www.ks5u.com
兰州市2018年高三诊断考试
数学(文科)
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 设全集,集合,集合,则( )
A. B. C. D.
2. 已知复数(是虚数单位),则下列说法正确的是( )
A.复数的实部为 B.复数的虚部为
C.复数的共轭复数为 D.复数的模为
3. 已知数列为等比数列,且,则( )
A. B. C. D.
4.若双曲线的两条渐近线分别与抛物线的准线交于,两点,为坐标原点.若的面积为,则的值为( )
A. B. C. D.
5.已知圆:,直线:,则圆上任取一点到直线的距离大于的概率是( )
A. B. C. D.
6.已知直线与直线平行,则它们之间的距离是( )
A. B. C. D.
7. 某程序框图如图所示,则程序运行后输出的的值是( )
A. B. C. D.
8. 刘徽《九章算术注》记载:“邪解立方有两堑堵,邪解堑堵,其一为阳马,一为鳖臑,阳马居二,鳖臑居一,不易之率也”.意即把一长方体沿对角面一分为二,这相同的两块叫做堑堵,沿堑堵的一顶点与其相对的面的对角线剖开成两块,大的叫阳马,小的叫鳖臑,两者体积之比为定值,这一结论今称刘徽原理.如图是一个阳马的三视图,则其外接球的体积为( )
A. B. C. D.
9.设:实数,满足,:实数,满足,则是的( )
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要的条件
10.若等比数列的前项和为,其中,是常数,则的值为( )
A. B. C. D.
11.抛物线的焦点为,,是抛物线上两动点,若,则的最大值为( )
A. B. C. D.
12.已知函数是定义在上的偶函数,且当时,不等式
成立,若,,,则,,之间的大小关系为( )
A. B. C. D.
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.若,则 .
14.已知样本数据,,……的方差是,如果有,那么数据,,……的均方差为 .
15. 设函数向左平移个单位长度后得到的函数是一个奇函数,则 .
16.若向量,,且,则的最小值为 .
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:共60分.
17.已知向量,,函数.
(1)求的最小正周期;
(2)当时,的最小值为,求的值.
18.如图所示,矩形中,,平面,,为上的点,且平面.
(1)求证:平面;
(2)求三棱锥的体积.
19.交管部门为宣传新交规举办交通知识问答活动,随机对该市岁的人群抽样了
人,回答问题统计结果如图表所示:
分组
回答正确的人数
回答正确的人数占本组的频率
第组
第组
第组
第组
第组
(1)分别求出,,,的值;
(2)从第,,组回答正确的人中用分层抽样方法抽取人,则第,,组每组应各抽取多少人?
(3)在(2)的前提下,决定在所抽取的人中随机抽取人颁发幸运奖,求:所抽取的人中至少有一个第组的人的概率.
20.已知圆:,过且与圆相切的动圆圆心为.
(1)求点的轨迹的方程;
(2)设过点的直线交曲线于,两点,过点的直线交曲线于,两点,且,垂足为(,,,为不同的四个点).
①设,证明:;
②求四边形的面积的最小值.
21.已知函数.
(1)若图象上处的切线的斜率为,求的极大值;
(2)在区间上是单调递减函数,求的最小值.
(二)选考题:共10分.请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分.
22.[选修4-4:坐标系与参数方程]
在直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线的参数方程是(是参数),圆的极坐标方程为.
(1)求圆心的直角坐标;
(2)由直线上的点向圆引切线,并切线长的最小值.
23.[选修4-5:不等式选讲]
设函数,其中.
(1)当时,求不等式的解集;
(2)若时,恒有,求的取值范围.
兰州市2018年高三诊断考试
数学(文科)试题参考答案及评分参考
一、选择题
1-5: DDCBB 6-10: AABCD 11、12:AC
二、填空题
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17.解:(1)由题意知:
,
所以的最小正周期为.
(2)由(1)知:,
当时,.
所以当时,的最小值为.
又∵的最小值为,∴,即.
18.解:(1)因为面,所以,
又,所以.
因为面,所以.
又,所以面,即平面.
(2)因为,所以,,,
又因为为中点,所以.
因为面,所以面.
所以.
19.解:(1)第组人数,所以,
第组人数,所以,
第组人数,所以,
第组人数,所以,
第组人数,所以.
(2)第,,组回答正确的人的比为,
所以第,,组每组应各依次抽取人,人,人.
(3)记抽取的人中,第组的记为,,第组的记为,,,第组的记为,则从名幸运者中任取名的所有可能的情况有种,他们是:
,,,,,,,,,,,,,,.
其中第组至少有人的情况有种,他们是:
,,,,,,,,.
故所求概率为.
20.解:(1)设动圆半径为,
则,, ,
由椭圆定义可知,点的轨迹是椭圆,
其方程为.
(2)①证明:由已知条件可知,垂足在以为直径的圆周上,
则有,
又因,,,为不同的四个点,.
②解:若或的斜率不存在,四边形的面积为.
若两条直线的斜率存在,设的斜率为,
则的方程为,
解方程组,得,
则,
同理得,
∴,
当且仅当,即时等号成立.
综上所述,当时,四边形的面积取得最小值为.
21.解:(1)∵,∴,
由题意得且,
即,解之得,.
∴,,
令得,,
列表可得
+
-
+
极大值
极小值
∴当时,取极大值.
(2)∵在上是减函数,
∴在上恒成立,
∴,即,
作出不等式组表示的平面区域如图
当直线经过点时,取最小值.
22.解:(1)∵,
∴,
∴圆的直角坐标方程为,
即,∴圆心直角坐标为.
(2)方法1:直线上的点向圆引切线长是
,
∴直线上的点向圆引的切线长的最小值是.
方法2:直线的普通方程为,
∴圆心到直线距离是,
∴直线上的点向圆引的切线长的最小值是.
23.解:(1)当时,,
所以,所以或,
解集为.
(2),因为,∴时,恒成立,
又时,当时,,∴只需即可,
所以.