2019年河南省六市高三第一次联考试题
数学(理科）
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分。考试时间为120分钟，其中第Ⅱ卷22题，23题为选考题，其它题为必考题。考试结束后，将答题卡交回。
注意事项:
1.答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀。
第I卷(选择题共60分）
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1.已知集合 A = {}，B = {}，则
A.(l,3) B.(l,3] C.[-1,2) D.(-1,2)
2.设复数,则
A. B. C. D.
3. 的值为
A. B. C. D.
4.我国古代有着辉煌的数学研究成果.《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、 ……、《辑古算经》等10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献。这10部专著中有1部产生于魏晋南北朝时期。某中学拟从这10部专著中选择2部作为 “数学文化”校本课程学习内容，则所选2
部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期的专著的 概率为
A. B. C. D.
5.已知函数，则“a =0”是“函数为奇函数的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.某几何体的三视图如图所示，其中正视图中的曲线为圆弧，则该几何 体的表面积为
A. B.
C. D.
7.若，则
A. b >c >a B. c > b > a C. b > a > c D. a > b >c
8.若将函数的图象向左平移个单位长度，平移后的图象关于点对称，则函数在上的最小值是
A. B. C. D.
9.已知变量满足约束条件，则目标函数的最大值是
A. -6 B. C. -1 D.6
10. 在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则△ABC的面积的最大值
A. B. C. D.
11. 抛物线的焦点为F，设（)，B()是抛物线上的两个动点，若，则∠AFB的最大值为
A. B. C. D.
12.函数是定义在（1，+∞)上的可导函数，为其导函数，若,则不等式2，a与b的夹角为，若c=a + b，d =a-b，则c在d方向上的投影为 .
14.在的展开式中，常数项为 .
15. 已知双曲线 (a>b>0),焦距为2c，直线经过点(a，0)和(0,b)，若（-a，0)到直线的距离为，则离心率为 .
16.如图，△ABC是等腰直角三角形，斜边AB= 2，D为直角边BC上 一点(不含端点)，将△ACD沿直线AD折叠至△AC1D的位置，使得C1在平面ABD外，若C1在平面上的射影H恰好在线段AB上，则从的取值范围是 .
三、解答题:本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分12分）
设数列{}前项和为，且满足.
(I)试确定r的值，使{}为等比数列，并求数列{}的通项公式；
(II )在（I)的条件下，设，求数列{}的前n项和.
18.(本小题满分12分）
已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为32,48,32。现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查。
(I)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
(II)若抽出的7人中有3人睡眠不足，4人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检査。
(i)用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的数学期望知方差；
(ii)设4为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件4发生的概率。
19.(本小题满分12分）
已知五边形ABECD由一个直角梯形ABCD与一个等边三角形BCE构成，如图1所示,AB丄BC，AB//CD，且AB=2CD。将梯形ABCD沿着BC折起，如图2所示，且AB丄平面BEC。
(I)求证:平面ABE丄平面ADE；
(II)求二面角A-DE-B的余弦值.
20.(本小题满分12分)
已知椭圆C: (a>b>0)的两个焦点分别为F1，F2，点P是椭圆上的任意一点，且的最大值为4,椭圆C的离心率与双曲线的离心率互为倒数。
(I)求椭圆C的方程；
(II)设点P（-1，)，过点P作两条直线，与圆 (0＜r＜)相切且分别交椭圆于M，N，求证:直线MN的斜率为定值。
21.(本小题满分12分）
已知函数.
(I)求函数的零点的个数；
(II)令，若函数在(0，)内有极值，求实数a的取值范围。
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22.(本小题满分10分）【选修4 - 4:坐标系与参数方程选讲】
在平面直角坐标系中，曲线C1: ，曲线C2的参数方程为为参数)。以坐标原点0为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系。
(I)求曲线C1，C2的极坐标方程；
(II)在极坐标系中，射线与曲线C1，C2分别交于A，B两点（异于极点O)，定点M (3,0),求△MAB的面积。
23. (本小题满分10分）【选修4 -5:不等式选讲】
已知函数.
(I)解不等式: ；
(II)当时时，函数恒为正值,求实数m的取值范围。
2019年河南省六市高三第一次联考试题
数学（理科）参考答案
一、选择题
1-6 CDBACD 7-12 ACDADB
二、填空题
13．－; 14．－5; 15．; 16.
三、解答题
17．（本小题满分12分）
【解析】
（Ⅰ）当n=1时，，， ----------------1分
当n≥2时，，与已知式作差得an=an+1﹣an，即an+1=2an（n≥2），
欲使{an}为等比数列，则a2=2a1=2r，又，∴， ------------4分
故数列{an}是以为首项，2为公比的等比数列，
所以---------------------------6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知bn=n﹣6，∴, ------------------------8分
若n＜6，，
若n≥6，，
∴． -------------------------------12分
18.（本小题满分12分）
【解析】
（Ⅰ）三个部门的员工总人数为48+32+32=112（人）
甲部门抽取的员工：；乙部门抽取的员工：；
丙部门抽取的员工：------------------4分
（Ⅱ）
--------------6分
所以X的分布列为：
X
0
1
2
3
p
， -----9分
（ii）从7人中抽取的3人，有种等可能的结果，其中A有种结果，
所以.------------12分
19．（本小题满分12分）
【解析】
（Ⅰ）证明：取BE的中点F，AE的中点G，连接FG、GD、CF，则GFAB.
∵DCAB，∴CDGF，∴四边形CFGD为平行四边形，
∴CF∥DG. -------------------------------------------1分
∵AB⊥平面BEC，
∴AB⊥CF.
∵CF⊥BE，AB∩BE＝B，
∴CF⊥平面ABE.-----------------------------------------2分
∵CF∥DG,
∴DG⊥平面ABE.
∵DG⊂平面ADE，
∴平面ABE⊥平面ADE. -----------------------------------------4分
（Ⅱ）过E作EO⊥BC于O.
∵AB⊥平面BEC，∴AB⊥EO.
∵AB∩BC＝B，∴EO⊥平面ABCD. --------------5分
以O为坐标原点，OE、BC所在的直线分别为x轴、y轴，过O且平行于AB的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
设AB＝BC＝4，则A(0，－2,4)，B(0，－2,0)，D(0,2,2)，E(2，0,0)，
∴＝(－2，2,2)，＝(－2，－2,4)，
＝(－2，－2,0)．-------------------------------------6分
设平面EAD的法向量为n＝(x1，y1，z1)，则有
即
取z1＝2得x1＝，y1＝1，则n＝(，1,2)，----------------------------8分
设平面BDE的法向量为m＝(，，)，则有
即取＝1，得＝－，＝2，
则m＝(1，－，2)．----------------------------------10分
∴.
又由图可知，二面角A DE B的平面角为锐角，
∴其余弦值为．----------------------------------12分
20．（本小题满分12分）
【解析】
（Ⅰ）设椭圆的焦距为，则,所以
双曲线的离心率为，可知椭圆C的离心率为，
可知，解得
所以椭圆C的方程为 -------------------------4分
（Ⅱ）点在椭圆C上，显然两直线的斜率存在，设为，，由于直线与圆相切，可知
直线，联立方程组，可得
-------------------8分
所以 ,
所以,
又
--------------10分
可知直线MN的斜率为，
故所求的直线MN的斜率为. ------------------------------12分
21．（本小题满分12分）
【解析】
（Ⅰ）因为，所以为的一个零点， ------------------1分
当时，，设，则
，∴在单调递增， ------------------3分
又，，
故在上有唯一零点，且在内，
所以在有且仅有2个零点. ----------------------------5分
（Ⅱ），
定义域为，
， ----------------------------6分
设，要使在内有极值，则有两个不同的根，，且有一根在， -----------------------------8分
所以，解得或，
不妨设，又，
所以， ---------------------------------10分
所以，则只需，即，
解得，
所以的取值范围为----------------------------------12分
22．（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
【解析】
（Ⅰ）曲线的极坐标方程为，
因为曲线的普通方程为，所以，
所以曲线的极坐标方程为． ---------------------------------4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：点的极坐标为，点的极坐标为，
所以，点到射线的距离为，
所以的面积为． -------------------10分
23．（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】
【解析】
（Ⅰ）由题意知，原不等式等价于
或或，
解得或或，
综上所述，不等式的解集为．-------------------4分
（Ⅱ）当时，则，只需，不可能！
当时，，
要使函数恒为正值，则
当时，恒成立，
只需要
综上所述，实数的取值范围是：．-------------------10分
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