2019年中考数学一模试题(含解析福建龙岩市长汀县)
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资料简介
‎2019年福建省龙岩市长汀县中考数学一模试卷 一.选择题(共10小题,满分40分,每小题4分)‎ ‎1.下列所给的汽车标志图案中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是(  )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎2.十九大报告指出,我国目前经济保持了中高速增长,在世界主要国家中名列前茅,国内生产总值从54万亿元增长80万亿元,稳居世界第二,其中80万亿用科学记数法表示为(  )‎ A.8×1012 B.8×1013 C.8×1014 D.0.8×1013‎ ‎3.下列运算正确的是(  )‎ A.(﹣a2)3=a6 B.3a2•a=3a2 ‎ C.﹣2a+a=﹣a D.6a6÷2a2=3a3‎ ‎4.如图,在△ABC中,∠C=90°,EF∥AB,∠1=33°,则∠A的度数为(  )‎ A.57° B.47° C.43° D.33°‎ ‎5.已知一次函数y=(m﹣1)x的图象上两点A(x1,y1),B(x2,y2),当x1>x2时,有y1<y2,那么m的取值范围是(  )‎ A.m>0 B.m<0 C.m>1 D.m<1‎ ‎6.如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,已知CD=1.5,BC=2,则cosB的值是(  )‎ A. B. C. D.‎ 23‎ ‎7.在△ABC中,∠A,∠B均为锐角,且有|tanB﹣|+(2cosA﹣1)2=0,则△ABC是(  )‎ A.直角(不等腰)三角形 B.等边三角形 ‎ C.等腰(不等边)三角形 D.等腰直角三角形 ‎8.在一个口袋中有4个完全相同的小球,把它们分别标号为1,2,3,4,随机摸出一个小球不放回,再随机摸出一个小球,则两次摸出小球的标号之和为奇数的概率是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎9.如图,在▱ABCD中,AD=16,点E,F分别是BD,CD的中点,则EF等于(  )‎ A.10 B.8 C.6 D.4‎ ‎10.如图,D3081次六安至汉口动车在金寨境内匀速通过一条隧道(隧道长大于火车长),火车进入隧道的时间x与火车在隧道内的长度y之间的关系用图象描述大致是(  )‎ A. B. ‎ C. D.‎ 二.填空题(共6小题,满分24分,每小题4分)‎ ‎11.对于任意不相等的两个数a,b,定义一种运算※如下:a※b=,如3※2==,那么6※3=   .‎ ‎12.把多项式3a3b﹣27ab3分解因式的结果是   .‎ ‎13.等边△ABO的边长为3,在平面直角坐标系中的位置如图所示,则A点的坐标是   ‎ 23‎ ‎14.如图,10块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形,设小长方形墙砖的长和宽分别为x厘米和y厘米,则列出的方程组为   .‎ ‎15.如图,一等腰三角形,底边长是21厘米,底边上的高是21厘米,现在沿底边依次从下往上画宽度均为3厘米的矩形,画出的矩形是正方形时停止,则这个矩形是第   个.‎ ‎16.如图,正方形ABCB1中,AB=1,AB与直线l的夹角为30°,延长CB1交直线l于点A1,作正方形A1B1C1B2,延长C1B2交直线l于点A2,作正方形A2B2C2B3,延长C2B3交直线l于点A3,作正方形A3B3C3B4,…,依此规律,则A2016A2017=   .‎ 三.解答题(共9小题,满分86分)‎ ‎17.解不等式组,并把不等式组的解集在数轴上表示出来.‎ ‎18.已知m2+3m﹣4=0,求代数式(m+2﹣)÷的值.‎ ‎19.已知:如图,点C,D在线段AB上,△PCD是等边三角形,且AC=1,CD=2,DB=4.求证:△ACP∽△PDB.‎ 23‎ ‎20.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠C=90°,∠BAD=120°,AB=AD=4,BC=6,以点A为圆心在这个梯形内画出一个最大的扇形(图中阴影部分).‎ ‎(1)求这个扇形的面积;‎ ‎(2)若将这个扇形围成圆锥,求这个圆锥的底面积.‎ ‎21.一商店销售某种商品,平均每天可售出20件,每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利,该店采取了降价措施,在每件盈利不少于25元的前提下,经过一段时间销售,发现销售单价每降低1元,平均每天可多售出2件.‎ ‎(1)若降价3元,则平均每天销售数量为   件;‎ ‎(2)当每件商品降价多少元时,该商店每天销售利润为1200元?‎ ‎22.“足球运球”是中考体育必考项目之一.兰州市某学校为了解今年九年级学生足球运球的掌握情况,随机抽取部分九年级学生足球运球的测试成绩作为一个样本,按A,B,C,D四个等级进行统计,制成了如下不完整的统计图.(说明:A级:8分﹣10分,B级:7分﹣7.9分,C级:6分﹣6.9分,D级:1分﹣5.9分)‎ 根据所给信息,解答以下问题:‎ ‎(1)在扇形统计图中,C对应的扇形的圆心角是   度;‎ ‎(2)补全条形统计图;‎ ‎(3)所抽取学生的足球运球测试成绩的中位数会落在   等级;‎ ‎(4)该校九年级有300名学生,请估计足球运球测试成绩达到A级的学生有多少人?‎ 23‎ ‎23.如图,已知⊙O是△ABC的外接圆,且AB=BC=CD,AB∥CD,连接BD.‎ ‎(1)求证:BD是⊙O的切线;‎ ‎(2)若AB=10,cos∠BAC=,求BD的长及⊙O的半径.‎ ‎24.如图,抛物线y=﹣x2+bx+c(b为常数)与x轴交于A、C两点,与y轴交于B点,直线AB的函数关系式为y=x+.‎ ‎(1)求该抛物线的函数关系式与C点坐标;‎ ‎(2)已知点M(m,0)是线段OA上的一个动点,过点M作x轴的垂线l分别与直线AB和抛物线交于D、E两点,当m为何值时,△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形?‎ ‎(3)在(2)问条件下,当△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形时,动点M相应位置记为点M′,将OM′绕原点O顺时针旋转得到ON(旋转角在0°到90°之间);‎ ‎①探究:线段OB上是否存在定点P(P不与O、B重合),无论ON如何旋转,始终保持不变,若存在,试求出P点坐标;若不存在,请说明理由;‎ ‎②试求出此旋转过程中,(NA+NB)的最小值.‎ 23‎ ‎25.如图,AB是⊙O的直径,=,连结AC,过点C作直线l∥AB,点P是直线l上的一个动点,直线PA与⊙O交于另一点D,连结CD,设直线PB与直线AC交于点E.‎ ‎(1)求∠BAC的度数;‎ ‎(2)当点D在AB上方,且CD⊥BP时,求证:PC=AC;‎ ‎(3)在点P的运动过程中 ‎①当点A在线段PB的中垂线上或点B在线段PA的中垂线上时,求出所有满足条件的∠ACD的度数;‎ ‎②设⊙O的半径为6,点E到直线l的距离为3,连结BD,DE,直接写出△BDE的面积.‎ 23‎ ‎2019年福建省龙岩市长汀县中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 一.选择题(共10小题,满分40分,每小题4分)‎ ‎1.【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.‎ ‎【解答】解:A、是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项错误;‎ B、既是轴对称图形,又是中心对称图形,故本选项正确;‎ C、是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项错误;‎ D、是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项错误.‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后两部分重合.‎ ‎2.【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.‎ ‎【解答】解:80万亿用科学记数法表示为8×1013.‎ 故选:B.‎ ‎【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.‎ ‎3.【分析】根据幂的乘方、单项式与单项式的乘除运算法则、合并同类项法则逐一计算可得.‎ ‎【解答】解:A、(﹣a2)3=﹣a6,此选项错误;‎ B、3a2•a=3a3,此选项错误;‎ C、﹣2a+a=﹣a,此选项正确;‎ D、6a6÷2a2=3a4,此选项错误;‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题主要考查整式的运算,解题的关键是掌握幂的乘方、单项式与单项式的乘除运算法则、合并同类项法则.‎ ‎4.【分析】先根据平行线的性质求出∠B的度数,再由直角三角形的性质求出∠A 23‎ 的度数即可.‎ ‎【解答】解:∵EF∥AB,∠1=33°,‎ ‎∴∠B=∠1=33°,‎ ‎∵△ABC中,∠C=90°,∠B=33°,‎ ‎∴∠A=90°﹣∠B=90°﹣33°=57°.‎ 故选:A.‎ ‎【点评】本题考查的是平行线的性质及直角三角形的性质,用到的知识点为:两直线平行,内错角相等.‎ ‎5.【分析】根据一次函数的增减性可求解.‎ ‎【解答】解:∵一次函数y=(m﹣1)x的图象上两点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1>x2时,有y1<y2‎ ‎∴m﹣1<0‎ ‎∴m<1‎ 故选:D.‎ ‎【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征,利用一次函数增减性解决问题是本题的关键.‎ ‎6.【分析】根据直角三角形的性质求出AB,根据余弦的定义计算即可.‎ ‎【解答】解:∵Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,‎ ‎∴AB=2CD=3,‎ 在Rt△ABC中,cosB==,‎ 故选:A.‎ ‎【点评】本题考查的是解直角三角形、直角三角形的性质,掌握余弦的定义、直角三角形斜边上的中线是斜边的一半是解题的关键.‎ ‎7.【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出∠B,∠A的度数,进而得出答案.‎ ‎【解答】解:∵|tanB﹣|+(2cosA﹣1)2=0,‎ ‎∴tanB=,2cosA=1,‎ 则∠B=60°,∠A=60°,‎ ‎∴△ABC是等边三角形.‎ 故选:B.‎ 23‎ ‎【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值,正确记忆相关数据是解题关键.‎ ‎8.【分析】先画树状图展示所有12种等可能的结果数,再找出其中两次摸出的小球的标号的和为奇数的结果数,然后根据概率公式求解.‎ ‎【解答】解:画树状图为:‎ 共有12种等可能的结果数,其中两次摸出的小球的标号的和为奇数的结果数为8,‎ 所以两次摸出的小球的标号的和为奇数的概率为=,‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查了列表法与树状图法:利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率.‎ ‎9.【分析】利用三角形的中位线定理即可解决问题;‎ ‎【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形,‎ ‎∴BC=AD=16,‎ ‎∵点E,F分别是BD,CD的中点,‎ ‎∴EF=BC=8,‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考基础题.‎ ‎10.【分析】先分析题意,把各个时间段内y与x之间的关系分析清楚,本题是分段函数,分为三段.‎ ‎【解答】解:根据题意可知火车进入隧道的时间x与火车在隧道内的长度y之间的关系具体可描述为:当火车开始进入时y逐渐变大,火车完全进入后一段时间内y不变,当火车开始出来时y逐渐变小,故反映到图象上应选A.‎ 故选:A.‎ ‎【点评】本题考查了动点问题的函数图象,主要考查了根据实际问题作出函数图象的能力.解题的关键是要知道本题是分段函数,分情况讨论y与x之间的函数关系.‎ 二.填空题(共6小题,满分24分,每小题4分)‎ ‎11.【分析】根据※的运算方法列式算式,再根据算术平方根的定义解答.‎ 23‎ ‎【解答】解:6※3==1.‎ 故答案为:1.‎ ‎【点评】本题考查了算术平方根的定义,读懂题目信息,理解※的运算方法是解题的关键.‎ ‎12.【分析】先提出公因式3ab,再利用平方差公式进行因式分解.‎ ‎【解答】解:原式=3ab(a2﹣9b2)=3ab(a+3b)(a﹣3b).‎ 故答案是:3ab(a+3b)(a﹣3b).‎ ‎【点评】本题考查了提公因式法和公式法进行分解因式,解决本题的关键是熟记提公因式法和公式法.‎ ‎13.【分析】过A作AE⊥x轴于E,根据等边三角形性质求出OE,根据勾股定理求出AE,即可得出答案.‎ ‎【解答】解:过A作AE⊥x轴于E,‎ ‎∵△ABO是等边三角形,边长为3,‎ ‎∴OA=3,OE=BE=1.5,‎ 在Rt△AEO中,由勾股定理得:AE===1.5,‎ 即点A的坐标为(﹣1.5,1.5),‎ 故答案为:(﹣1.5,1.5).‎ ‎【点评】本题考查了等边三角形的性质和勾股定理,能够正确作出辅助线是解此题的关键.‎ ‎14.【分析】根据图示可得:长方形的长可以表示为x+2y,长又是75厘米,故x+2y=75,长方形的宽可以表示为2x,或x+3y,故2x=3y+x,整理得x=3y,联立两个方程即可.‎ ‎【解答】解:根据图示可得,‎ 故答案是:.‎ 23‎ ‎【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组,关键是看懂图示,分别表示出长方形的长和宽.‎ ‎15.【分析】根据相似三角形的相似比求得顶点到这个正方形的长,再根据矩形的宽求得是第几张.‎ ‎【解答】解:已知剪得的纸条中有一张是正方形,则正方形中平行于底边的边是3,‎ 所以根据相似三角形的性质可设从顶点到这个正方形的线段为x,‎ 则,解得x=3,‎ 所以另一段长为21﹣3=18,‎ 因为18÷3=6,所以是第6个.‎ 故答案为:6‎ ‎【点评】本题主要考查了相相似三角形的判定和性质,关键是根据似三角形的性质及等腰三角形的性质的综合运用解答.‎ ‎16.【分析】由四边形ABCB1是正方形,得到AB=AB1,AB∥CB1,于是得到AB∥A1C,根据平行线的性质得到∠CA1A=30°,解直角三角形得到A1B1=,AA1=2,同理:A2A3=2()2,A3A4=2()3,找出规律AnAn+1=2()n,答案即可求出.‎ ‎【解答】解:∵四边形ABCB1是正方形,‎ ‎∴AB=AB1,AB∥CB1,‎ ‎∴AB∥A1C,‎ ‎∴∠CA1A=30°,‎ ‎∴A1B1=,AA1=2,‎ ‎∴A1B2=A1B1=,‎ ‎∴A1A2=2,‎ 同理:A2A3=2()2,‎ A3A4=2()3,‎ ‎…‎ ‎∴AnAn+1=2()n,‎ ‎∴A2016A2017=2()2016=2×31008.‎ 故答案为:2×31008.‎ ‎【点评】本题考查了正方形的性质,含30°‎ 23‎ 直角三角形的性质,平行线的性质的综合应用,求出后一个正方形的边长是前一个正方形的边长的倍是解题的关键.‎ 三.解答题(共9小题,满分86分)‎ ‎17.【分析】分别求出每一个不等式的解集,根据口诀:同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集.‎ ‎【解答】解:,‎ 解不等式①,得:x≥﹣1,‎ 解不等式②,得:x<3,‎ 则不等式组的解集为﹣1≤x<3,‎ 将不等式组的解集表示在数轴上如下:‎ ‎【点评】本题考查的是解一元一次不等式组,正确求出每一个不等式解集是基础,熟知“同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.‎ ‎18.【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算,同时利用除法法则变形,约分得到最简结果,把已知等式变形后代入计算即可求出值.‎ ‎【解答】解:原式=•=•=m(m+3)=m2+3m,‎ ‎∵m2+3m﹣4=0,‎ ‎∴m2+3m=4,‎ ‎∴原式=4.‎ ‎【点评】此题考查了分式的化简求值,熟练掌握运算法则是解本题的关键.‎ ‎19.【分析】根据等边三角形的性质得到∠PCD=∠PDC=60°,PC=CD=PD=2,得到∠PCA=∠PDB=120°,根据已知条件得到=,于是得到结论.‎ ‎【解答】证明:∵△PCD是等边三角形,‎ ‎∴∠PCD=∠PDC=60°,PC=CD=PD=2,‎ ‎∴∠PCA=∠PDB=120°,‎ 23‎ ‎∵AC=1,BD=4,‎ ‎∴,=,‎ ‎∴=,‎ ‎∴△ACP∽△PDB.‎ ‎【点评】本题考查了相似三角形的判定,等边三角形的性质,熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键.‎ ‎20.【分析】(1)作AE⊥BC,根据三角函数求得扇形的半径AE,由梯形的性质得出圆心角度数,继而根据扇形的面积公式可得.‎ ‎(2)根据圆锥的底面周长等于扇形的弧长,从而求得底面半径,从而求得面积.‎ ‎【解答】解:(1)过点A作AE⊥BC于E,‎ 则AE=ABsinB=4×=2,‎ ‎∵AD∥BC,∠B=60°,‎ ‎∴∠BAD=120°,‎ ‎∴扇形的面积为=4π,‎ ‎(2)设圆锥的底面半径为r,则2πr=,‎ 解得:r=‎ 若将这个扇形围成圆锥,这个圆锥的底面积π.‎ ‎【点评】本题要熟知切线的性质,直角梯形的性质和扇形弧长计算公式.利用切线的性质求得AE的长即半径是解题的关键,注意扇形的周长为两条半径的长加上弧长.‎ ‎21.【分析】(1)根据销售单价每降低1元,平均每天可多售出2件,可得若降价3元,则平均每天可多售出2×3=6件,即平均每天销售数量为20+6=26件;‎ ‎(2)利用商品平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种商品利润列出方程解答即可.‎ 23‎ ‎【解答】解:(1)若降价3元,则平均每天销售数量为20+2×3=26件.‎ 故答案为26;‎ ‎(2)设每件商品应降价x元时,该商店每天销售利润为1200元.‎ 根据题意,得 (40﹣x)(20+2x)=1200,‎ 整理,得x2﹣30x+200=0,‎ 解得:x1=10,x2=20.‎ ‎∵要求每件盈利不少于25元,‎ ‎∴x2=20应舍去,‎ 解得:x=10.‎ 答:每件商品应降价10元时,该商店每天销售利润为1200元.‎ ‎【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用,利用基本数量关系:平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售的利润是解题关键.‎ ‎22.【分析】(1)先根据B等级人数及其百分比求得总人数,总人数减去其他等级人数求得C等级人数,继而用360°乘以C等级人数所占比例即可得;‎ ‎(2)根据以上所求结果即可补全图形;‎ ‎(3)根据中位数的定义求解可得;‎ ‎(4)总人数乘以样本中A等级人数所占比例可得.‎ ‎【解答】解:(1)∵总人数为18÷45%=40人,‎ ‎∴C等级人数为40﹣(4+18+5)=13人,‎ 则C对应的扇形的圆心角是360°×=117°,‎ 故答案为:117;‎ ‎(2)补全条形图如下:‎ 23‎ ‎(3)因为共有40个数据,其中位数是第20、21个数据的平均数,而第20、21个数据均落在B等级,‎ 所以所抽取学生的足球运球测试成绩的中位数会落在B等级,‎ 故答案为:B.‎ ‎(4)估计足球运球测试成绩达到A级的学生有300×=30人.‎ ‎【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用,读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.‎ ‎23.【分析】(1)如图1,作直径BE,半径OC,证明四边形ABDC是平行四边形,得∠A=∠D,由等腰三角形的性质得:∠CBD=∠D=∠A=∠OCE,可得∠EBD=90°,所以BD是⊙O的切线;‎ ‎(2)如图2,根据三角函数设EC=3x,EB=5x,则BC=4x根据AB=BC=10=4x,得x的值,求得⊙O的半径为,作高线CG,根据等腰三角形三线合一得BG=DG,根据三角函数可得结论.‎ ‎【解答】(1)证明:如图1,作直径BE,交⊙O于E,连接EC、OC,‎ 则∠BCE=90°,‎ ‎∴∠OCE+∠OCB=90°,‎ ‎∵AB∥CD,AB=CD,‎ ‎∴四边形ABDC是平行四边形,‎ ‎∴∠A=∠D,‎ ‎∵OE=OC,‎ ‎∴∠E=∠OCE,‎ ‎∵BC=CD,‎ ‎∴∠CBD=∠D,‎ ‎∵∠A=∠E,‎ ‎∴∠CBD=∠D=∠A=∠OCE,‎ ‎∵OB=OC,‎ 23‎ ‎∴∠OBC=∠OCB,‎ ‎∴∠OBC+∠CBD=90°,‎ 即∠EBD=90°,‎ ‎∴BD是⊙O的切线;‎ ‎(2)如图2,∵cos∠BAC=cos∠E=,‎ 设EC=3x,EB=5x,则BC=4x,‎ ‎∵AB=BC=10=4x,‎ x=,‎ ‎∴EB=5x=,‎ ‎∴⊙O的半径为,‎ 过C作CG⊥BD于G,‎ ‎∵BC=CD=10,‎ ‎∴BG=DG,‎ Rt△CGD中,cos∠D=cos∠BAC=,‎ ‎∴,‎ ‎∴DG=6,‎ ‎∴BD=12.‎ 23‎ ‎【点评】本题考查了圆周角定理、三角函数以及切线的判定.要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心与这点(即为半径),再证垂直即可,在圆的有关计算中,常根据三角函数的比设未知数,列方程解决问题.‎ ‎24.【分析】(1)根据已知条件得到B(0,),A(﹣6,0),解方程组得到抛物线的函数关系式为:y=﹣x2﹣x+,于是得到C(1,0);‎ ‎(2)由点M(m,0),过点M作x轴的垂线l分别与直线AB和抛物线交于D、E两点,得到D(m, m+),当DE为底时,作BG⊥DE于G,根据等腰三角形的性质得到EG=GD=ED,GM=OB=,列方程即可得到结论;‎ ‎(3)①根据已知条件得到ON=OM′=4,OB=,由∠NOP=∠BON,特殊的当△NOP∽△BON时,根据相似三角形的性质得到===,于是得到结论;‎ ‎②根据题意得到N在以O为圆心,4为半径的半圆上,由①知,==,得到NP=NB,于是得到(NA+NB)的最小值=NA+NP,此时N,A,P三点共线,根据勾股定理得到结论.‎ ‎【解答】解:(1)在y=x+中,令x=0,则y=,令y=0,则x=﹣6,‎ ‎∴B(0,),A(﹣6,0),‎ 把B(0,),A(﹣6,0)代入y=﹣x2+bx+c得,‎ ‎,‎ ‎∴,‎ ‎∴抛物线的函数关系式为:y=﹣x2﹣x+,‎ 令y=0,则0=﹣x2﹣x+,‎ ‎∴x1=﹣6,x2=1,‎ ‎∴C(1,0);‎ 23‎ ‎(2)∵点M(m,0),过点M作x轴的垂线l分别与直线AB和抛物线交于D、E两点,‎ ‎∴D(m, m+),当DE为底时,‎ 如图1,作BG⊥DE于G,则EG=GD=ED,GM=OB=,‎ ‎∵DM+DG=GM=OB,‎ ‎∴m++(﹣m2﹣m+﹣m﹣)=,‎ 解得:m1=﹣4,m2=0(不合题意,舍去),‎ ‎∴当m=﹣4时,△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形;‎ ‎(3)①存在,如图2.‎ ‎∵ON=OM′=4,OB=,‎ ‎∵∠NOP=∠BON,‎ ‎∴当△NOP∽△BON时,===,‎ ‎∴不变,‎ 即OP=ON=×4=3,‎ ‎∴P(0,3);‎ ‎②∵N在以O为圆心,4为半径的半圆上,由①知,==,‎ ‎∴NP=NB,‎ ‎∴(NA+NB)的最小值=NA+NP,‎ ‎∴此时N,A,P三点共线,‎ ‎∴(NA+NB)的最小值==3.‎ 23‎ ‎【点评】本题是二次函数综合题,其中涉及到待定系数法求抛物线的解析式,函数图象上点的坐标特征,等腰三角形的性质,相似三角形的性质,勾股定理等知识,正确作出辅助线是解题的关键.‎ ‎25.【分析】(1)只要证明△ABC是等腰直角三角形即可;‎ ‎(2)只要证明CB=CP,CB=CA即可;、‎ ‎(3)①分四种情形分别画出图形一一求解即可;‎ ‎②分两种情形如图6中,作EK⊥PC于K.只要证明四边形ADBC是正方形即可解决问题;如图7中,连接OC,作BG⊥CP于G,EK⊥PC于K.由△AOQ∽△ADB,可得S△ABD=,可得S△PBD=S△ABP﹣S△ABD=,再根据S△BDE=•S△PBD计算即可解决问题;‎ ‎【解答】解:(1)如图1中,连接BC.‎ 23‎ ‎∵=,‎ ‎∴BC=CA,‎ ‎∵AB是直径,‎ ‎∴∠ACB=90°,‎ ‎∴∠BAC=∠CBA=45°.‎ ‎(2)解:如图1中,设PB交CD于K.‎ ‎∵=,‎ ‎∴∠CDB=∠CDP=45°,CB=CA,‎ ‎∴CD平分∠BDP,又∵CD⊥BP,‎ ‎∴∠DKB=∠DKP=90°,∵DK=DK,‎ ‎∴△DKB≌△DKP,‎ ‎∴BK=KP,‎ 即CD是PB的中垂线,‎ ‎∴CP=CB=CA.‎ ‎(3)①(Ⅰ)如图2,当 B在PA的中垂线上,且P在右时,∠ACD=15°;‎ 理由:连接BD、OC.作BG⊥PC于G.则四边形OBGC是正方形,‎ ‎∵BG=OC=OB=CG,‎ 23‎ ‎∵BA=BA,‎ ‎∴PB=2BG,‎ ‎∴∠BPG=30°,‎ ‎∵AB∥PC,‎ ‎∴∠ABP=30°,‎ ‎∵BD垂直平分AP,‎ ‎∴∠ABD=∠ABP=15°,‎ ‎∴∠ACD=15°‎ ‎(Ⅱ)如图3,当B在PA的中垂线上,且P在左,∠ACD=105°;‎ 理由:作BG⊥CP于G.‎ 同法可证∠BPG=30°,可得∠APB=∠BAP=∠APC=15°,‎ ‎∴∠ABD=75°,‎ ‎∵∠ACD+∠ABD=180°,‎ ‎∴∠ACD=105°;‎ ‎(Ⅲ)如图4,A在PB的中垂线上,且P在右时∠ACD=60°;‎ 理由:作AH⊥PC于H,连接BC.‎ 同法可证∠APH=30°,可得∠DAC=75°,∠D=∠ABC=45°,‎ ‎∴∠ACD=60°;‎ ‎(Ⅳ)如图5,A在PB的中垂线上,且P在左时∠ACD=120°‎ 23‎ 理由:作AH⊥PC于H.‎ 同法可证:∠APH=30°,可得∠ADC=45°,∠DAC=60°﹣45°=15°,‎ ‎∴∠ACD=120°.‎ ‎②如图6中,作EK⊥PC于K.‎ ‎∵EK=CK=3,‎ ‎∴EC=3,‎ ‎∵AC=6,‎ ‎∴AE=EC,‎ ‎∵AB∥PC,‎ ‎∴∠BAE=∠PCE,∵∠AEB=∠PEC,‎ ‎∴△ABE≌△CPE,‎ ‎∴PC=AB=CD,‎ ‎∴△PCD是等腰直角三角形,可得四边形ADBC是正方形,‎ ‎∴S△BDE=•S正方形ADBC=36.‎ 如图7中,连接OC,作BG⊥CP于G,EK⊥PC于K.‎ 23‎ 由题意CK=EK=3,PK=1,PG=2,‎ 由△AOQ∽△PCQ,可得QC=,‎ PQ2=,‎ 由△AOQ∽△ADB,可得S△ABD=,‎ ‎∴S△PBD=S△ABP﹣S△ABD=,‎ ‎∴S△BDE=•S△PBD=‎ 综上所,满足条件的△BDE的面积为36或.‎ ‎【点评】本题考查圆综合题、等腰直角三角形的性质和判定、相似三角形的判定和性质、切线的性质、线段的垂直平分线的性质和判定、直角三角形中30度角的判定等知识,解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题,学会添加常用辅助线,构造特殊三角形解决问题,属于中考压轴题.‎ 23‎

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