云南省大理州2017届高考数学一模试卷（理科） Word版含解析.doc

www.ks5u.com ‎2017年云南省大理州高考数学一模试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.‎ ‎1．设集合A={x∈Z|x2≤4}，B={x|x＞﹣1}，则A∩B=（　　）‎ A．{0，1} B．{﹣1，0} C．{﹣1，0，1} D．{0，1，2}‎ ‎2．在复平面内，复数的对应点位于（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3．在等差数列{an}中，若a3+a4+a5+a6+a7=45，那么a5等于（　　）‎ A．4 B．5 C．9 D．18‎ ‎4．2016年1月某校高三年级1600名学生参加了教育局组织的期末统考，已知数学考试成绩X～N（试卷满分为150分）．统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为（　　）‎ A．80 B．100 C．120 D．200‎ ‎5．已知向量与的夹角为30°，且||=，||=2，则|﹣|等于（　　）‎ A．1 B． C．13 D．‎ ‎6．函数f（x）=3sin（x+）在x=θ时取得最大值，则tanθ等于（　　）‎ A．﹣ B． C．﹣ D．‎ ‎7．如图程序框图的算法思路源于欧几里得名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图，若输入m，n分别为225、135，则输出的m=（　　）‎ A．5 B．9 C．45 D．90‎ ‎8．已知三个函数f（x）=2x+x，g（x）=x﹣1，h（x）=log3x+x的零点依次为a，b，c，则（　　）‎ A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a＜c＜b ‎9．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．己知三棱锥A﹣BCD的所有顶点都在球O的球面上，AB为球O的直径，若该三棱锥的体积为．BC=4，BD=，∠CBD=90°，则球O的表面积为（　　）‎ A．11π B．20π C．23π D．35π ‎11．已知双曲线y2﹣=1与不过原点O且不平行于坐标轴的直线l相交于M，N两点，线段MN的中点为P，设直线l的斜率为k1，直线OP的斜率为k2，则k1k2=（　　）‎ A． B．﹣ C．2 D．﹣2‎ ‎12．定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），若对任意实数x，有f（x）＞f'（x），且f（x）+2017为奇函数，则不等式f（x）+2017ex＜0的解集是（　　）‎ A．（﹣∞，0） B．（0，+∞） C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．设x，y满足约束条件，则x2+y2的最大值为　　．‎ ‎14．的二次展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则展开式中x4项的系数为　　．‎ ‎15．在直角坐标系xOy中，有一定点M（﹣1，2），若线段OM的垂直平分线过抛物线x2=2py（p＞0）的焦点，则该抛物线的准线方程是　　．‎ ‎16．若数列{an}的首项a1=2，且；令bn=log3（an+1），则b1+b2+b3+…+b100=　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．‎ ‎（1）求sinB的值；‎ ‎（2）若a=4，求△ABC的面积S的值．‎ ‎18．某中学拟在高一下学期开设游泳选修课，为了了解高一学生喜欢游泳是否与性别有关，该学校对100名高一新生进行了问卷调查，得到如下列联表：‎ 喜欢游泳 不喜欢游泳 合计 男生 ‎10‎ 女生 ‎20‎ 合计 已知在这100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为．‎ ‎（1）请将上述列联表补充完整：并判断是否有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关？并说明你的理由；‎ ‎（2）针对于问卷调查的100名学生，学校决定从喜欢游泳的人中按分层抽样的方法随机抽取6人成立游泳科普知识宣传组，并在这6人中任选2人作为宣传组的组长，设这两人中男生人数为X，求X的分布列和数学期望．‎ 下面的临界值表仅供参考：‎ P（K2≥k）‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎（参考公式：，其中n=a+b+c+d）‎ ‎19．在四棱锥中P﹣ABCD，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD、E、F，分别为PC、BD的中点．‎ ‎（1）求证：EF∥平面PAD；‎ ‎（2）在线段AB上是否存在点G，使得二面角C﹣PD﹣G的余弦值为，若存在，请求出点G的位置；若不存在，请说明理由．‎ ‎20．已知椭圆C：的短轴长为2，离心率e=，‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程：‎ ‎（2）若F1、F2分别是椭圆C的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，求△F1AB的内切圆半径的最大值．‎ ‎21．设函数G（x）=xlnx+（1﹣x）ln（1﹣x）．‎ ‎（1）求G（x）的最小值：‎ ‎（2）记G（x）的最小值为e，已知函数，若对于任意的x∈（0，+∞），恒有f（x）≥0成立，求实数a的取值范围．‎ ‎　‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．已知在直角坐标系中，曲线的C参数方程为（φ为参数），现以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ=．‎ ‎（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；‎ ‎（2）在曲线C上是否存在一点P，使点P到直线l的距离最小？若存在，求出距离的最小值及点P的直角坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．已知函数f（x）=|x|+|x﹣3|．‎ ‎（1）解关于x的不等式f（x）﹣5≥x；‎ ‎（2）设m，n∈{y|y=f（x）}，试比较mn+4与2（m+n）的大小．‎ ‎　‎ ‎2017年云南省大理州高考数学一模试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.‎ ‎1．设集合A={x∈Z|x2≤4}，B={x|x＞﹣1}，则A∩B=（　　）‎ A．{0，1} B．{﹣1，0} C．{﹣1，0，1} D．{0，1，2}‎ ‎【考点】交集及其运算．‎ ‎【分析】先分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．‎ ‎【解答】解：∵集合A={x∈Z|x2≤4}={﹣2，﹣1，0，1，2}，‎ B={x|x＞﹣1}，‎ ‎∴A∩B={0，1，2}．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎2．在复平面内，复数的对应点位于（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【考点】复数的代数表示法及其几何意义．‎ ‎【分析】先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分母变成一个实数，分子进行复数的乘法运算，整理成复数的标准形式，写出对应点的坐标，看出所在的象限．‎ ‎【解答】解：∵复数 ===﹣1+2i，‎ ‎∴复数对应的点的坐标是（﹣1，2）‎ ‎∴复数在复平面内对应的点位于第二象限，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎3．在等差数列{an}中，若a3+a4+a5+a6+a7=45，那么a5等于（　　）‎ A．4 B．5 C．9 D．18‎ ‎【考点】等差数列的通项公式．‎ ‎【分析】利用等差数列的性质即可得出．‎ ‎【解答】解：∵a3+a4+a5+a6+a7=45，‎ ‎∴5a5=45，‎ 那么a5=9．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎4．2016年1月某校高三年级1600名学生参加了教育局组织的期末统考，已知数学考试成绩X～N（试卷满分为150分）．统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为（　　）‎ A．80 B．100 C．120 D．200‎ ‎【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．‎ ‎【分析】利用正态分布曲线的对称性，确定成绩不低于120分的学生约为总人数的=，即可求得成此次考试成绩不低于120分的学生数．‎ ‎【解答】解：∵成绩ξ～N，‎ ‎∴其正态曲线关于直线x=100对称，‎ 又∵成绩在80分到120分之间的人数约占总人数的，‎ 由对称性知：成绩不低于120分的学生约为总人数的=，‎ ‎∴此次考试成绩不低于120分的学生约有：×1600=200人．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎5．已知向量与的夹角为30°，且||=，||=2，则|﹣|等于（　　）‎ A．1 B． C．13 D．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】由向量数量积的定义可得•，再由向量的模的平方即为向量的平方，计算即可得到所求值．‎ ‎【解答】解：向量与的夹角为30°，且||=，||=2，‎ 可得•=||•||•cos30°=•2•=3，‎ 则|﹣|==‎ ‎==1．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎6．函数f（x）=3sin（x+）在x=θ时取得最大值，则tanθ等于（　　）‎ A．﹣ B． C．﹣ D．‎ ‎【考点】三角函数的最值．‎ ‎【分析】由题意，函数f（x）=3sin（x+）在x=θ时取得最大值，θ=2kπ+，（k∈Z），即可求出tanθ．‎ ‎【解答】解：由题意，函数f（x）=3sin（x+）在x=θ时取得最大值，‎ ‎∴θ=2kπ+，（k∈Z）‎ ‎∴tanθ=，‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎7．如图程序框图的算法思路源于欧几里得名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图，若输入m，n分别为225、135，则输出的m=（　　）‎ A．5 B．9 C．45 D．90‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】模拟程序框图的运行过程，该程序执行的是欧几里得辗转相除法，求出运算结果即可．‎ ‎【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；‎ m=225，n=135，225÷135=1…90，r=90，不满足退出循环的条件；‎ m=135，n=90，135÷90=1…45，r=45不满足退出循环的条件 m=90，n=45，90÷45=2…0，r=0满足退出循环的条件 故输出m=45．‎ 故选：C ‎　‎ ‎8．已知三个函数f（x）=2x+x，g（x）=x﹣1，h（x）=log3x+x的零点依次为a，b，c，则（　　）‎ A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a＜c＜b ‎【考点】对数的运算性质；指数函数的图象与性质；函数零点的判定定理．‎ ‎【分析】利用函数零点的判定方法即可得出．‎ ‎【解答】解：令f（x）=2x+x=0，解得x＜0，令g（x）=x﹣1=0，解得x=1，‎ 由h（x）=log3x+x，令=﹣1+＜0，h（1）=1＞0，因此h（x）的零点x0∈．‎ 则b＞c＞a．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎9．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】根据三视图可知，几何体是组合体，下面是正方体，棱长为2，上面是侧棱长为2，底面边长为2的正四棱锥，求出相应的体积，即可求得结论．‎ ‎【解答】解：由题意知，根据三视图可知，几何体是组合体，下面是正方体，棱长为2，体积为8；‎ 上面是侧棱长为2，底面边长为2的正四棱锥，所以底面积为4，高为=，故体积为 ‎∴几何体的体积为 故选B．‎ ‎　‎ ‎10．己知三棱锥A﹣BCD的所有顶点都在球O的球面上，AB为球O的直径，若该三棱锥的体积为．BC=4，BD=，∠CBD=90°，则球O的表面积为（　　）‎ A．11π B．20π C．23π D．35π ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．‎ ‎【分析】先利用体积，求出A到平面BCD的距离，可得O到平面BCD的距离，再利用勾股定理，求出球的半径，即可求出球O的表面积．‎ ‎【解答】解：由题意，设A到平面BCD的距离为h，则 ‎∵该三棱锥的体积为．BC=4，BD=，∠CBD=90°，‎ ‎∴××4×h=，‎ ‎∴h=2，‎ ‎∴O到平面BCD的距离为1，‎ ‎∵△BCD外接圆的直径BD=，‎ ‎∴OB==，‎ ‎∴球O的表面积为4π×=11π．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎11．已知双曲线y2﹣=1与不过原点O且不平行于坐标轴的直线l相交于M，N两点，线段MN的中点为P，设直线l的斜率为k1，直线OP的斜率为k2，则k1k2=（　　）‎ A． B．﹣ C．2 D．﹣2‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】设点，代入双曲线方程，利用点差法，结合线段MN的中点为P，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x，y），‎ 则x1+x2=2x，y1+y2=2y M，N代入双曲线y2﹣=1‎ 两式相减可得：（y1﹣y2）×2y﹣（x1﹣x2）×2x=0，‎ ‎∵直线l的斜率为k1（k1≠0），直线OM的斜率为k2，‎ ‎∴k1k2=．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎12．定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），若对任意实数x，有f（x）＞f'（x），且f（x）+2017为奇函数，则不等式f（x）+2017ex＜0的解集是（　　）‎ A．（﹣∞，0） B．（0，+∞） C． D．‎ ‎【考点】函数奇偶性的性质；利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】令2017g（x）=，（x∈R），从而求导g′（x）＜0，从而可判断y=g（x）单调递减，从而可得到不等式的解集．‎ ‎【解答】解：设2017g（x）=，由f（x）＞f′（x），‎ 得：g′（x）=＜0，‎ 故函数g（x）在R递减，‎ 由f（x）+2017为奇函数，得f（0）=﹣2017，‎ ‎∴g（0）=﹣1，‎ ‎∵f（x）+2017ex＜0，∴＜﹣2017，即g（x）＜g（0），‎ 结合函数的单调性得：x＞0，‎ 故不等式f（x）+2017ex＜0的解集是（0，+∞）．‎ 故选B．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．设x，y满足约束条件，则x2+y2的最大值为　5　．‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】由约束条件作出可行域，由z=x2+y2的几何意义，即可行域内的动点与坐标原点距离的平方得答案．‎ ‎【解答】解：由约束条件，作出可行域如图，‎ 联立方程组，解得：A（2，﹣1）；‎ 由题意结合可行域可知A到原点的距离的平方最大．‎ ‎∴z=x2+y2的最大值为：5．‎ 故答案为：5．‎ ‎　‎ ‎14．的二次展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则展开式中x4项的系数为　1　．‎ ‎【考点】二项式系数的性质．‎ ‎【分析】由题意可得：2n=256，解得n=8．再利用通项公式即可得出．‎ ‎【解答】解：由题意可得：2n=256，解得n=8．‎ ‎∴的通项公式：Tr+1=28﹣r=28﹣r（﹣1）8﹣r．‎ 令=4，解得r=8．‎ ‎∴展开式中x4项的系数为28﹣8（﹣1）0=1．‎ 故答案为：1．‎ ‎　‎ ‎15．在直角坐标系xOy中，有一定点M（﹣1，2），若线段OM的垂直平分线过抛物线x2=2py（p＞0）的焦点，则该抛物线的准线方程是　　．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】先求出线段OM 的垂直平分线方程，然后表示出抛物线的焦点坐标并代入到所求方程中，进而可求得p的值，即可得到准线方程．‎ ‎【解答】解：依题意我们容易求得直线的方程为2x﹣4y+5=0，‎ 把焦点坐标（，0）代入可求得焦参数p=，‎ 从而得到准线方程，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎16．若数列{an}的首项a1=2，且；令bn=log3（an+1），则b1+b2+b3+…+b100=　5050　．‎ ‎【考点】数列的求和．‎ ‎【分析】推导出{an+1}是首项为3，公比为3的等比数列，从而得bn==n，由此能求出b1+b2+b3+…+b100．‎ ‎【解答】解：∵数列{an}的首项a1=2，且，‎ ‎∴an+1+1=3（an+1），a1+1=3，‎ ‎∴{an+1}是首项为3，公比为3的等比数列，‎ ‎∴，‎ ‎∴bn=log3（an+1）==n，‎ ‎∴b1+b2+b3+…+b100=1+2+3+…+100==5050．‎ 故答案为：5050．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．‎ ‎（1）求sinB的值；‎ ‎（2）若a=4，求△ABC的面积S的值．‎ ‎【考点】余弦定理；正弦定理．‎ ‎【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinA ‎，利用二倍角的余弦函数公式可求cosC=cos2A的值，利用同角三角函数基本关系式可求sinC的值，利用三角形内角和定理，诱导公式，两角和的正弦函数公式可求sinB的值．‎ ‎（2）由正弦定理可求b，进而利用三角形面积公式即可计算得解．‎ ‎【解答】（本题满分为12分）‎ 解：（1）∵由得，…‎ ‎∴cosC=cos2A=cos2A﹣sin2A=，…2分 ‎∴sinC==，…3分 又∵A+B+C=π，sinB=sin[π﹣（A+C）]=sin（A+C），…4分 ‎∴．…‎ ‎（2）由正弦定理得，…‎ ‎∴△ABC的面积．…‎ ‎　‎ ‎18．某中学拟在高一下学期开设游泳选修课，为了了解高一学生喜欢游泳是否与性别有关，该学校对100名高一新生进行了问卷调查，得到如下列联表：‎ 喜欢游泳 不喜欢游泳 合计 男生 ‎10‎ 女生 ‎20‎ 合计 已知在这100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为．‎ ‎（1）请将上述列联表补充完整：并判断是否有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关？并说明你的理由；‎ ‎（2）针对于问卷调查的100名学生，学校决定从喜欢游泳的人中按分层抽样的方法随机抽取6人成立游泳科普知识宣传组，并在这6人中任选2人作为宣传组的组长，设这两人中男生人数为X，求X的分布列和数学期望．‎ 下面的临界值表仅供参考：‎ P（K2≥k）‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎（参考公式：，其中n=a+b+c+d）‎ ‎【考点】独立性检验的应用．‎ ‎【分析】（1）根据在100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为，可得喜爱游泳的学生，即可得到列联表；利用公式求得K2，与临界值比较，即可得到结论；‎ ‎（2）喜欢游泳的共60人，按分层抽样抽取6人，则每个个体被抽到的概率均为，从而需抽取男生4人，女生2人．故X的所有可能取值为0，1，2，求出相应的概率，即可求X的分布列和数学期望．‎ ‎【解答】解：（1）因为在100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为，‎ 所以喜欢游泳的学生人数为人…‎ 其中女生有20人，则男生有40人，列联表补充如下：‎ 喜欢游泳 不喜欢游泳 合计 男生 ‎40‎ ‎10‎ ‎50‎ 女生 ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ 合计 ‎60‎ ‎40‎ ‎100‎ ‎…‎ 因为…‎ 所以有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关…‎ ‎（2）喜欢游泳的共60人，按分层抽样抽取6人，则每个个体被抽到的概率均为，‎ 从而需抽取男生4人，女生2人．‎ 故X的所有可能取值为0，1，2…，‎ X的分布列为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎…‎ ‎…‎ ‎　‎ ‎19．在四棱锥中P﹣ABCD，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD、E、F，分别为PC、BD的中点．‎ ‎（1）求证：EF∥平面PAD；‎ ‎（2）在线段AB上是否存在点G，使得二面角C﹣PD﹣G的余弦值为，若存在，请求出点G的位置；若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．‎ ‎【分析】（1）连接AC，由正方形性质可知，AC与BD相交于点F，证明：EF∥PA，即可证明EF∥平面PAD；‎ ‎（2）以O为原点，分别以射线OA，OF和OP为x轴，y轴和z轴建立空间直角坐标系，O﹣xyz，利用向量方法，即可求解．‎ ‎【解答】（1）证明：连接AC，由正方形性质可知，AC与BD相交于点F，‎ 所以，在△PAC中，EF∥PA…‎ 又PA⊂平面PAD，EF⊄平面PAD…‎ 所以EF∥平面PAD…‎ ‎（2）取AD的中点O，连接OP，OF，‎ 因为PA=PD，所以PO⊥AD，‎ 又因为侧面PAD⊥底面ABCD，交线为AD，所以PO⊥平面ABCD，‎ 以O为原点，分别以射线OA，OF和OP为x轴，y轴和z 轴建立空间直角坐标系，O﹣xyz，不妨设AD=2…‎ 则有P（0，0，1），D（﹣1，0，0），C（﹣1，2，0），假设在AB上存在点G（1，a，0），0＜a＜2，‎ 则=（﹣1，2，﹣1），=（﹣1，0，﹣1），=（2，a，0）…‎ 因为侧面PAD⊥底面ABCD，交线为AD，且底面是正方形，‎ 所以CD⊥平面PAD，则CD⊥PA，‎ 由PA2+PD2=AD2得PD⊥PA，‎ 所以PA⊥PDC，即平面PDC的一个法向量为=（1，0，﹣1）…‎ 设平面PDG的法向量为=（x，y，z），则，亦即，可取=（a，﹣2，﹣a）…‎ 由二面角C﹣PD﹣G的余弦值为，可得a=1…，‎ 所以线段AB上存在点G，且G为AB的中点，使得二面角C﹣PD﹣G的余弦值为…‎ ‎　‎ ‎20．已知椭圆C：的短轴长为2，离心率e=，‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程：‎ ‎（2）若F1、F2分别是椭圆C的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，求△F1AB的内切圆半径的最大值．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题．‎ ‎【分析】（1）利用已知条件列出方程组求出a，b，然后求解椭圆的方程．‎ ‎（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），设△F1AB的内切圆的半径为R，表示出△F1AB 的周长与面积，设直线l的方程为x=my+1，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，表示三角形面积，令，利用基本不等式求解面积的最大值，然后求解△F1AB内切圆半径的最大值为．‎ ‎【解答】解：（1）由题意可得…‎ 解得…‎ 故椭圆的标准方程为…‎ ‎（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），设△F1AB的内切圆的半径为R，‎ 因为△F1AB的周长为4a=8，，‎ 因此最大，R就最大…，‎ 由题意知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为x=my+1，‎ 由得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，‎ 所以，…‎ 又因直线l与椭圆C交于不同的两点，‎ 故△＞0，即（6m）2+36（3m2+4）＞0，m∈R，则…‎ 令，则t≥1，．‎ 令，由函数的性质可知，函数f（t）在上是单调递增函数，‎ 即当t≥1时，f（t）在[1，+∞）上单调递增，‎ 因此有，所以，‎ 即当t=1，m=0时，最大，此时，‎ 故当直线l的方程为x=1时，△F1AB内切圆半径的最大值为…‎ ‎　‎ ‎21．设函数G（x）=xlnx+（1﹣x）ln（1﹣x）．‎ ‎（1）求G（x）的最小值：‎ ‎（2）记G（x）的最小值为e，已知函数，若对于任意的x∈（0，+∞），恒有f（x）≥0成立，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．‎ ‎【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值即可；‎ ‎（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的最小值，结合题意从而求出a的范围即可．‎ ‎【解答】解：（1）由已知得…‎ 令G'（x）＜0，得；令G'（x）＞0，得，‎ 所以G（x）的单调减区间为，单调增区间为…‎ 从而…‎ ‎（2）由（1）中c=﹣ln2得…‎ 所以…‎ 令g（x）=ax2•ex﹣（a+1），则g'（x）=ax（2+x）ex＞0…‎ 所以g（x）在（0，+∞）上单调递增，‎ 因为g（0）=﹣（a+1），且当x→+∞时，g（x）＞0，‎ 所以存在x0∈（0，+∞），使g（x0）=0，‎ 且f（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增…‎ 因为，所以，‎ 即，因为对于任意的x∈（0，+∞），恒有f（x）≥0成立，‎ 所以…‎ 所以，即，‎ 亦即，所以…‎ 因为，所以，‎ 又x0＞0，所以0＜x0≤1，从而，‎ 所以，故…‎ ‎　‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．已知在直角坐标系中，曲线的C参数方程为（φ为参数），现以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ=．‎ ‎（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；‎ ‎（2）在曲线C上是否存在一点P，使点P到直线l的距离最小？若存在，求出距离的最小值及点P的直角坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．‎ ‎【分析】（1）利用坐标的互化方法，求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；‎ ‎（2）点P到直线l的距离d==，即可求出距离的最小值及点P的直角坐标．‎ ‎【解答】解：（1）曲线的C参数方程为（φ为参数），普通方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=4，‎ 直线l的极坐标方程为ρ=，直角坐标方程为x﹣y﹣4=0；‎ ‎（2）点P到直线l的距离d==，‎ ‎∴φ﹣=2kπ﹣，即φ=2kπ﹣（k∈Z），距离的最小值为，点P的直角坐标（1+，1﹣）．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．已知函数f（x）=|x|+|x﹣3|．‎ ‎（1）解关于x的不等式f（x）﹣5≥x；‎ ‎（2）设m，n∈{y|y=f（x）}，试比较mn+4与2（m+n）的大小．‎ ‎【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．‎ ‎【分析】（1）分类讨论，即可解关于x的不等式f（x）﹣5≥x；‎ ‎（2）由（1）易知f（x）≥3，所以m≥3，n≥3，利用作差法，即可比较mn+4与2（m+n）的大小．‎ ‎【解答】解：（1）…‎ 得或或，解之得或x∈ϕ或x≥8，‎ 所以不等式的解集为…‎ ‎（2）由（1）易知f（x）≥3，所以m≥3，n≥3…‎ 由于2（m+n）﹣（mn+4）=2m﹣mn+2n﹣4=（m﹣2）（2﹣n）…‎ 且m≥3，n≥3，所以m﹣2＞0，2﹣n＜0，即（m﹣2）（2﹣n）＜0，‎ 所以2（m+n）＜mn+4…‎ ‎　‎ ‎2017年1月30日