www.ks5u.com
江西省 六校第五次联考数学（理科）试卷
宜春中学 丰城中学 樟树中学
高安二中 丰城九中 新余一中
命题学校：新余一中 命题人：梁睿霞 审题人：敖礼生
第I卷（选择题）
一、本大题共12小题，每题5分，共60分
1.集合，则等于（ ）
A． B． C． D．
2.已知函数是上的奇函数，当时为减函数，且，则=（ ）
A． B．
C． D．
3.给出下列四个命题:
①“若为的极值点，则”的逆命题为真命题;
②“平面向量的夹角是钝角”的充分不必要条件是
③若命题，则
④命题“错误！未找到引用源。,使得错误！未找到引用源。”的否定是:“错误！未找到引用源。均有错误！未找到引用源。”.
其中不正确的个数是
A.1 B.2 C.3 D.4
4. 设函数是定义在上的奇函数，且=，则（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2
5.函数（其中）的图象不可能是
6.设，函数的图象向左平移个单位后与原图象重合，则
的最小值是（ ）
A． B． C． D．3
7.高三某班15名学生一次模拟考试成绩用茎叶图表示如图1，执行图2所示的程序框图，若输入的分别为这15名学生的考试成绩，则输出的结果为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
8.已知数列为等差数列，且满足．若展开式中项的系数等于数列的第三项，则的值为（ ）
A．6 B．8 C．9 D．10
9.一个多面体的直观图和三视图如图所示，M是AB的中点.一只小蜜蜂在几何体ADF—BCE内自由飞翔，则它飞入几何体F—AMCD内的概率为
A. B. C. D.
10.已知关于的方程的三个实根分别为一个椭圆，一个抛物线，一个双曲线的离心率，则的取值范围（ ）
A. B.
C. D.
11.定义在上的偶函数，其导函数为，若对任意的实数，都有
恒成立，则使成立的实数的取值范围为（ ）
A. B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
C．（﹣1，1） D．（﹣1，0）∪（0，1）
12.设函数，若对于在定义域内存在实数满足，则称函数为“局部奇函数”．若函数是定义在上的“局部奇函数”，则实数的取值范围是（ ）
A． C． D．
第II卷（非选择题）
二、填空题，本大题共4小题，每题5分，共20分
13.设向量满足，则 ．
14.过函数图像上一个动点作函数的切线，则切线的倾斜角的范围是 ．
15.在三棱锥P﹣ABC中，PA，PB，PC两两互相垂直，且AB=4，AC=5，则BC的取值范围是 ．
16.对于函数，
下列5个结论正确的是__________（把你认为正确的答案全部写上）．
(1)任取， ,都有；
(2)函数在上单调递增；
(3) ，对一切恒成立；
(4)函数有3个零点；
(5)若关于的方程有且只有两个不同的实根,，则.
三、解答题，本大题共6小题，17题10分，其余每题12分，共70分
17.（10分）.已知，
（1）求函数的单调递增区间；
（2）设△ABC的内角A满足，而，求边BC的最小值．
18.（12分）.已知命题：函数在上是增函数；命题：若函数在区间[0，+∞）没有零点．
（1）如果命题为真命题，求实数的取值范围；
（2）命题“”为真命题，“”为假命题，求实数的取值范围．
19.（12分）.一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为的函数：
（1）现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的概率；
（2）现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数的分布列和数学期望．
20（12分）.在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AD=AB=DC=BC=1，E是PC的中点，面PAC⊥面ABCD．
（1）证明：ED∥面PAB；
（2）若PC=2，PA=，求二面角A﹣PC﹣D的余弦值．
21（12分）.已知二次函数，关于的不等式的解集为，其中．
（1）求的值；
（2）令，若函数存在极值点，求实数的取值范围，并求出极值点．
22（12分）.如图，已知椭圆的离心率为，P为椭圆E上的动点，P到点M（0，2）的距离的最大值为，直线l交椭圆于两点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若以P为圆心的圆的半径为，且圆P与OA、OB相切．
（i）是否存在常数，使恒成立？若存在，求出常数λ；若不存在，说明理由；
（ii）求△OAB的面积．
六校联考理科数学试卷答案
一、选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
B
A
C
A
C
D
D
D
C
C
B
B
二、填空题
13.4 14. 15.（3，） 16.（1）（4）（5）
三、解答题
17.解：（1）=…………3分
由得，
故所求单调递增区间为．…………5分
（2）由得，
∵，即，∴bc=2，…………7分
又△ABC中， =，
∴…………10分
18.
解：（1）如果命题p为真命题，
∵函数f（x）=x3+ax2+x在R上是增函数，
∴f′（x）=3x2+2ax+1≥0对x∈（﹣∞，+∞）恒成立…………2分
∴ …………4分
（2）g′（x）=ex﹣1≥0对任意的x∈[0，+∞）恒成立，
∴g（x）在区间[0，+∞）递增
命题q为真命题g（0）=a+1＞0⇒a＞﹣1…………6分
由命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题知p，q一真一假，
若p真q假，则 …8分
若p假q真，则 …10分
综上所述， …12分
19.
解：（1）记事件A为“任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数”，由题意知．…………4分
（2）ξ可取1，2，3，4，；…………8分
故ξ的分布列为
…………10分
答：ξ的数学期望为．…………12分
20.
【解答】（Ⅰ）证明：取PB的中点F，连接AF，EF．
∵EF是△PBC的中位线，∴EF∥BC，且EF=．
又AD=BC，且AD=，∴AD∥EF且AD=EF，
则四边形ADEF是平行四边形．
∴DE∥AF，又DE⊄面ABP，AF⊂面ABP，∴ED∥面PAB；……………6分
（Ⅱ）解：法一、取BC的中点M，连接AM，则AD∥MC且AD=MC，
∴四边形ADCM是平行四边形，
∴AM=MC=MB，则A在以BC为直径的圆上．∴AB⊥AC，可得．
过D作DG⊥AC于G，
∵平面PAC⊥平面ABCD，且平面PAC∩平面ABCD=AC，
∴DG⊥平面PAC，则DG⊥PC．
过G作GH⊥PC于H，则PC⊥面GHD，连接DH，则PC⊥DH，
∴∠GHD是二面角A﹣PC﹣D的平面角．
在△ADC中，，连接AE，．
在Rt△GDH中，，
∴，
即二面角A﹣PC﹣D的余弦值．……………….12分
法二、取BC的中点M，连接AM，则AD∥MC，且AD=MC．
∴四边形ADCM是平行四边形，
∴AM=MC=MB，则A在以BC为直径的圆上，
∴AB⊥AC．
∵面PAC⊥平面ABCD，且平面PAC∩平面ABCD=AC，∴AB⊥面PAC．
如图以A为原点，方向分别为x轴正方向，y轴正方向建立空间直角坐标系．
可得，．
设P（x，0，z），（z＞0），依题意有，，
解得．
则，，．
设面PDC的一个法向量为，
由，取x0=1，得．
为面PAC的一个法向量，且，
设二面角A﹣PC﹣D的大小为θ，
则有，即二面角A﹣PC﹣D的余弦值．……12分
21.
解：（I）∵f（x）﹣（2b﹣1）x+b2＜1的解集为（b，b+1），
即x2+（a﹣2b+1）x+b2+b＜0的解集为（b，b+1），
∴方程x2+（a﹣2b+1）x+b2+b=0的解为x1=b，x2=b+1，
∴b+（b+1）=﹣（a﹣2b+1），解得a=﹣2．…………………3分
（II）φ（x）得定义域为（1，+∞）．
由（I）知f（x）=x2﹣2x+b+1，∴g（x）==x﹣1+，
∴φ′（x）=1﹣﹣=，…………………4分
∵函数φ（x）存在极值点，∴φ′（x）=0有解，
∴方程x2﹣（2+k）x+k﹣b+1=0有两个不同的实数根，且在（1，+∞）上至少有一根，
∴△=（2+k）2﹣4（k﹣b+1）=k2+4b＞0．
解方程x2﹣（2+k）x+k﹣b+1=0得x1=，x2=…………………6分
（1）当b＞0时，x1＜1，x2＞1，
∴当x∈（1，）时，φ′（x）＜0，当x∈（，+∞）时，φ′（x）＞0，
∴φ（x）在（1，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，
∴φ（x）极小值点为…………………8分．
（2）当b＜0时，由△=k2+4b＞0得k＜﹣2，或k＞2，
若k＜﹣2，则x1＜1，x2＜1，
∴当x＞1时，φ′（x）＞0，∴φ（x）在（1，+∞）上单调递增，不符合题意；……………9 分
若k＞2，则x1＞1，x2＞1，
∴φ（x）在（1，）上单调递增，在（，）上单调递减，在（，+∞）单调递增，
∴φ（x）的极大值点为，极小值点为．…………………11分
综上，当b＞0时， k取任意实数，函数φ（x）极小值点为；
当b＜0时，k＞2，函数φ（x）极小值点为，极大值点为
．……12分
22.解：（1）∵，a2=b2+c2，可得a=2b，．∴椭圆的标准方程为： +y2=b2，
设P（x，y），（﹣b≤y≤b）．
P到点M（0，2）的距离d===，
当0＜b＜时，y=﹣b时，d取得最大值，∴b+2=，解得b=﹣2，舍去．
当≤b时，y=﹣时，d取得最大值，∴=，解得b=1，满足条件．
∴椭圆E的方程为： +y2=1．…………………4分
（2）（i）设P（m，n），则=1．⊙P的方程为：（x﹣m）2+（y﹣n）2=，
设经过原点O的⊙P的切线方程为：y=kx，不妨设OA的方程为：y=k1x，OB的方程为：y=k2x．
则=，化为：（5m2﹣4）k2﹣10mnk+5n2﹣4=0，
∴k1+k2=，k1k2=，……………………6分
假设存在常数λ，使x1x2+λy1y2=0恒成立，则,
=﹣=﹣=-, 故为常数．……………………8分
(ii)当斜率存在时，设直线的方程为
联立，得
，……………………9分
，…………………10分
由（i）知，x1x2+4y1y2=0，化简可得，
O到的距离为，……………………11分
当斜率不存在时，易得的方程为，， ……………12分
微信/支付宝扫码支付