基础过关
1.《中华人民共和国道路交通安全法》第47条的相关规定:机动车行经人行横道时,应当减速行驶;遇行人正在通过人行横道,应当停车让行.下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员不“礼让斑马线”行为的统计数据:
月份x
1
2
3
4
5
违章驾驶员人数y
120
105
100
90
85
假设每个人最多违章一次.
(1)请利用所给数据求违章驾驶员人数y与月份x之间的线性回归方程=x+;
(2)预测该路口9月份不“礼让斑马线”的违章驾驶员人数;
(3)若从表中3,4月份的违章驾驶员中分别抽取4人和2人,然后再从这6人中任选2人进行交规调查,求抽到的2人恰好在同一月份违章被抓拍的概率.
2.北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程,为了了解学生对冰球运动的兴趣,随机从该校一年级学生中抽取了100人进行调查.调查结果显示,女生中对冰球运动有兴趣的占,男生中有10人对冰球运动没有兴趣.
(1)完成以下2×2列联表,并判断能否有90%的把握认为“对冰球运动是否有兴趣与性别有关”?
有兴趣
没兴趣
总计
男
55
女
总计
(2)若将频率视为概率,再从该校一年级全体学生中采用随机抽样的方法每次抽取1名学生,抽取5次,记被抽取的5名学生中对冰球运动有兴趣的人数为X,若每次抽取的结果是相互独立的,求X的分布列、期望和方差.
附表:
P(k2≥k0)
0.150
0.100
0.050
0.025
0.010
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
K2=,n=a+b+c+d.
3.某厂生产不同规格的一种产品,根据检测标准,其合格产品的质量y(g)与尺寸x(mm)之间近似满足关系式y=axb(a,b为大于0的常数).现随机抽取6件合格产品,测得数据如下:
尺寸x(mm)
38
48
58
68
78
88
质量y(g)
16.8
18.8
20.7
22.4
24.0
25.5
对数据初步处理后,相关统计量的值如下表:
(lnxi·lnyi)
(lnxi)
(lnyi)
(lnxi)2
75.3
24.6
18.3
101.4
(1)根据所给数据,求y关于x的回归方程;
(2)按照某项指标测定,当产品质量与尺寸的比在区间内时为优等品.现从抽取的6件合格产品中再任选3件,记ξ为取到优等品的件数,试求随机变量ξ的分布列和期望.
附:对于一组数据(v1,u1),(v2,u2),…,(vn,un),其回归直线=+v的斜率和截距的最小二乘估计分别为=,=-.
4.某高中政教处为了调查学生对“一带一路”的关注情况,在全校组织了“一带一路知多少”的知识问卷测试,并从中随机抽取了12份问卷,得到其测试成绩(百分制),用茎叶图表示(如图X20-1所示).
(1)写出该样本的众数、中位数,若该校共有3000名学生,试估计该校测试成绩在70分以上的人数;
(2)从所抽取的成绩在70分以上的学生中再随机选取4人,记ξ表示测试成绩在80分以上的人数,求ξ的分布和数学期望.
图X20-1
能力提升
5.某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生,将其数学成绩(均为整数)分成六组:[40,50),[50,60),…,[90,100],并画出如图X20-2所示的部分频率分布直方图.
(1)求第四分组的频率,补全频率分布直方图,并估计该校学生该次考试数学成绩的中位数.
(2)从被抽取的数学成绩为70分以上(包括70分)的学生中选两人,求他们的成绩在同一分组的概率.
(3)从全校参加高一年级期末考试的学生中,任意抽取4名学生,设这4名学生中数学成绩为80分以上(包括80分)的人数为X,以被抽取的学生成绩的频率估计概率,求X的分布列和数学期望.
图X20-2
6.新能源汽车的春天来了!2018年3月5日上午,李克强总理做政府工作报告时表示,将新能源汽车车辆购置税优惠政策再延长三年,自2018年1月1日至2020年12月31日,对购置的新能源汽车免征车辆购置税.某人计划于2019年5月购买一辆某品牌新能源汽车,他从当地该品牌销售网站了解到近五个月实际销量如下表:
月份
2018.12
2019.01
2019.02
2019.03
2019.04
月份编号t
1
2
3
4
5
销量(万辆)
0.5
0.6
1
1.4
1.7
(1)经分析,可用线性回归模型拟合当地该品牌新能源汽车实际销量y(万辆)与月份编号t之间的相关关系.请用最小二乘法求y关于t的线性回归方程=t+,并预测2019年5月份当地该品牌新能源汽车的销量.
(2)某地方财政部门计划根据新能源汽车的最大续航里程(新能源汽车的最大续航里程是指理论上新能源汽车所装的燃料或电池所能够提供给车跑的最远里程)对购车补贴进行新一轮调整.已知某地拟购买新能源汽车的消费群体十分庞大,某调研机构对其中的200名消费者的购车补贴金额的心理预期值进行了一个抽样调查,得到如下一份频数表:
补贴金额预期
值区间(万元)
[1,2)
[2,3)
[3,4)
[4,5)
[5,6)
[6,7]
频数
20
60
60
30
20
10
(i)求这200位拟购买新能源汽车的消费者对补贴金额的心理预期值X的样本方差s2及中位数的估计值(同一区间的预期值可用该区间的中点值代替,估计值精确到0.1);
(ii)将频率视为概率,现用随机抽样的方法从该地区拟购买新能源汽车的所有消费者中随机抽取3人,记被抽取3人中对补贴金额的心理预期值不低于3万元的人数为ξ,求ξ的分布列及数学期望E(ξ).
参考公式及数据:①回归方程=x+,其中=,=-;②tiyi=18.8.
限时集训(二十)
基础过关
1.解:(1)由表中数据知,=×(1+2+3+4+5)=3,
=×(120+105+100+90+85)=100,
∴
=-=100+8.5×3=125.5,
∴所求线性回归方程为=-8.5x+125.5.
(2)由(1)知,令x=9,则=-8.5×9+125.5=49,
∴预测该路口9月份不“礼让斑马线”的违章驾驶员有49人.
(3)设抽取3月份的4位驾驶员编号分别为A,B,C,D,4月份的驾驶员编号分别为e,f.
从这6人中任选2人包含AB,AC,AD,Ae,Af,BC,BD,Be,Bf,CD,Ce,Cf,De,Df,ef,共15个基本事件,
其中抽到的2人恰好来自同一月份的基本事件有7个,∴所求概率P=.
2.解:(1)根据已知数据得到如下2×2列联表:
有兴趣
没有兴趣
总计
男
45
10
55
女
30
15
45
总计
75
25
100
根据列联表中的数据,得到K2的观测值k==≈3.030.
因为3.030>2.706,所以有90%的把握认为“对冰球运动是否有兴趣与性别有关”.
(2)由列联表中的数据可知,对冰球运动有兴趣的学生的频率是,将频率视为概率,则从该校一年级学生中抽取1名学生,该学生对冰球运动有兴趣的概率是.
由题意知X~B,从而X的分布列为
X
0
1
2
3
4
5
P
E(X)=np=5×=,
D(X)=np(1-p)=5××=.
3.解:(1)对y=axb(a,b>0)两边取对数得lny=blnx+lna.
令vi=lnxi,ui=lnyi,得u=bv+lna,
则由所给数据得
故所求回归方程为=e.
(2)由==∈,得49
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