赣州市大余县2015-2016八年级上册数学期末试题(附解析)
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资料简介
‎2015-2016学年江西省赣州市大余县八年级(上)期末数学试卷 ‎ ‎ 一、填空题 ‎1.如图,△ABC≌△DEF,EB=8,AE=2,则DE=  .‎ ‎2.分式无意义的条件是x=  .‎ ‎3.化简:÷=  .‎ ‎4.若方程无解,则m=  .‎ ‎5.已知a+b=2,则a2﹣b2+4b的值为  .‎ ‎6.已知:如图,∠ACB=∠DBC,要使△ABC≌△DCB,只需增加的一个条件是  (只需填写一个你认为适合的条件).‎ ‎7.如图,△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB的垂直平分线交AC于D,交AB于E,CD=2,则AC=  .‎ ‎8.如图,∠1=∠2=30°,∠3=∠4,∠A=80°,则x=  度,y=  度.‎ ‎ ‎ 二、选择题 ‎9.下列长度的三条线段能组成三角形的是(  )‎ A.3,4,8 B.5,6,‎11 ‎C.1,2,3 D.5,6,10‎ ‎10.下列计算正确的是(  )‎ A.(x3)3=x6 B.a6•a4=a24‎ C.(﹣mn)4÷(﹣mn)2=m2n2 D.‎3a+‎2a=‎5a2‎ ‎11.在如图的网格中,在网格上找到点C,使△ABC为等腰三角形,这样的点有几个(  )‎ A.8 B.‎9 ‎C.10 D.11‎ ‎12.计算(18x4﹣48x3+6x)÷6x的结果为(  )‎ A.3x3﹣13x2 B.3x3﹣8x‎2 ‎C.3x3﹣8x2+6x D.3x3﹣8x2+1‎ ‎13.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=20°,若将△ABC沿CD折叠,使点B落在AC边上的点E处,则∠CED的度数是(  )‎ A.30° B.40° C.50° D.70°‎ ‎14.如图所示,l是四边形ABCD的对称轴,AD∥BC,现给出下列结论:‎ ‎①AB∥CD;②AB=BC;③AB⊥BC;④AO=OC.其中正确的结论有(  )‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ‎ ‎ 三、计算与作图题(本大题共4小题,每小题6分,共24分)‎ ‎15.分解因式:3x2y+12xy2+12y3.‎ ‎16.先化简,再求值:,其中m=9.‎ ‎17.解方程: =﹣1.‎ ‎18.请在下列三个2×2的方格中,各画出一个三角形,要求所画三角形是图中三角形经过轴对称变换后得到的图形,且所画的三角形顶点与方格中的小正方形顶点重合,并将所画三角形涂上阴影.(注:所画的三个图形不能重复)‎ ‎ ‎ 四、(本大题共3小题,每小题8分,共24分)‎ ‎19.如图所示,点B、F、C、E在同一条直线上,AB∥DF,AC∥DE,AC=DE,FC与BE相等吗?请说明理由.‎ ‎20.如图,△ABC是等边三角形,D是AB边上的一点,以CD为边作等边三角形CDE,使点E,A在直线DC的同侧,连接AE.‎ ‎(1)求证:△ACE≌△BCD;‎ ‎(2)线段AE与BC有什么位置关系?请说明理由.‎ ‎21.千年古镇赵化开发的鑫城小区的内坝是一块长为(‎3a+b)米,宽为(‎2a+b)米的长方形地,物业部门计划将内坝进行绿化(如图阴影部分),中间部分将修建一仿古小景点(如图中间的正方形),则绿化的面积是多少平方米?并求出当a=3,b=2时的绿化面积.‎ ‎ ‎ 五、(本大题共2小题,每小题9分,共18分)‎ ‎22.在△ABC中,∠BAC=90°,∠B=45°,D为BC上一点,BD=AB,DE⊥BC,交AC于点E.‎ ‎(1)求证:△ADE是等腰三角形;‎ ‎(2)图中除△ADE是等腰三角形外,还有没有等腰三角形?若有,请一一写出来(不要求证明);若没有,请说明理由.‎ ‎23.为庆祝2015年元旦的到来,学校决定举行“庆元旦迎新年”文艺演出,根据演出需要,用700元购进甲、乙两种花束共260朵,其中甲种花束比乙种花束少用100元,已知甲种花束单价比乙种花束单价高20%,乙种花束的单价是多少元?甲、乙两种花束各购买了多少朵?‎ ‎ ‎ 六、(本大题共1小题,共12分)‎ ‎24.小敏与同桌小颖在课下学习中遇到这样一道数学题:“如图(1),在等边三角形ABC 中,点E在AB上,点D在CB的延长线上,且ED=EC,试确定线段AE与DB的大小关系,并说明理由”.小敏与小颖讨论后,进行了如下解答:‎ ‎(1)取特殊情况,探索讨论:当点E为AB的中点时,如图(2),确定线段AE与DB的大小关系,请你写出结论:AE  DB(填“>”,“<”或“=”),并说明理由.‎ ‎(2)特例启发,解答题目:‎ 解:题目中,AE与DB的大小关系是:AE=DB(填“>”,“<”或“=”).理由如下:如图(3),过点E作EF∥BC,交AC于点F.(请你将剩余的解答过程完成)‎ ‎(3)拓展结论,设计新题:在等边三角形ABC中,点E在直线AB上,点D在直线BC上,且ED=EC,若△ABC的边长为1,AE=2,求CD的长(请你画出图形,并直接写出结果).‎ ‎ ‎ ‎2015-2016学年江西省赣州市大余县八年级(上)期末数学试卷 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、填空题 ‎1.如图,△ABC≌△DEF,EB=8,AE=2,则DE= 10 .‎ ‎【考点】全等三角形的性质.‎ ‎【分析】结合图形和已知条件求出AB的长度,再根据全等三角形对应边相等得DE=AB.‎ ‎【解答】解:∵EB=8,AE=2,‎ ‎∴AB=EB+AE=8+2=10,‎ ‎∵△ABC≌△DEF,‎ ‎∴DE=AB=10.‎ ‎【点评】本题主要考查全等三角形对应边相等的性质,熟练掌握性质并灵活运用是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎2.分式无意义的条件是x= ﹣3 .‎ ‎【考点】分式有意义的条件.‎ ‎【分析】根据分式无意义的条件进行填空即可.‎ ‎【解答】解:∵分式无意义,‎ ‎∴x+3=0,‎ ‎∴x=﹣3,‎ 故答案为﹣3.‎ ‎【点评】本题考查了分式无意义的条件,分母为0分式无意义.‎ ‎ ‎ ‎3.化简:÷=  .‎ ‎【考点】分式的乘除法.‎ ‎【专题】计算题;分式.‎ ‎【分析】原式利用除法法则变形,约分即可得到结果.‎ ‎【解答】解:原式=•=,‎ 故答案为:‎ ‎【点评】此题考查了分式的乘除法,熟练掌握运算法则是解本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎4.若方程无解,则m= 1 .‎ ‎【考点】分式方程的解.‎ ‎【专题】计算题.‎ ‎【分析】分式方程无解的条件是:去分母后所得整式方程无解,或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0.‎ ‎【解答】解:方程去分母得:(x﹣3)(2﹣x)=m(x﹣2)‎ 解得:x=3﹣m,‎ ‎∴当x=2时分母为0,方程无解,‎ 即3﹣m=2,‎ ‎∴m=1时方程无解.‎ 故答案为:1.‎ ‎【点评】本题考查了分式方程无解的条件,是需要识记的内容.‎ ‎ ‎ ‎5.已知a+b=2,则a2﹣b2+4b的值为 4 .‎ ‎【考点】因式分解的应用.‎ ‎【分析】把所给式子整理为含(a+b)的式子的形式,再代入求值即可.‎ ‎【解答】解:∵a+b=2,‎ ‎∴a2﹣b2+4b,‎ ‎=(a+b)(a﹣b)+4b,‎ ‎=2(a﹣b)+4b,‎ ‎=‎2a+2b,‎ ‎=2(a+b),‎ ‎=2×2,‎ ‎=4.‎ 故答案为:4.‎ ‎【点评】本题考查了利用平方差公式分解因式,利用平方差公式和提公因式法整理出a+b的形式是求解本题的关键,同时还隐含了整体代入的数学思想.‎ ‎ ‎ ‎6.已知:如图,∠ACB=∠DBC,要使△ABC≌△DCB,只需增加的一个条件是 ∠A=∠D或∠ABC=∠DCB或BD=AC (只需填写一个你认为适合的条件).‎ ‎【考点】全等三角形的判定.‎ ‎【专题】开放型.‎ ‎【分析】已知一条公共边和一个角,有角边角或角角边定理,再补充一组对边相等或一组对角相等即可.‎ ‎【解答】解:添加∠A=∠D,∠ABC=∠DCB,BD=AC后可分别根据AAS、SAS、SAS判定△ABC≌△ADC.‎ 故填∠A=∠D或∠ABC=∠DCB或BD=AC.‎ ‎【点评】本题考查三角形全等的判定方法;判定两个三角形全等的一般方法有:SSS、SAS、ASA、AAS、HL.添加时注意:AAA、SSA不能判定两个三角形全等,不能添加,根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎7.如图,△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB的垂直平分线交AC于D,交AB于E,CD=2,则AC= 6 .‎ ‎【考点】线段垂直平分线的性质;含30度角的直角三角形.‎ ‎【分析】先作辅助线,然后利用垂直平分线的性质求出AD=BD,最后解直角三角形计算.‎ ‎【解答】解:连接BD ‎∵DE垂直平分AB ‎∴AD=BD ‎∴∠DBA=∠A=30°‎ ‎∴∠CBD=30°‎ ‎∴BD=2CD=4‎ ‎∴AC=CD+AD=CD+BD=2+4=6.‎ 答案6.‎ ‎【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质和直角三角形的性质.‎ ‎ ‎ ‎8.如图,∠1=∠2=30°,∠3=∠4,∠A=80°,则x= 110 度,y= 130 度.‎ ‎【考点】三角形的外角性质;三角形内角和定理.‎ ‎【分析】由三角形中一个外角等于与它不相邻的两个内角和知,∠x=∠A+∠1=80°+30°=110°,∠4= [180°﹣∠A﹣(∠1+∠2)]=20°,∴∠y=∠x+∠4=110°+20°=130°.‎ ‎【解答】解:∵∠x=∠A+∠1=80°+30°=110°,∠4= [180°﹣∠A﹣(∠1+∠2)]=20°,‎ ‎∴∠y=∠x+∠4=110°+20°=130°.‎ ‎【点评】本题利用了:①三角形中一个外角等于与它不相邻的两个内角和;②三角形内角和为180度.‎ ‎ ‎ 二、选择题 ‎9.下列长度的三条线段能组成三角形的是(  )‎ A.3,4,8 B.5,6,‎11 ‎C.1,2,3 D.5,6,10‎ ‎【考点】三角形三边关系.‎ ‎【分析】根据三角形的三边关系进行分析判断.‎ ‎【解答】解:根据三角形任意两边的和大于第三边,得 A中,3+4=7<8,不能组成三角形;‎ B中,5+6=11,不能组成三角形;‎ C中,1+2=3,不能够组成三角形;‎ D中,5+6=11>10,能组成三角形.‎ 故选D.‎ ‎【点评】本题考查了能够组成三角形三边的条件:用两条较短的线段相加,如果大于最长的那条线段就能够组成三角形.‎ ‎ ‎ ‎10.下列计算正确的是(  )‎ A.(x3)3=x6 B.a6•a4=a24‎ C.(﹣mn)4÷(﹣mn)2=m2n2 D.‎3a+‎2a=‎5a2‎ ‎【考点】同底数幂的除法;合并同类项;同底数幂的乘法;幂的乘方与积的乘方.‎ ‎【分析】根据幂的乘方,底数不变指数相乘;同底数幂相乘,底数不变指数相加;单项式的除法,合并同类项法则对各选项分析判断利用排除法求解.‎ ‎【解答】解:A、(x3)3=x3×3=x9,故本选项错误;‎ B、a6•a4=a6+4=a10,故本选项错误;‎ C、(﹣mn)4÷(﹣mn)2=m2n2,故本选项正确;‎ D、‎3a+‎2a=‎5a,故本选项错误.‎ 故选C.‎ ‎【点评】本题考查了同底数幂的除法,同底数幂的乘法,幂的乘方的性质,合并同类项法则,熟记各性质并理清指数的变化情况是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎11.在如图的网格中,在网格上找到点C,使△ABC为等腰三角形,这样的点有几个(  )‎ A.8 B.‎9 ‎C.10 D.11‎ ‎【考点】等腰三角形的判定.‎ ‎【专题】网格型.‎ ‎【分析】首先由勾股定理可求得AB的长,然后分别从BA=BC,AB=AC,CA=CB去分析求解即可求得答案.‎ ‎【解答】解:如图,‎ ‎∵AB==2,‎ ‎∴①若BA=BC,则符合要求的有:C1,C2共2个点;‎ ‎②若AB=AC,则符合要求的有:C3,C4共2个点;‎ ‎③若CA=CB,则符合要求的有:C5,C6,C7,C8,C9,C10共6个点.‎ ‎∴这样的C点有10个.‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题考查了等腰三角形的判定以及勾股定理,解题关键是分类的数学思想.‎ ‎ ‎ ‎12.计算(18x4﹣48x3+6x)÷6x的结果为(  )‎ A.3x3﹣13x2 B.3x3﹣8x‎2 ‎C.3x3﹣8x2+6x D.3x3﹣8x2+1‎ ‎【考点】整式的除法.‎ ‎【分析】多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项分别除以单项式,再把所得的商相加.‎ ‎【解答】解:(18x4﹣48x3+6x)÷6x=3x3﹣8x2+1.‎ 故选:D.‎ ‎【点评】考查了整式的除法,多项式除以单项式实质就是转化为单项式除以单项式.多项式除以单项式的结果仍是一个多项式.‎ ‎ ‎ ‎13.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=20°,若将△ABC沿CD折叠,使点B落在AC边上的点E处,则∠CED的度数是(  )‎ A.30° B.40° C.50° D.70°‎ ‎【考点】翻折变换(折叠问题);三角形内角和定理.‎ ‎【分析】首先根据△CDE是△CBD沿CD折叠,可得∠B=∠CED,于是得到结论.‎ ‎【解答】解:∵在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=20°,‎ ‎∴∠B=90°﹣20°=70°,‎ ‎∵△CDE是△CBD沿CD折叠,‎ ‎∴∠B=∠CED,‎ ‎∴∠CED=70°,‎ 故选D.‎ ‎【点评】本题主要考查了翻折变换的知识,解答本题的关键是根据翻折变换的性质得到∠B=∠CED,此题难度不大.‎ ‎ ‎ ‎14.如图所示,l是四边形ABCD的对称轴,AD∥BC,现给出下列结论:‎ ‎①AB∥CD;②AB=BC;③AB⊥BC;④AO=OC.其中正确的结论有(  )‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ‎【考点】轴对称的性质.‎ ‎【分析】根据轴对称图形的性质,四边形ABCD沿直线l对折能够完全重合,再根据两直线平行,内错角相等可得∠CAD=∠ACB=∠BAC=∠ACD,然后根据内错角相等,两直线平行即可判定AB∥CD,根据等角对等边可得AB=BC,然后判定出四边形ABCD是菱形,根据菱形的对角线互相垂直平分即可判定AO=OC;只有四边形ABCD是正方形时,AB⊥BC才成立.‎ ‎【解答】解:∵l是四边形ABCD的对称轴,‎ ‎∴∠CAD=∠BAC,∠ACD=∠ACB,‎ ‎∵AD∥BC,‎ ‎∴∠CAD=∠ACB,‎ ‎∴∠CAD=∠ACB=∠BAC=∠ACD,‎ ‎∴AB∥CD,AB=BC,故①②正确;‎ 又∵l是四边形ABCD的对称轴,‎ ‎∴AB=AD,BC=CD,‎ ‎∴AB=BC=CD=AD,‎ ‎∴四边形ABCD是菱形,‎ ‎∴AO=OC,故④正确,‎ ‎∵菱形ABCD不一定是正方形,‎ ‎∴AB⊥BC不成立,故③错误,‎ 综上所述,正确的结论有①②④共3个.‎ 故选C.‎ ‎【点评】本题考查了轴对称的性质,平行线的性质,等角对等边的性质,熟记对称轴两边的部分能够完全重合是解题的关键.‎ ‎ ‎ 三、计算与作图题(本大题共4小题,每小题6分,共24分)‎ ‎15.分解因式:3x2y+12xy2+12y3.‎ ‎【考点】提公因式法与公式法的综合运用.‎ ‎【分析】原式提取公因式,再利用完全平方公式分解即可.‎ ‎【解答】解:原式=3y(x2+4xy+4y2)‎ ‎=3y(x+2y)2.‎ ‎【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用,熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎16.先化简,再求值:,其中m=9.‎ ‎【考点】分式的化简求值.‎ ‎【专题】计算题.‎ ‎【分析】原式被除数括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算,除数分母利用完全平方公式分解因式后,再利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算,约分得到最简结果,将m的值代入计算即可求出值.‎ ‎【解答】解:原式=•=,‎ 当m=9时,原式==.‎ ‎【点评】此题考查了分式的化简求值,分式的加减运算关键是通分,通分的关键是找最简公分母;分式的乘除运算关键是约分,约分的关键是找公因式.‎ ‎ ‎ ‎17.解方程: =﹣1.‎ ‎【考点】解分式方程.‎ ‎【专题】计算题.‎ ‎【分析】分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x的值,经检验即可得到分式方程的解.‎ ‎【解答】解:去分母得:15x﹣12=4x+10﹣3x+6,‎ 移项合并得:14x=28,‎ 解得:x=2,‎ 经检验x=2是增根,分式方程无解.‎ ‎【点评】此题考查了解分式方程,解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为整式方程求解.解分式方程一定注意要验根.‎ ‎ ‎ ‎18.请在下列三个2×2的方格中,各画出一个三角形,要求所画三角形是图中三角形经过轴对称变换后得到的图形,且所画的三角形顶点与方格中的小正方形顶点重合,并将所画三角形涂上阴影.(注:所画的三个图形不能重复)‎ ‎【考点】利用轴对称设计图案.‎ ‎【专题】作图题.‎ ‎【分析】可分别选择不同的直线当对称轴,得到相关图形即可.‎ ‎【解答】解:‎ ‎【点评】考查利用轴对称设计图案;选择不同的直线当对称轴是解决本题的突破点.‎ ‎ ‎ 四、(本大题共3小题,每小题8分,共24分)‎ ‎19.如图所示,点B、F、C、E在同一条直线上,AB∥DF,AC∥DE,AC=DE,FC与BE相等吗?请说明理由.‎ ‎【考点】全等三角形的判定与性质.‎ ‎【专题】证明题.‎ ‎【分析】可先求解△ABC≌△DEF,进而可得线段BC=EF,又EC为公共边长,所以可得FC=BE.‎ ‎【解答】解:相等;理由如下:‎ ‎∵AB∥DF,AC∥DE,‎ ‎∴∠B=∠F,∠ACB=∠FED,‎ 又AC=DE,‎ ‎∴△ABC≌△DEF,‎ ‎∴BC=EF,‎ ‎∴BC﹣EC=EF﹣EC,‎ 即BE=CF.‎ ‎【点评】本题考查了三角形全等的判定及性质;熟练掌握全等三角形的判定及性质,本题比较简单.‎ ‎ ‎ ‎20.如图,△ABC是等边三角形,D是AB边上的一点,以CD为边作等边三角形CDE,使点E,A在直线DC的同侧,连接AE.‎ ‎(1)求证:△ACE≌△BCD;‎ ‎(2)线段AE与BC有什么位置关系?请说明理由.‎ ‎【考点】全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质.‎ ‎【分析】(1)根据等边三角形性质推出BC=AC,CD=CE,∠BCA=∠ECD=60°,求出∠BCD=∠ACE,根据SAS证△ACE≌△BCD;‎ ‎(2)△ACE≌△BCD,推出∠EAC=∠DBC=∠ACB,根据平行线的判定推出即可.‎ ‎【解答】(1)解:理由:‎ ‎∵△ABC和△DEC是等边三角形,‎ ‎∴BC=AC,CD=CE,∠ABC=∠BCA=∠ECD=60°. ‎ ‎∴∠BCA﹣∠DCA=∠ECD﹣∠DCA,即∠BCD=∠ACE. ‎ 在△ACE和△BCD中,,‎ ‎∴△ACE≌△BCD;‎ ‎(2)∵△ACE≌△BCD.‎ ‎∴∠EAC=∠B=60° ‎ ‎∴∠EAC=∠ACB ‎ ‎∴AE∥BC ‎【点评】本题考查了等边三角形性质,全等三角形的判定和性质,平行线的判定,关键是求出△ACE≌△BCD,主要考查学生的推理能力.‎ ‎ ‎ ‎21.千年古镇赵化开发的鑫城小区的内坝是一块长为(‎3a+b)米,宽为(‎2a+b)米的长方形地,物业部门计划将内坝进行绿化(如图阴影部分),中间部分将修建一仿古小景点(如图中间的正方形),则绿化的面积是多少平方米?并求出当a=3,b=2时的绿化面积.‎ ‎【考点】多项式乘多项式.‎ ‎【分析】根据矩形的面积公式,可得内坝、景点的面积,根据面积的和差,可得答案.‎ ‎【解答】解:由题意,得 ‎(‎3a+b)(‎2a+b)﹣(a+b)2=‎6a2+5ab+b2﹣a2﹣2ab﹣b2=‎5a2+3ab,‎ 当a=3,b=2时,‎5a2+3ab=5×32+3×3×2=63,‎ 答:绿化的面积是‎5a2+3ab平方米,‎ 当a=3,b=2时的绿化面积是‎63m2‎.‎ ‎【点评】本题考查了多项式成多项式,利用了多项式乘多项式法则.‎ ‎ ‎ 五、(本大题共2小题,每小题9分,共18分)‎ ‎22.在△ABC中,∠BAC=90°,∠B=45°,D为BC上一点,BD=AB,DE⊥BC,交AC于点E.‎ ‎(1)求证:△ADE是等腰三角形;‎ ‎(2)图中除△ADE是等腰三角形外,还有没有等腰三角形?若有,请一一写出来(不要求证明);若没有,请说明理由.‎ ‎【考点】等腰三角形的判定与性质.‎ ‎【专题】常规题型.‎ ‎【分析】(1)由BD=AB,得∠BAD=∠BDA,又因为∠BAC=90°,DE⊥BC,根据等角的余角相等,得∠EAD=∠ADE,从而问题得证;(2)由∠BAC=90°,DE⊥BC,∠B=45°,可得等腰三角形ABC、DEC,由 BD=AB,可得等腰三角形ABD.‎ ‎【解答】解:(1)证明:∵BD=AB,‎ ‎∴∠BAD=∠BDA ‎ ‎∵DE⊥BC,‎ ‎∴∠BDE=90° ‎ 又∠BAC=90°,‎ ‎∴∠EAD=∠EDA. ‎ ‎∴AE=DE,‎ 即△ADE是等腰三角形. ‎ ‎(2)还有三个等腰三角形,△ABD、△ABC、△CDE.‎ ‎【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定及互余的性质.判断等腰三角形的办法:(1)根据定义,有两条边相等的三角形是等腰三角形;(2)根据性质,等角对等边.‎ ‎ ‎ ‎23.为庆祝2015年元旦的到来,学校决定举行“庆元旦迎新年”文艺演出,根据演出需要,用700元购进甲、乙两种花束共260朵,其中甲种花束比乙种花束少用100元,已知甲种花束单价比乙种花束单价高20%,乙种花束的单价是多少元?甲、乙两种花束各购买了多少朵?‎ ‎【考点】分式方程的应用.‎ ‎【分析】设乙种花束的单价是x元,则甲种花束的单价为(1+20%)x元,根据用700元购进甲、乙两种花束共260朵,列方程求解.‎ ‎【解答】解:设乙种花束的单价是x元,则甲种花束的单价为(1+20%)x元,‎ 由题意得, +=260,‎ 解得:x=2.5,‎ 经检验:x=2.5是原分式方程的解,‎ 则(1+20%)x=3,‎ 则买甲花束为: =100个,乙种花束为: =160个.‎ 答:乙种花束的单价是2.5元,甲、乙两种花束各购买100个、160个.‎ ‎【点评】本题考查了分式方程的应用,解答本题的关键是读懂题意,设出未知数,找出合适的等量关系,列方程求解,注意检验.‎ ‎ ‎ 六、(本大题共1小题,共12分)‎ ‎24.小敏与同桌小颖在课下学习中遇到这样一道数学题:“如图(1),在等边三角形ABC中,点E在AB上,点D在CB的延长线上,且ED=EC,试确定线段AE与DB的大小关系,并说明理由”.小敏与小颖讨论后,进行了如下解答:‎ ‎(1)取特殊情况,探索讨论:当点E为AB的中点时,如图(2),确定线段AE与DB的大小关系,请你写出结论:AE = DB(填“>”,“<”或“=”),并说明理由.‎ ‎(2)特例启发,解答题目:‎ 解:题目中,AE与DB的大小关系是:AE=DB(填“>”,“<”或“=”).理由如下:如图(3),过点E作EF∥BC,交AC于点F.(请你将剩余的解答过程完成)‎ ‎(3)拓展结论,设计新题:在等边三角形ABC中,点E在直线AB上,点D在直线BC上,且ED=EC,若△ABC的边长为1,AE=2,求CD的长(请你画出图形,并直接写出结果).‎ ‎【考点】三角形综合题.‎ ‎【分析】(1)当E为中点时,过E作EF∥BC交AC于点F,则可证明△BDE≌△FEC,可得到AE=DB;‎ ‎(2)类似(1)过E作EF∥BC交AC于点F,可利用AAS证明△BDE≌△FEC,可得BD=EF,再证明△AEF是等边三角形,可得到AE=EF,可得AE=DB;‎ ‎(3)分两种情况:点E在AB上和在BA的延长线上,类似(2)证得全等,再利用平行得到.‎ ‎【解答】解:(1)AE=DB,理由如下:‎ ‎∵ED=EC,‎ ‎∴∠EDC=∠ECD ‎ ‎∵△ABC是等边三角形,‎ ‎∴∠ACB=∠ABC=60°,‎ ‎∵点E为AB的中点,‎ ‎∴∠ECD=∠ACB=30°,‎ ‎∴∠EDC=30°,‎ ‎∴∠D=∠DEB=30°,‎ ‎∴DB=BE,‎ ‎∵AE=BE,‎ ‎∴AE=DB;‎ 故答案为:=;‎ ‎(2)如图3,∵△ABC为等边三角形,且EF∥BC,‎ ‎∴∠AEF=∠ABC=60°,∠AFE=∠ACB=60°,∠FEC=∠ECB;‎ ‎∴∠EFC=∠DBE=120°; ‎ ‎∵ED=EC,‎ ‎∴∠D=∠ECB,∠D=∠FEC,‎ 在△EFC与△DBE中,,‎ ‎∴△EFC≌△DBE(AAS),‎ ‎∴EF=DB;‎ ‎∵∠AEF=∠AFE=60°,‎ ‎∴△AEF为等边三角形,‎ ‎∴AE=EF,‎ ‎∴AE=BD. ‎ ‎(3)①如图4,当点E在AB的延长线上时,‎ 过点E作EF∥BC,交AC的延长线于点F;‎ 则∠DCE=∠CEF,∠DBE=∠AEF;‎ ‎∠ABC=∠AEF,∠ACB=∠AFE;‎ ‎∵△ACB为等边三角形,‎ ‎∴∠ABC=∠ACB=60°,‎ ‎∴∠AEF=∠AFE=60°,∠DBE=∠ABC=60°,‎ ‎∴∠DBE=∠EFC;而ED=EC,‎ ‎∴∠D=∠DCE,∠D=∠CEF;‎ 在△FEC和△BDE中,,‎ ‎∴△EFC≌△DBE(AAS),‎ ‎∴EF=BD;‎ ‎∵△AEF为等边三角形,‎ ‎∴AE=EF=2,BD=EF=2,‎ ‎∴CD=1+2=3; ‎ ‎②如图5,当点E在BA的延长线上时,过点E作EF∥BC,交CA的延长线于点F;‎ 类似上述解法,同理可证:DB=EF=2,BC=1,‎ ‎∴CD=2﹣1=1.‎ ‎【点评】本题是三角形综合题目,考查了全等三角形的判定和性质及等边三角形的性质和判定等知识;证明三角形全等是解决问题的关键.‎ ‎ ‎

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