海南省八校联盟2018届高三起点测试数学试卷（理科）Word版含答案.doc

海南省八校联盟2018届高三起点测试 数学试卷(理科)‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则中的元素的个数为( )‎ A．0 B．‎1 C．2 D．3‎ ‎2.已知，为虚数单位，，则( )‎ A．9 B． C．24 D．‎ ‎3.某高校调查了400名大学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是，样本数据分组，，，，.则这400名大学生中每周的自习时间不少于20小时的人数是( )‎ A．380 B．‎360 C．340 D．320‎ ‎4.设为线段的中点，且，则 A． B． C. D．‎ ‎5.执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的( )‎ A．2 B．‎4 C.10 D．28‎ ‎6.若，，，则( )‎ A． B． C. D．‎ ‎7.为等差数列的前项和，，，则( )‎ A．5 B．‎3 C.1 D．‎ ‎8.设实数满足约束条件，则的取值范围为( )‎ A． B． C. D．‎ ‎9.如图是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )‎ A．46 B．‎48 C.50 D．52‎ ‎10.直线过点且与双曲线交于两点，若线段的中点恰好为点，则直线的斜率为( )‎ A． B． C. D．‎ ‎11.在三棱锥中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为( )‎ A． B． C. D．‎ ‎12.已知函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是( )‎ A． B． C. D． ‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.设等比数列的公比为，若，，则 ．‎ ‎14.若的展开式中的系数为1，则 ．‎ ‎15.函数的最小值是 ．‎ ‎16.已知是抛物线的焦点，过的直线与直线垂直，且直线与抛物线交于，两点，则 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.在中，角的对边分别是，已知，，.‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)求的面积.‎ ‎18.某小区停车场的收费标准为：每车每次停车时间不超过2小时免费，超过2小时的部分每小时收费1元(不足1小时的部分按1小时计算).现有甲乙两人相互独立到停车场停车(各停车一次)，且两人停车的时间均不超过5小时，设甲、乙两人停车时间(小时)与取车概率如下表所示：‎ ‎(1)求甲、乙两人所付车费相同的概率；‎ ‎(2)设甲、乙两人所付停车费之和为随机变量，求的分布列及数学期望.‎ ‎19.如图，三棱柱的所有棱长均为2，平面平面，，为的中点.‎ ‎(1)证明：；‎ ‎(2)若是棱的中点，求二面角的余弦值.‎ ‎20.如图，点在椭圆上，且点到两焦点的距离之和为6.‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)设与(为坐标原点)垂直的直线交椭圆于(不重合)，求的取值范围.‎ ‎21.设函数，其中.‎ ‎(1)若直线与函数的图象在上只有一个交点，求的取值范围；‎ ‎(2)若对恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎22.以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线的参数方程为(为参数，)，曲线的极坐标方程为.‎ ‎(1)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎(2)设直线与曲线相交于两点，当变化时，求的最小值.‎ ‎23.已知函数，.‎ ‎(1)当时，解不等式；‎ ‎(2)若时，，求的取值范围.‎ 海南省八校联盟2018届高三起点测试 数学试卷(理科)参考答案 一、选择题 ‎1-5:CAADB 6-10:DCBBD 11、12：AB 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17.解：(1)因为，‎ 所以，即，‎ 由余弦定理得.‎ 所以.‎ ‎(2)因为，，.‎ 所以.‎ ‎18.解：(1)由题意得，∴，‎ ‎，∴.‎ 记甲、乙两人所付停车费相同为事件，则，‎ ‎∴甲、乙两人所付停车费相同的概率为.‎ ‎(2)设甲、乙两人所付的费用之和为，的可能取值为0，1，2，3，4，5，‎ ‎，，，‎ ‎，，，‎ 的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎∴.‎ ‎19.(1)证明：取中点，设与交于点，连接，，依题意得，‎ 因为平面平面，平面平面，，‎ 所以平面，即平面，所以，‎ 又因为四边形为菱形，所以，又，所以平面，‎ 而平面，所以.‎ ‎(2)解：由(1)结合已知得：，，，‎ 以为原点，如图所示建立空间直角坐标系，因为侧面是边长为2的菱形，且，‎ 所以，，，，，‎ 所以，，，‎ 设平面的法向量为，‎ 则由得，令，可取，‎ 而平面的一个法向量，由图可知二面角为锐角，‎ 因为.‎ 所以二面角的余弦值为.‎ ‎20.解：(1)∵，∴.‎ 又点在椭圆上，∴，‎ 解：，∴所求椭圆方程为.‎ ‎(2)∵，∴，设直线的方程：.‎ 联立方程组，消去得：.‎ ‎，∴.‎ 设，，，.‎ 则，‎ ‎∵，∴的取值范围为.‎ ‎21.解：(1)当时，，‎ 令时得；‎ 令得，递增；‎ 令得，递减，‎ ‎∴在处取得极小值，且极小值为，‎ ‎∵，，‎ ‎∴由数形结合可得或.‎ ‎(2)当时，，，令得；‎ 令得，递增；‎ 令得，递减，‎ ‎∴在处取得极小值，且极小值为，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∵当即时，，∴，即，∴无解，‎ 当即时，，∴，即，又，‎ ‎∴，‎ 综上，.‎ ‎22.解：(1)由消去得，‎ 所以直线的普通方程为.‎ 由得，‎ 把，代入上式，得，‎ 所以曲线的直角坐标方程为.‎ ‎(2)将直线的参数方程代入，得，‎ 设两点对应的参数分别是，‎ 则，，‎ 所以，‎ 当时，的最小值为8.‎ ‎23.解：(1)当时，不等式为；‎ 当时，不等式转化为，不等式解集为空集；‎ 当时，不等式转化为，解之得；‎ 当时，不等式转化为，恒成立；‎ 综上所求不等式的解集为.‎ ‎(2)若时，恒成立，即，亦即恒成立，又因为，所以，所以的取值范围为.‎