上海金山区2017届高考数学一模试卷(带解析)
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资料简介
‎2017年上海市金山区高考数学一模试卷 ‎ ‎ 一.填空题(本大题共12题,1-6每题4分,7-12每题5分,共54分)‎ ‎1.若集合M={x|x2﹣2x<0},N={x||x|>1},则M∩N=  .‎ ‎2.若复数z满足2z+=3﹣2i,其中i为虚数单位,则z=  .‎ ‎3.若sinα=﹣,且α为第四象限角,则tanα的值等于  .‎ ‎4.函数的最小正周期T=  .‎ ‎5.函数f(x)=2x+m的反函数为y=f﹣1(x),且y=f﹣1(x)的图象过点Q(5,2),那么m=  .‎ ‎6.点(1,0)到双曲线的渐近线的距离是  .‎ ‎7.若x,y满足,则2x+y的最大值为  .‎ ‎8.从5名学生中任选3人分别担任语文、数学、英语课代表,其中学生甲不能担任数学课代表,共有  种不同的选法(结果用数值表示).‎ ‎9.方程x2+y2﹣4tx﹣2ty+3t2﹣4=0(t为参数)所表示的圆的圆心轨迹方程是  (结果化为普通方程)‎ ‎10.若an是(2+x)n(n∈N*,n≥2,x∈R)展开式中x2项的二项式系数,则=  .‎ ‎11.设数列{an}是集合{x|x=3s+3t,s<t且s,t∈N}中所有的数从小到大排列成的数列,即a1=4,a2=10,a3=12,a4=28,a5=30,a6=36,…,将数列{an}中各项按照上小下大,左小右大的原则排成如图的等腰直角三角形数表,则a15的值为  .‎ ‎12.曲线C是平面内到直线l1:x=﹣1和直线l2:y=1的距离之积等于常数k2(k>0)的点的轨迹,下列四个结论:‎ ‎①曲线C过点(﹣1,1);‎ ‎②曲线C关于点(﹣1,1)成中心对称;‎ ‎③若点P在曲线C上,点A、B分别在直线l1、l2上,则|PA|+|PB|不小于2k;‎ ‎④设P0为曲线C上任意一点,则点P0关于直线l1:x=﹣1,点(﹣1,1)及直线f(x)对称的点分别为P1、P2、P3,则四边形P0P1P2P3的面积为定值4k2;其中,‎ 所有正确结论的序号是  .‎ ‎ ‎ 二.选择题(本大题共4题,每题5分,共20分)‎ ‎13.给定空间中的直线l与平面α,则“直线l与平面α垂直”是“直线l垂直于平面α上无数条直线”的(  )条件.‎ A.充分非必要 B.必要非充分 C.充要 D.既不充分也不必要 ‎14.已知x、y∈R,且x>y>0,则(  )‎ A. B.‎ C.log2x+log2y>0 D.sinx﹣siny>0‎ ‎15.某几何体的三视图如图所示,则它的体积为(  )‎ A.8﹣ B.8﹣ C.8﹣2π D.‎ ‎16.已知函数f(x)=(a>0,且a≠1)在R上单调递减,且关于x的方程|f(x)|=2﹣x恰好有两个不相等的实数解,则a的取值范围是(  )‎ A.(0,] B.[,] C.[,]∪{} D.[,)∪{}‎ ‎ ‎ 三.解答题(本大题共5题,共14+14+14+16+18=76分)‎ ‎17.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PB、PD与 平面ABCD所成的角依次是和,AP=2,E、F依次是PB、PC的中点;‎ ‎(1)求异面直线EC与PD所成角的大小;(结果用反三角函数值表示)‎ ‎(2)求三棱锥P﹣AFD的体积.‎ ‎18.已知△ABC中,AC=1,,设∠BAC=x,记;‎ ‎(1)求函数f(x)的解析式及定义域;‎ ‎(2)试写出函数f(x)的单调递增区间,并求方程的解.‎ ‎19.已知椭圆C以原点为中心,左焦点F的坐标是(﹣1,0),长轴长是短轴长的倍,直线l与椭圆C交于点A与B,且A、B都在x轴上方,满足∠OFA+∠OFB=180°;‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程;‎ ‎(2)对于动直线l,是否存在一个定点,无论∠OFA如何变化,直线l总经过此定点?若存在,求出该定点的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎20.已知函数g(x)=ax2﹣2ax+1+b(a>0)在区间[2,3]上的最大值为4,最小值为1,记f(x)=g(|x|),x∈R;‎ ‎(1)求实数a、b的值;‎ ‎(2)若不等式对任意x∈R恒成立,求实数k的范围;‎ ‎(3)对于定义在[p,q]上的函数m(x),设x0=p,xn=q,用任意xi(i=1,2,…,n﹣1)将[p,q]划分成n个小区间,其中xi﹣1<xi<xi+1,若存在一个常数M>0,使得不等式|m(x0)﹣m(x1)|+|m(x1)﹣m(x2)|+…+|m(xn﹣1)﹣m(xn)|≤M恒成立,则称函数m(x)为在[p,q]上的有界变差函数,试证明函数f(x)是在[1,3]上的有界变差函数,并求出M的最小值.‎ ‎21.数列{bn}的前n项和为Sn,且对任意正整数n,都有;‎ ‎(1)试证明数列{bn}是等差数列,并求其通项公式;‎ ‎(2)如果等比数列{an}共有2017项,其首项与公比均为2,在数列{an}的每相邻两项ai与ai+1之间插入i个(﹣1)ibi(i∈N*)后,得到一个新数列{cn},求数列{cn}中所有项的和;‎ ‎(3)如果存在n∈N*,使不等式成立,若存在,求实数λ的范围,若不存在,请说明理由.‎ ‎ ‎ ‎2017年上海市金山区高考数学一模试卷 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一.填空题(本大题共12题,1-6每题4分,7-12每题5分,共54分)‎ ‎1.若集合M={x|x2﹣2x<0},N={x||x|>1},则M∩N= (1,2) .‎ ‎【考点】交集及其运算.‎ ‎【分析】解x2﹣2x<0可得集合M={x|0<x<2},解|x|>1可得集合N,由交集的定义,分析可得答案.‎ ‎【解答】解:x2﹣2x<0⇔0<x<2,则集合M={x|0<x<2}=(0,2)‎ ‎|x|>1⇔x<﹣1或x<>1,则集合N={x|﹣1<x<1}=(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞),‎ 则M∩N=(1,2),‎ 故答案为:(1,2)‎ ‎ ‎ ‎2.若复数z满足2z+=3﹣2i,其中i为虚数单位,则z= 1﹣2i .‎ ‎【考点】复数代数形式的加减运算.‎ ‎【分析】设复数z=a+bi,(a、b是实数),则=a﹣bi,代入已知等式,再根据复数相等的含义可得a、b的值,从而得到复数z的值.‎ ‎【解答】解:设z=a+bi,(a、b是实数),则=a﹣bi,‎ ‎∵2z+=3﹣2i,‎ ‎∴2a+2bi+a﹣bi=3﹣2i,‎ ‎∴3a=3,b=﹣2,‎ 解得a=1,b=﹣2,‎ 则z=1﹣2i 故答案为:1﹣2i.‎ ‎ ‎ ‎3.若sinα=﹣,且α为第四象限角,则tanα的值等于  .‎ ‎【考点】同角三角函数基本关系的运用.‎ ‎【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosα,进而可求tanα的值.‎ ‎【解答】解:∵sinα=﹣,且α为第四象限角,‎ ‎∴cosα===,‎ ‎∴tanα===.‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎4.函数的最小正周期T= π .‎ ‎【考点】二阶行列式与逆矩阵;两角和与差的余弦函数;三角函数的周期性及其求法.‎ ‎【分析】利用行列式的计算方法化简f(x)解析式,再利用二倍角的余弦函数公式化为一个角的余弦函数,找出ω的值,即可求出最小正周期.‎ ‎【解答】解:f(x)=cos2x﹣sin2x=cos2x,‎ ‎∵ω=2,‎ ‎∴T=π.‎ 故答案为:π ‎ ‎ ‎5.函数f(x)=2x+m的反函数为y=f﹣1(x),且y=f﹣1(x)的图象过点Q(5,2),那么m= 1 .‎ ‎【考点】反函数.‎ ‎【分析】根据反函数的性质可知:原函数与反函数的图象关于y=x对称,利用对称关系可得答案.‎ ‎【解答】解:f(x)=2x+m的反函数y=f﹣1(x),‎ ‎∵函数y=f﹣1(x)的图象经过Q(5,2),原函数与反函数的图象关于y=x对称,‎ ‎∴f(x)=2x+m的图象经过Q′(2,5),‎ 即4+m=5,‎ 解得:m=1.‎ 故答案为:1.‎ ‎ ‎ ‎6.点(1,0)到双曲线的渐近线的距离是  .‎ ‎【考点】双曲线的简单性质.‎ ‎【分析】求出双曲线的渐近线方程,利用点到直线的距离公式求解即可.‎ ‎【解答】解:双曲线的一条渐近线方程为:x+2y=0,‎ 点(1,0)到双曲线的渐近线的距离是: =.‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎7.若x,y满足,则2x+y的最大值为 4 .‎ ‎【考点】简单线性规划.‎ ‎【分析】由约束条件作出可行域,数形结合得到最优解,求出最优解的坐标,代入目标函数得答案.‎ ‎【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:(阴影部分).‎ 设z=2x+y得y=﹣2x+z,‎ 平移直线y=﹣2x+z,‎ 由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时,直线y=﹣2x+z的截距最大,‎ 此时z最大.‎ 由,解得,即A(1,2),‎ 代入目标函数z=2x+y得z=1×2+2=4.‎ 即目标函数z=2x+y的最大值为4.‎ 故答案为:4.‎ ‎ ‎ ‎8.从5名学生中任选3人分别担任语文、数学、英语课代表,其中学生甲不能担任数学课代表,共有 48 种不同的选法(结果用数值表示).‎ ‎【考点】排列、组合的实际应用.‎ ‎【分析】根据分步计数原理,先安排数学课代表,再安排语文、英语课代表.‎ ‎【解答】解:先从除了甲之外的4人选1人为数学课代表,再从包含甲在内的4人中选2人为语文、英语课代表,根据分步计数原理可得,共有A41A42=48种,‎ 故学生甲不能担任数学课代表,共有48种不同的选法.‎ 故答案为48.‎ ‎ ‎ ‎9.方程x2+y2﹣4tx﹣2ty+3t2﹣4=0(t为参数)所表示的圆的圆心轨迹方程是 x﹣2y=0 (结果化为普通方程)‎ ‎【考点】轨迹方程.‎ ‎【分析】把圆化为标准方程后得到:圆心坐标,令x=2t,y=t,消去t即可得到y与x的解析式.‎ ‎【解答】解:把圆的方程化为标准方程得(x﹣2t)2+(y﹣t)2=t2+4,圆心(2t,t)‎ 则圆心坐标为,所以消去t可得x=2y,即x﹣2y=0.‎ 故答案为:x﹣2y=0‎ ‎ ‎ ‎10.若an是(2+x)n(n∈N*,n≥2,x∈R)展开式中x2项的二项式系数,则= 2 .‎ ‎【考点】数列的极限;二项式定理的应用.‎ ‎【分析】(2+x)n(其中n=2,3,4,…)的展开式,Tr+1,令r=2,可得an,再利用求和公式化简,利用数列的极限即可得出.‎ ‎【解答】解:(2+x)n(其中n=2,3,4,…)的展开式,Tr+1=,令r=2,可得:T3=2n﹣2x2.‎ ‎∴an是二项式(2+x)n(其中n=2,3,4,…)的展开式中x的二项式系数,‎ ‎∴an==.‎ 则=2==2.‎ 故答案为:2.‎ ‎ ‎ ‎11.设数列{an}是集合{x|x=3s+3t,s<t且s,t∈N}中所有的数从小到大排列成的数列,即a1=4,a2=10,a3=12,a4=28,a5=30,a6=36,…,将数列{an}中各项按照上小下大,左小右大的原则排成如图的等腰直角三角形数表,则a15的值为 324 .‎ ‎【考点】归纳推理.‎ ‎【分析】如果用(t,s)表示3s+3t,则4=(0,1)=30+31,10=(0,2)=30+32,12=(1,2)=31+32,….利用归纳推理即可得出.‎ ‎【解答】解:如果用(t,s)表示3s+3t,‎ 则4=(0,1)=30+31,‎ ‎10=(0,2)=30+32,‎ ‎12=(1,2)=31+32,‎ ‎28=(0,3)=30+33,‎ ‎30=(1,3)=31+33,‎ ‎36=(2,3)=32+33,….‎ 利用归纳推理即可得:a15=(4,5),则a15=34+35=324.‎ 故答案为:324.‎ ‎ ‎ ‎12.曲线C是平面内到直线l1:x=﹣1和直线l2:y=1的距离之积等于常数k2(k>0)的点的轨迹,下列四个结论:‎ ‎①曲线C过点(﹣1,1);‎ ‎②曲线C关于点(﹣1,1)成中心对称;‎ ‎③若点P在曲线C上,点A、B分别在直线l1、l2上,则|PA|+|PB|不小于2k;‎ ‎④设P0为曲线C上任意一点,则点P0关于直线l1:x=﹣1,点(﹣1,1)及直线f(x)对称的点分别为P1、P2、P3,则四边形P0P1P2P3的面积为定值4k2;其中,‎ 所有正确结论的序号是 ②③④ .‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用.‎ ‎【分析】由题意曲线C是平面内到直线l1:x=﹣1和直线l2:y=1的距离之积等于常数k2(k>0)的点的轨迹.利用直接法,设动点坐标为(x,y),及可得到动点的轨迹方程,然后由方程特点即可加以判断.‎ ‎【解答】解:由题意设动点坐标为(x,y),则利用题意及点到直线间的距离公式的得:|x+1||y﹣1|=k2,‎ 对于①,将(﹣1,1)代入验证,此方程不过此点,所以①错;‎ 对于②,把方程中的x被﹣2﹣x代换,y被2﹣y 代换,方程不变,故此曲线关于(﹣1,1)对称.所以②正确;‎ 对于③,由题意知点P在曲线C上,点A,B分别在直线l1,l2上,则|PA|≥|x+1|,|PB|≥|y﹣1|‎ ‎∴|PA|+|PB|≥2=2k,所以③正确;‎ 对于④,由题意知点P在曲线C上,根据对称性,‎ 则四边形P0P1P2P3的面积=2|x+1|×2|y﹣1|=4|x+1||y﹣1|=4k2.所以④正确.‎ 故答案为:②③④.‎ ‎ ‎ 二.选择题(本大题共4题,每题5分,共20分)‎ ‎13.给定空间中的直线l与平面α,则“直线l与平面α垂直”是“直线l垂直于平面α上无数条直线”的(  )条件.‎ A.充分非必要 B.必要非充分 C.充要 D.既不充分也不必要 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.‎ ‎【分析】根据充分必要条件的定义判断即可.‎ ‎【解答】解:若:直线l与平面α垂直”,则“直线l垂直于平面α上无数条直线”,是充分条件;‎ 若直线l垂直于平面α上无数条直线,则直线l与平面α不一定垂直,不是必要条件,‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎14.已知x、y∈R,且x>y>0,则(  )‎ A. B.‎ C.log2x+log2y>0 D.sinx﹣siny>0‎ ‎【考点】不等式比较大小.‎ ‎【分析】根据不等式的性质判断A,根据特殊值,判断C,D,根据指数函数的性质判断B ‎【解答】解:因为x>y>0,所以<,故A错误,‎ 因为y=()x为减函数,故B正确,‎ 因为当1>x>y>0时,log2x+log2y=log2xy<0,故C错误,‎ 因为当x=π,y=时,sinx﹣siny<0,故D错误,‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎15.某几何体的三视图如图所示,则它的体积为(  )‎ A.8﹣ B.8﹣ C.8﹣2π D.‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积.‎ ‎【分析】三视图中长对正,高对齐,宽相等;由三视图想象出直观图,一般需从俯视图构建直观图,该几何体为正方体内挖去一个圆锥.‎ ‎【解答】解:由题意可知,该几何体为正方体内挖去一个圆锥,‎ 正方体的边长为2,圆锥的底面半径为1,高为2,‎ 则正方体的体积为V1=23=8,圆锥的体积为V2=•π•12•2=,‎ 则该几何体的体积为V=8﹣,‎ 故选A.‎ ‎ ‎ ‎16.已知函数f(x)=(a>0,且a≠1)在R上单调递减,且关于x的方程|f(x)|=2﹣x恰好有两个不相等的实数解,则a的取值范围是(  )‎ A.(0,] B.[,] C.[,]∪{} D.[,)∪{}‎ ‎【考点】分段函数的应用;根的存在性及根的个数判断.‎ ‎【分析】利用函数是减函数,根据对数的图象和性质判断出a的大致范围,再根据f(x)为减函数,得到不等式组,利用函数的图象,方程的解的个数,推出a的范围.‎ ‎【解答】解:y=loga(x+1)+1在[0,+∞)递减,则0<a<1,‎ 函数f(x)在R上单调递减,则:‎ ‎;‎ 解得,;‎ 由图象可知,在[0,+∞)上,|f(x)|=2﹣x有且仅有一个解,‎ 故在(﹣∞,0)上,|f(x)|=2﹣x同样有且仅有一个解,‎ 当3a>2即a>时,联立|x2+(4a﹣3)x+3a|=2﹣x,‎ 则△=(4a﹣2)2﹣4(3a﹣2)=0,‎ 解得a=或1(舍去),‎ 当1≤3a≤2时,由图象可知,符合条件,‎ 综上:a的取值范围为[,]∪{},‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ 三.解答题(本大题共5题,共14+14+14+16+18=76分)‎ ‎17.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PB、PD与 平面ABCD所成的角依次是和,AP=2,E、F依次是PB、PC的中点;‎ ‎(1)求异面直线EC与PD所成角的大小;(结果用反三角函数值表示)‎ ‎(2)求三棱锥P﹣AFD的体积.‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;异面直线及其所成的角.‎ ‎【分析】(1)分别以AB、AD、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系.利用向量与所成角求得异面直线EC与PD所成角的大小;‎ ‎(2)直接利用VP﹣AFD=VP﹣ACD﹣VF﹣ADC求解.‎ ‎【解答】解:(1)分别以AB、AD、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系.‎ ‎∵AP=2,,∠PDA=,‎ ‎∴AB=2,AD=4,则P(0,0,2),D(0,4,0),E(1,0,1),C(2,4,0),‎ ‎,.‎ ‎∴cos<>===.‎ ‎∴异面直线EC与PD所成角的大小为;‎ ‎(2)VP﹣AFD=VP﹣ACD﹣VF﹣ACD==.‎ ‎ ‎ ‎18.已知△ABC中,AC=1,,设∠BAC=x,记;‎ ‎(1)求函数f(x)的解析式及定义域;‎ ‎(2)试写出函数f(x)的单调递增区间,并求方程的解.‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算.‎ ‎【分析】(1)由条件利用正弦定理、两个向量的数量积公式、三角恒等变换化简函数f(x)的解析式.‎ ‎(2)利用正弦函数的单调性求得f(x)的单调区间,并求出x的值.‎ ‎【解答】解:(1)由正弦定理有==‎ ‎∴BC=•sinx,AB=,‎ ‎∴=sinx•sin(﹣x)•=(cosx﹣sinx)sinx=sin(2x+)﹣,‎ 其定义域为(0,)‎ ‎(2)∵﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,‎ ‎∴﹣+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,‎ ‎∵x∈(0,)‎ ‎∴递增区间,‎ ‎∵方程=sin(2x+)﹣,‎ ‎∴sin(2x+)=1,‎ 解得.‎ ‎ ‎ ‎19.已知椭圆C以原点为中心,左焦点F的坐标是(﹣1,0),长轴长是短轴长的倍,直线l与椭圆C交于点A与B,且A、B都在x轴上方,满足∠OFA+∠OFB=180°;‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程;‎ ‎(2)对于动直线l,是否存在一个定点,无论∠OFA如何变化,直线l总经过此定点?若存在,求出该定点的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎【考点】直线与椭圆的位置关系;椭圆的标准方程.‎ ‎【分析】(1)由题意可知设椭圆的标准方程为:(a>b>0),2a=•2b,即a=b,代入求得:a2=2,b2=1,即可求得椭圆C的标准方程;‎ ‎(2)B关于x轴的对称点B1在直线AF上.设直线AF方程:y=k(x+1),代入椭圆方程,由韦达定理及直线的斜率公式,代入由x==,此能证明直线l总经过定点M(﹣2,0).‎ ‎【解答】解:(1)设椭圆的标准方程为:(a>b>0),‎ 由题意可知:2a=•2b,即a=b,‎ 由c=1,则a2=b2+c2=b2+1,‎ 代入求得:a2=2,b2=1,‎ 椭圆C的方程为:;‎ ‎(2)存在一个定点M(﹣2,0),无论∠OFA如何变化,直线l总经过此定点 证明:由OFA+∠OFB=180°,则B关于x轴的对称点B1在直线AF上.‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),B1(x2,﹣y2‎ 设直线AF方程:y=k(x+1),代入,‎ 得:(k2+)x2+2k2x+k2﹣1=0,…‎ 由韦达定理可知:x1+x2=,x1•x2=,‎ 由直线AB的斜率kAB=‎ AB的方程:y﹣y1=(x﹣x1),‎ 令y=0,得:x1﹣y1•,‎ y1=k(x1+1),y2=k(x2+1),‎ x=====﹣2,‎ ‎∴直线l总经过定点M(﹣2,0).‎ ‎ ‎ ‎20.已知函数g(x)=ax2﹣2ax+1+b(a>0)在区间[2,3]上的最大值为4,最小值为1,记f(x)=g(|x|),x∈R;‎ ‎(1)求实数a、b的值;‎ ‎(2)若不等式对任意x∈R恒成立,求实数k的范围;‎ ‎(3)对于定义在[p,q]上的函数m(x),设x0=p,xn=q,用任意xi(i=1,2,…,n﹣1)将[p,q]划分成n个小区间,其中xi﹣1<xi<xi+1,若存在一个常数M>0,使得不等式|m(x0)﹣m(x1)|+|m(x1)﹣m(x2)|+…+|m(xn﹣1)﹣m(xn)|≤M恒成立,则称函数m(x)为在[p,q]上的有界变差函数,试证明函数f(x)是在[1,3]上的有界变差函数,并求出M的最小值.‎ ‎【考点】函数恒成立问题;函数的最值及其几何意义.‎ ‎【分析】(1)由已知中g(x)在区间[2,3]的最大值为4,最小值为1,结合函数的单调性及最值,我们易构造出关于a,b的方程组,解得a,b的值;‎ ‎(2)求出f(x),对任意x∈R恒成立等价于F(x)min=f(x)+g(x)恒成立,求实数k的范围;‎ 根据有界变差函数的定义,我们先将区间[1,3]进行划分,进而判断|m(xi)﹣m(xi﹣1)|≤M是否恒成立,进而得到结论.‎ ‎【解答】解:(1)∵函数g(x)=ax2﹣2ax+1+b,‎ ‎∵a>0,对称轴x=1,‎ ‎∴g(x)在区间[2,3]上是增函数,‎ 又∵函数g(x)故在区间[2,3]上的最大值为4,最小值为1,‎ ‎∴,‎ 解得:a=1,b=0.‎ ‎∴g(x)=x2﹣2x+1‎ 故实数a的值为1,b的值为0.‎ ‎(2)由(1)可知g(x)=x2﹣2x+1,‎ ‎∵f(x)=g(|x|),‎ ‎∴f(x)=x2﹣2|x|+1,‎ ‎∵对任意x∈R恒成立,‎ 令F(x)=f(x)+g(x)=x2﹣2x+1+x2﹣2|x|+1=‎ 根据二次函数的图象及性质可得F(x)min=f(1)=0‎ 则F(x)min≥恒成立,即:≤0‎ 令log2k=t,‎ 则有:t2﹣2t﹣3≤0,‎ 解得:﹣1≤t≤3,‎ 即,‎ 得:‎ 故得实数k的范围为.‎ ‎(3)函数f(x)为[1,3]上的有界变差函数.‎ 因为函数f(x)为[1,3]上的单调递增函数,且对任意划分T:1=x0<x1<…<xi<…<xn=3‎ 有f(1)=f(x0)<f(x1)<…<f(xI)<…<f(xn)=f(3)‎ 所以|m(xi)﹣m(xi﹣1)|=f(x1)﹣f(x0)+f(x2)﹣f(x1)<…<f(xn)﹣f(xn﹣1)‎ ‎=f(xn)﹣f(x0)=f(3)﹣f(1)=4恒成立,‎ 所以存在常数M,使得|m(xi)﹣m(xi﹣1)|≤M是恒成立.‎ M的最小值为4,即Mmin=4;‎ ‎ ‎ ‎21.数列{bn}的前n项和为Sn,且对任意正整数n,都有;‎ ‎(1)试证明数列{bn}是等差数列,并求其通项公式;‎ ‎(2)如果等比数列{an}共有2017项,其首项与公比均为2,在数列{an}的每相邻两项ai与ai+1之间插入i个(﹣1)ibi(i∈N*)后,得到一个新数列{cn},求数列{cn}中所有项的和;‎ ‎(3)如果存在n∈N*,使不等式成立,若存在,求实数λ的范围,若不存在,请说明理由.‎ ‎【考点】数列的应用;数列与函数的综合.‎ ‎【分析】(1)n=1时,b1=1;n≥2时,bn=Sn﹣Sn﹣1=n,即可证明.‎ ‎(2)通过题意,易得数列{an}的通项公式为an=2n,‎ 当m=2k﹣1(k≥2,k∈N*)时,数列{cn}共有(2k﹣1)+1+2+…+(2k﹣2)=k(2k﹣1)项,‎ 其所有项的和为Sk(2k﹣1)=(2+22+…+22k﹣1)+[﹣1+22﹣32+42﹣…﹣(2k﹣3)2+(2k﹣2)2]= m(m﹣1)+2m+1﹣2.取m=2017时,可得数列{cn}中所有项的和.‎ ‎(3)不等式,即不等式(n+1)≤(n+1)λ≤,化为:f(n)=≤λ≤1+=g(n).通过验证:n=1,2,3时不等式不成立.n≥4时,f(n)≥f(n)=6,g(n)<6.即可得出结论.‎ ‎【解答】(1)证明:n=1时,b1=1;n≥2时,bn=Sn﹣Sn﹣1=﹣=n.n=1时也成立.‎ ‎∴bn=n为等差数列,首项与公差都为1.‎ ‎(2)解:通过题意,易得数列{an}的通项公式为an=2n,‎ 当m=2k﹣1(k≥2,k∈N*)时,‎ 数列{cn}共有(2k﹣1)+1+2+…+(2k﹣2)=k(2k﹣1)项,‎ 其所有项的和为Sk(2k﹣1)=(2+22+…+22k﹣1)+[﹣1+22﹣32+42﹣…﹣(2k﹣3)2+(2k﹣2)2]‎ ‎=2(22k﹣1﹣1)+[3+7+…+(4k﹣5)]‎ ‎=22k﹣2+(2k﹣1)(k﹣1)‎ ‎=m(m﹣1)+2m+1﹣2.‎ ‎∴m=2017时,数列{cn}中所有项的和=22018+2033134.‎ ‎(3)不等式,‎ 即不等式(n+1)≤(n+1)λ≤,‎ 化为:f(n)=≤λ≤1+=g(n).‎ ‎∵f(n)≥f(3)=5+,g(n)≤g(1)=6.而n=1,2,3时不等式不成立.‎ n≥4时,f(n)≥f(n)=6,g(n)<6.因此不存在n∈N*,‎ 使不等式成立.‎ ‎ ‎ ‎2017年1月12日

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