竞赛仅有一个名额，结合平时训练成绩，甲、乙两名学生进入最后选拔，学校为此设计了如下选拔方案：设计6道测试题，若这6道题中，甲能正确解答其中的4道，乙能正确解答每个题目的概率均为．假设甲、乙两名学生解答每道测试题都相互独立，互不影响，现甲、乙从这6道测试题中分别随机抽取3题进行解答．
(1)求甲、乙两名学生共答对2道测试题的概率；
(2)从数学期望和方差的角度分析，应选拔哪个学生代表学校参加竞赛？
20．（12分）
某企业响应号召，对现有设备进行改造，为了分析设备改造前后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在内的产品视为合格品，否则为不合格品.图1是设备改造前的样本的频率分布直方图，表1是设备改造后的样本的频数分布表.
表1：设备改造后样本的频数分布表
质量指标值
频数
4
36
96
28
32
4
（1）完成下面的列联表，并判断是否有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关；
设备改造前
设备改造后
合计
合格品
不合格品
合计
（2）根据图1和表1提供的数据，试从产品合格率的角度对改造前后设备的优劣进行比较；
（3）根据市场调查，设备改造后，每生产一件合格品企业可获利元，一件不合格品亏损 元，用频率估计概率，则生产件产品企业大约能获利多少元？
0.150
0.100
0.050
0.025
0.010
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
附：
21．（12分）
已知．
(1)若函数在R上单调递增，求实数的取值范围；
(2)若，证明：当时，．
参考数据：，．
22．[选修：坐标系与参数方程] (10分)
在极坐标系中，曲线：，曲线： .以极点为坐标原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数）.
（Ⅰ）求，的直角坐标方程；
（Ⅱ）与，交于不同四点，这四点在上的排列顺次为，求的值．
“平和、华安、长泰、南靖一中”四校联考
2017-2018学年第二学期第二次月考
高二理文科数学参考答案
评分说明：
1．本解答给只出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。
2．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
3．只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。
一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算。每小题5分，满分60分。
1．B ２．B ３．C ４．C ５．B ６．D
７．A ８．C ９．A １0．C １1．D １2．A
二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算。每小题5分，满分20分。
1３． 1４． 1５． 1６．
三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．本小题满分12分．
解：(1)依题意5天中恰好有3天销售量为150件的概率
． 5分
(2) X的可能取值为4000,5000,6000．
，，
． 8分
所以X的分布列为
X
4000
5000
6000
P
数学期望（元）． 12分
18．本小题满分12分．
解：(1)因为，所以． 1分
因为在 处取得极值，所以，即，
解得所以． 3分
因为，，，
所以函数在点处的切线方程为． 6分
(2)由(1) ，
令，即，解得，
所以的单调递增区间为． 9分
令，即，解得或，
所以的单调递减区间为，．
综上，的单调递减区间为和，单调递增区间为． 12分
19．本小题满分12分．
解：(1)依题设记甲、乙两名学生共答对2道测试题的概率为P，
则． 4分
(2)设学生甲答对的题数为，则的所有可能取值为1,2,3．
， ， ． 6分
X
1
2
3
P
的分布列为：
所以，
． 8分
设学生乙答对的题数为，则的所有可能取值为0，1，2，3．
则．
所以，． 10分
因为，，
即甲、乙答对的题目数一样，但甲较稳定，
所以应选拔甲学生代表学校参加竞赛． 12分
20．本小题满分12分．
解：（1）根据图1和表1得到列联表：
设备改造前
设备改造后
合计
合格品
172
192
364
不合格品
28
8
36
合计
200
200
400
3分
将列联表中的数据代入公式计算得：
. 5分
因为，
所以有99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关. 6分
（2）根据图1和表1可知，设备改造后产品为合格品的概率约为，设备改造前产品为合格品的概率约为
；即设备改造后合格率更高，因此，设备改造后性能更好. 9分
（3）用频率估计概率，1000件产品中大约有960件合格品，40件不合格品，
，所以该企业大约获利168800元． 12分
21．本小题满分12分．
解：（1）依题意． 1分
因为函数在上单调递增，所以在上恒成立，
因此． 2分
令，则，
令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取得最小值，
故，即的取值范围为． 4分
(2)证明：若，则，得，
由(1)知在上单调递减，在上单调递增． 5分
又，，
．
所以存在，使得． 7分
所以当时，，当时，，
则函数在单调递减，在单调递增．
则当时，函数在上有最小值． 8分
由得，
所以===． 10分
由于，
所以．
所以当时，． 12分
22．本小题满分10分．
解：（Ⅰ）因为， 1分
由得， 2分
所以曲线的直角坐标方程为． 3分
由得， 4分
所以曲线的直角坐标方程为: ． 5分
（Ⅱ）不妨设四个交点自下而上依次为，它们对应的参数分别为．
把 代入，
得，即, 6分
则，． 7分
把 代入，
得，即, 8分
则，． 9分
所以． 10分
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