圆
本章中考演练
一、选择题
1．2018·盐城如图2－Y－1，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ADC＝35°，则∠CAB的度数为( )
图2－Y－1
A．35° B．45° C．55° D．65°
2．2018·邵阳如图2－Y－2所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝120°，则∠BOD的度数是( )
图2－Y－2
A．80° B．120° C．100° D．90°
3．2018·衢州如图2－Y－3，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于点E，连接BC，过点O作OF⊥BC于点F，若BD＝8 cm，AE＝2 cm，则OF的长度是( )
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图2－Y－3
A．3 cm B. cm
C．2.5 cm D. cm
4．2018·泰安如图2－Y－4，BM与⊙O相切于点B，若∠MBA＝140°，则∠ACB的度数为( )
图2－Y－4
A．40° B．50° C．60° D．70°
5．2018·自贡如图2－Y－5，若△ABC内接于半径为R的⊙O，且∠A＝60°，连接OB，OC，则BC的长为( )
图2－Y－5
A.R B.R
C.R D.R
6．2018·泸州在平面直角坐标系内，以原点O为圆心，1为半径作圆，点P在直线y＝x＋2 上运动，过点P作该圆的一条切线，切点为A，则PA的最小值为( )
A．3 B．2 C. D.
7．2018·威海如图2－Y－6，在正方形ABCD中，AB＝12，E为BC的中点，以CD为直径作半圆CFD，F为半圆的中点，连接AF，EF，图中阴影部分的面积是( )
图2－Y－6
A．18＋36π B．24＋18π
C．18＋18π D．12＋18π
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二、填空题
8．2018·随州如图2－Y－7，点A，B，C在⊙O上，∠A＝40°，∠C＝20°，则∠B＝________°.
图2－Y－7
9．2018·吉林如图2－Y－8，A，B，C，D是⊙O上的四个点，＝，若∠AOB＝58°，则∠BDC＝________°.
图2－Y－8
10．2018·临沂如图2－Y－9，在△ABC中，∠A＝60°，BC＝5 cm.能够将△ABC完全覆盖的最小圆形纸片的直径是________cm.
图2－Y－9
11．2018·永州如图2－Y－10，在平面直角坐标系中，已知点A(1，1)，以点O为旋转中心，将点A逆时针旋转到点B的位置，则弧AB的长为________．
图2－Y－10
12．2018·玉林如图2－Y－11，正六边形ABCDEF的边长是6＋4 ，O1，O2分别是△ABF，△CDE的内心，则O1O2＝________．
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图2－Y－11
13．2018·泰州如图2－Y－12，△ABC中，∠ACB＝90°，sinA＝，AC＝12，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，P为线段A′B′上的动点，以点P为圆心、PA′长为半径作⊙P，当⊙P与△ABC的边相切时，⊙P的半径为________．
图2－Y－12
三、解答题
14．2018·自贡如图2－Y－13，在△ABC中，∠ACB＝90°.
(1)作出经过点B，圆心O在斜边AB上且与边AC相切于点E的⊙O(要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明)；
(2)设(1)中所作的⊙O与边AB交于异于点B的另外一点D，若⊙O的直径为5，BC＝4，求DE的长(如果用尺规作图画不出图形，可画出草图)．
图2－Y－13
15．2018·遂宁如图2－Y－14，过⊙O外一点P作⊙O的切线PA切⊙O于点A，连接PO并延长，与⊙O交于C，D两点，M是半圆CD的中点，连接AM交CD于点N，连接AC，CM.
(1)求证：CM2＝MN·MA；
(2)若∠P＝30°，PC＝2，求CM的长．
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图2－Y－14
16．2018·天津如图2－Y－15，已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交，∠BAC＝38°.
(1)如图①，若D为弧AB的中点，求∠ABC和∠ABD的度数；
(2)如图②，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线交于点P，若DP∥AC，求∠OCD的度数．
图2－Y－15
17．2018·襄阳如图2－Y－16，AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，E为⊙O上一点，过点E作直线DC分别交AM，BN于点D，C，且CB＝CE.
(1)求证：DA＝DE；
(2)若AB＝6，CD＝4 ，求图中阴影部分的面积．
图2－Y－16
18．2018·荆门如图2－Y－17，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，经过点C的切线交AB的延长线于点E，AD⊥EC交EC的延长线于点D，AD交⊙O于点F，FM⊥AB于点H，分别交⊙O，AC于点M，N，连接MB，BC.
(1)求证：AC平分∠DAE.
(2)若cosM＝，BE＝1.
①求⊙O的半径；
②求FN的长．
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图2－Y－17
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教师详解详析
1．C 2.B
3．D [解析] 连接OB.∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于点E，BD＝8 cm，AE＝2 cm，
∴在Rt△OEB中，OE2＋BE2＝OB2，
即OE2＋42＝(OE＋2)2，解得OE＝3，
∴OB＝3＋2＝5，
∴EC＝5＋3＝8.在Rt△EBC中，BC＝＝＝4 .
∵OF⊥BC，∴∠OFC＝∠CEB＝90°.
∵∠C＝∠C，∴△OFC∽△BEC，∴＝，即＝，解得OF＝.故选D.
4．A [解析] 连接OA，OB.∵BM与⊙O相切，
∴∠OBM＝90°.
∵∠MBA＝140°，∴∠ABO＝50°，
∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO＝50°.
∴∠AOB＝80°，∴∠ACB＝40°.
5．D [解析] 如图所示，延长CO交⊙O于点D，连接BD.
∵∠A＝60°，
∴∠D＝∠A＝60°.
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CBD＝90°.在Rt△BCD中，sinD＝＝＝sin60°，∴BC＝R.故选D.
6．D [解析] 如图所示，由题可知，B(－2，0)，C(0，2 )，P为直线上一点，过点P作⊙O的切线PA，连接AO，则在Rt△PAO中，AO＝1.由勾股定理可得PA＝，要想使PA最小，要求PO最小，所以过点O作OP⊥BC于点P，此时PO＝，∴PA＝.
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7．C [解析] 取CD的中点M，连接AM，EM，DF，CF，MF.S半圆CFD＝πr2＝π×62＝18π，S△CDF＝×12×6＝36.∵F是半圆的中点，M是CD的中点，∴MF⊥CD，∴AD∥MF，∴△ADF，△ADM的底相同，高相等，∴S△ADF＝S△ADM＝×12×6＝36.同理，S△CEF＝×6×6＝18，∴S阴影部分＝S△ADF＋S△CEF＋S半圆CFD－S△CDF＝18＋18π.
8．60 [解析] 如图，连接OA.∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠C＝20°，∴∠OAB＝60°.∵OA＝OB，∴∠B＝∠OAB＝60°.故答案为60.
9．29
10. [解析] 如图所示能够将△ABC完全覆盖的最小圆形纸片是△ABC外接圆⊙O，连接OB，OC，则∠BOC＝2∠BAC＝120°，过点O作OD⊥BC于点D，
∴∠BOD＝∠BOC＝60°.
由垂径定理得BD＝BC＝ cm，
∴OB＝＝＝，
∴能够将△ABC完全覆盖的最小圆形纸片的直径是 cm.
11.π [解析] 由点A(1，1)，可得OA＝＝，点A在第一象限的角平分线上，那么∠AOB＝45°，再根据弧长公式计算，得弧AB的长为π＝π.
12．12＋4 [解析] 如图，因为正六边形的边长为6＋4 ，所以MN＝6＋4 ，O1M＝O2N.点O1是△ABF的内心，所以设内切圆半径为r，r＝O1M，AB＝AF＝6＋4 ，∠BAF＝120°，所以BF＝12＋6 ，AM＝3＋2 ，用等面积法求r，即·BF·AM＝·(AF＋AB＋BF)·r，解得r＝3，所以O1O2＝O1M＋MN＋O2N＝12＋4 .
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13.或 [解析] 设⊙P的半径为r.
∵∠ACB＝90°，∴＝sinA＝.∵BC2＋AC2＝AB2，AC＝12，∴BC＝5，AB＝13.由旋转得∠A′CB′＝∠ACB＝90°，∠A′＝∠A，A′C＝AC＝12，B′C＝BC＝5，A′B′＝AB＝13，∴∠A′CB＝180°，即A′，C，B′三点共线．∵点P到直线BC的距离小于半径PA′，∴⊙P与直线BC始终相交，过点P作PD⊥AC于点D，则∠B′DP＝∠B′CA′＝90°.∵∠DB′P＝∠CB′A′，∴△B′DP∽△B′CA′，∴＝，
即＝，∴PD＝＝12－r，当⊙P与AC边相切时，PD＝PA′，即12－r＝r，解得r＝.延长A′B′交AB于点E.∵∠A＋∠B＝90°，∠A′＝∠A，∴∠A′＋∠B＝90°，∴∠A′EB＝∠ACB＝90°，∴△A′EB∽△ACB∴＝，得A′E＝A′B＝，当⊙P与AB边相切时，A′E＝2PA′，∴r＝.
综上所述，⊙P的半径为或.
14．解：(1)如图，作∠B的平分线交AC于点E，作线段BE的垂直平分线交AB于点O.以点O为圆心，OB为半径作⊙O，⊙O即为所求．
(2)∵BD是⊙O的直径，∴∠BED＝90°.∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠EBD.在△BCE与△BED中，∠CBE＝∠EBD，∠BCE＝∠BED，∴△BCE∽△BED，∴＝，即＝，解得BE＝2 .在Rt△BED中，DE＝＝＝.
15．解：(1)证明：∵在⊙O中，M是半圆CD的中点，∴∠CAM＝∠DCM.又∵∠M是公共角，
∴△CMN∽△AMC，
∴＝，∴CM2＝MN·MA.
(2)如图，连接OA，DM.∵PA是⊙O的切线，
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∴∠PAO＝90°.
又∵∠P＝30°，∴OA＝PO＝(PC＋CO)．设⊙O的半径为r.
∵PC＝2，∴r＝(2＋r)，解得r＝2.
又∵CD是⊙O的直径，∴∠CMD＝90°.∵M是半圆CD的中点，∴CM＝DM，∴△CMD是等腰直角三角形．在Rt△CMD中，由勾股定理得CM2＋DM2＝CD2，即2CM2＝(2r)2＝16，
∴CM2＝8，∴CM＝2 .
16．解：(1)∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∴∠BAC＋∠ABC＝90°.又∵∠BAC＝38°，∴∠ABC＝90°－38°＝52°.由D为弧AB的中点，得＝，∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝45°，∴∠ABD＝∠ACD＝45°.
(2)如图，连接OD.∵DP切⊙O于点D，∴OD⊥DP，即∠ODP＝90°.由DP∥AC，得∠P＝∠BAC＝38°，∴∠AOD＝∠ODP＋∠P＝128°，∴∠ACD＝∠AOD＝64°.又∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠A＝38°，∴∠OCD＝∠ACD－∠ACO＝64°－38°＝26°.
17．解：(1)证明：连接OE，OC.
∵BN切⊙O于点B，∴∠OBN＝90°.
∵OE＝OB，OC＝OC，CE＝CB，
∴△OEC≌△OBC，
∴∠OEC＝∠OBC＝90°.又∵点E在⊙O上，
∴CD是⊙O的切线．
∵AD切⊙O于点A，∴DA＝DE.
(2)过点D作DF⊥BC于点F，则四边形ABFD是矩形，
∴AD＝BF，DF＝AB＝6.
∴DC＝BC＋AD＝4 .
∵FC＝＝2 ，
∴BC－AD＝2 ，∴BC＝3 .
在Rt△OBC中，tan∠BOC＝＝，
∴∠BOC＝60°.∵△OEC≌△OBC，
∴∠BOE＝2∠BOC＝120°.
∴S阴影部分＝S四边形BCEO－S扇形OBE＝2××BC×OB－×π×OB2＝9 －3π.
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18．解：(1)证明：如图所示，连接OC.
∵直线DE与⊙O相切于点C，∴OC⊥DE.
又∵AD⊥DE，∴OC∥AD，∴∠1＝∠3.
∵OA＝OC，∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠2，∴AC平分∠DAE.
(2)①∵＝，∴∠DAE＝∠M.
又∵OC∥AD，∴∠COE＝∠DAE＝∠M.
∵OC⊥DE，∴∠OCE＝90°.设⊙O的半径为r，则cosM＝cos∠COE＝＝＝＝，解得r＝4.
②连接BF.∵AB为⊙O的直径，
∴∠AFB＝90°，
∴AF＝AB·cos∠DAE＝8×＝.
在Rt△OCE中，OE＝r＋BE＝4＋1＝5，OC＝4，∴CE＝＝＝3.
∵AB为⊙O的直径，∴∠2＋∠OBC＝90°.
∵∠OCE＝90°，∴∠OCB＋∠BCE＝90°.
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，∴∠BCE＝∠2＝∠1.
∵AB⊥FM，∴＝，∴∠5＝∠4.
∵∠AFB＝∠D＝90°，∴FB∥DE，
∴∠5＝∠E＝∠4，∴△AFN∽△CEB，
∴＝，∴FN＝＝＝.
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