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茂名市五大联盟学校三月联考
文科数学
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合,.则（ ）
A． B． C． D．
2. 下列茎叶图中的甲,乙的平均数,方差,极差及中位数,相同的为（ ）
A．极差 B．方差 C．平均数 D．中位数
3. 关于复数的命题,下列正确的为（ ）
A．复数的模为1 B．复数的虚部为
C． D． 若（，），则
4. 如图所示,黑色部分和白色部分图形是由曲线，，，及圆构成的.在圆内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是（ ）
A． B． C. D．
5. 已知是双曲线的左焦点，是上一点,且与轴垂直.在双曲线渐近线上运动,则的最小值为（ ）
A． B． C. D．
6. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（ ）
A． 24 B．26 C. 28 D．30
7.已知实数,满足,则的最大值为（ ）
A． 14 B．13 C. 12 D．11
8. 函数的部分图象大致为（ ）
A． B．
C. D．
9. 已知函数，则（ ）
A．函数在区间上单调递增
B． 函数在区间上单调递减
C. 函数的图象关于直线对称
D．函数的图象关于点对称
10. 3世纪中期,魏晋时期的数学家刘徽利用不断倍增圆内接正多边形边数的方法求出圆周率,首创“割圆术”.利用“割圆术”,刘徽得到∫圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率¨.如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的程序框图,则输出的值为（ ）
(参考数据：.)
A． 8 B． 16 C. 24 D．32
11. 在中,三个内角,,的对边分别为，，，若的面积为，且，则（ ）
A．1 B． C. D．
12. 已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于,两点,若为线段的中点，连接并延长交抛物线于点，则的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题：本题共的小题，每小题5分
13. 已知向量, ,其中与共线,则的值为 ．
14. 设曲线上点处的切线与直线平行,则点到直线的距离为 ．
15.已知函数，若存在，，…，满足
，且
，则的最小值为 ．
16. 已知函数与的图象上存在关于原点对称的点，则实数的取值范围是 ．
三、解答题 ：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 设数列的前项和为，且满足（）.
（1）求数列的通项公式；
（2）是否存在实数,使得数列为等差数列？若存在，求出的值,若不存在,请说明理由.
18. 如图，在四棱锥中，底面,底面为菱形，，,过作平面与直线平行，交于点.
（1）求证：为的中点;
（2）求三棱锥的体积.
19. 某老师对全班50名学生学习积极性和参加社团活动情况进行调查，统计数据如下所示
参加社团活动
不参加社团活动
合计
学习积极性高
25
学习积极性一般
5
合计
28
50
（1）请把表格数据补充完整；
（2）若从不参加社团活动的28人中按照分层抽样的方法选取7人，再从所选出的7人中随机选取两人作为代表发言，求至少有一人学习积极性高的概率；
（3）运用独立性检验的思想方法：判断是否有99.9%的把握认为学生的学习积极性与参加社团活动有关系？
附，.
0.05
0.01
0.001
3.841
6.635
10.828
20. 在平面直角坐标系中，已知椭圆（）的离心率为，且过点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若动点在直线上，过作直线交椭圆于,两点，使得，再过作直线,证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标.
21. 已知函数 （，为自然对数的底数）.
（1）若曲线在点处的切线垂直于轴，求实数的值；
（2）当时，求函数的最小值.
请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程是,(为参数),以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）设，；，若,与曲线分别交于异于原点的，两点，求的面积.
23.选修4-5：不等式选讲
设函数.
（1）解不等式；
（2）若，使得，求实数的取值范围.
文科数学
一、选择题
1-5: DCCAC 6-10: ADACB 11、12：CD
二、填空题
13. -2或1 14. 15. 8 16.
三、解答题
17. 解:（1）由（），
可知当时，.
又由（）.
可得，
两式相减，得，
即，即.
所以数列是以2为首项,2为公比的等比数列
故.
（2）由（1）知，，
所以
若为等差数列，
则，，成等差数列，
即有，
即，
解得.
经检验时，成等差数列，
故的值为-2.
18.解:（1）连接，
设，
连接，则为的中点，
且平面平面，
∵平面，∴ ，
∴为的中点.
（2）由（1）知，为的中点，
所以 .
由底面为菱形，，
得，
∴.
又，
∴.
19.解：（1）
参加社团活动
不参加社团活动
合计
学习积极性高
17
8
25
学习积极性一般
5
20
25
合计
22
28
50
（2）从不参加社团活动的28人中选7人，其中学习积极性高的2人记为，，学习积极性一般的5人，记为，，，，，从这7人中任选两人,共有以下21个等可能性基本事件：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，.
则至少有一人学习积极性高的事件有，，，，，，，，，，,共11个,
所以至少有一人学习积极性高的概率.
（3）由题得，，所以有99.9%的把握认为学生的学习积极性与参加社团活动有关系.
20. 解：（1）由题知，，又椭圆的离心率为，
所以，
所以，
所以的标准方程为.
（2）因为直线的方程为，设，.
①当时,设，，显然，
由可得，
即，
又，所以为线段的中点，
故直线的斜率，
又，
所以直线的方程为，即，显然恒过定点.
②当时，过定点.
综上可得,直线过定点.
21.解：由题得,
（1）由曲线在点处的切线垂直于轴，得，
即，
解得
（2）设，
则只需求当时，函数的最小值.
令，解得或，
而，即.
从而函数在区间和区间上单调递增，在区间上单调递减.
当，即时，函数在区间上为减函数，；
当，即时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以函数的极小值即为其在区间上的最小值，.
综上可知，当时，函数的最小值为；
当时，函数的最小值为.
22.解:（1）将曲线的参数方程化为普通方程为，
即.
∴曲线的极坐标方程为.
（2）把代入，
得，
∴.
把代入，
得，
∴.
∴
.
23.解:（1）由题知，
由，得或或
解得或或，
综上所述，不等式的解集为.
（2）由（1）得，，
∵，使得，
∴，
即，解得
∴实数的取值范围为.
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