（毕节专版）2019年中考数学复习专题7圆的综合（精讲）试题.doc

1 专题七　圆的综合 毕节中考备考攻略 纵观近 5 年毕节中考数学试卷,圆的综合考查在每年的第 26 题出现,主要呈现等腰三角形模型、垂径定理模型 和直角三角 形模型,其中 2014 年第 26 题属 于直角三角形模型；2015 年第 26 题属于等腰三角形模型；2016 年第 26 题属于直角三角形模型和等腰三角形模型；2017 年第 26 题属于直角三角形模型和垂径定理模型；2018 年第 26 题属于等腰三角形模型和直角三角形模型,切线的判定为必考考点,2019 年第 26 题将继续考查. 解决圆的综合问题的几个要点： (1)已知圆周角或者圆心角的度数或等量关系,找同弧或等弧所对的其他圆周角或者圆心角； (2)已知直径,找直径所对的圆周角； (3)已知切线或证 明相切关系,连接过切点的半径； (4)已知“弦的中点”和“弧的中点”,连接中点和圆心,利用垂径定理的推论得出相关结果； (5)圆心是直径的中点,考虑中位线； (6)同圆的半径相等,连接两条半径,考虑等腰三角形的性质；圆内的等腰三角形,计算线段长,考虑垂径定理； (7)角平分线、平行、等腰中“知二得一”. 中考重难点突破 　垂径定理模型 例 1　(2018·郴州中考)已知 BC 是⊙O 的直径,点 D 是 BC 延长线上一点,AB＝AD,AE 是⊙O 的弦,∠AEC＝30°. (1)求证：直线 AD 是⊙O 的切线； (2)若 AE⊥BC,垂足为点 M,⊙O 的半径为 4,求 AE 的长. 【解析】(1)先得出∠ABC＝30°,进而求出∠OAB＝30°,∠BAD＝120°,结论得证； (2)先求出∠AOC＝60°,用三角函数求出 AM,再用垂径定理即可得出结果. 【答案】(1)证明：连接 OA. ∵∠AEC＝30°,∴∠ABC＝30°. ∵AB＝AD, ∴∠D＝∠ABC＝30 °. 根据三角形的内角和定理得,∠BAD＝120°. ∵OA＝OB,∴∠OAB＝∠ABC＝30°, ∴∠OAD＝∠BAD－∠OAB＝90°, ∴OA⊥AD. ∵点 A 在⊙O 上, ∴直线 AD 是⊙O 的切线；2 (2)解：∵∠A EC＝30°,∴∠AOC＝60°. ∵BC⊥AE 于点 M,∴AE＝2AM,∠OMA＝90°. 在 Rt△AOM 中, AM＝OA·sin ∠AOM＝4×sin 60°＝2 3, ∴AE＝2AM＝4 3. 　等腰三角形模型 例 2　(2018· 永州中考)如图,线段 AB 为⊙O 的直径,点 C,E 在⊙O 上, BC︵ ＝CE︵ ,CD⊥AB,垂足为点 D,连接 BE, 弦 BE 与线段 CD 相交于点 F. (1)求证：CF＝BF； (2)若 cos ∠ABE＝ 4 5,在 AB 的延长线上取一点 M,使 BM＝4,⊙O 的半径为 6.求证：直线 CM 是⊙O 的切线.【解 析】(1)延长 CD 交⊙O 于点 G,如图,利用垂径定理得到 BC︵ ＝BG︵ ,则可证明CE︵ ＝BG︵ ,然后根据圆周角定理得∠CBE＝ ∠GCB,从而得到 CF＝BF； (2)连接 OC 交 BE 于点 H,如图,先利用垂径定理得到 OC⊥BE,再在 Rt△OBH 中利用解直角三角形得到 BH＝ 24 5 ,OH＝ 18 5 ,接着证明△OHB∽△OCM 得到∠OCM＝∠OHB＝90°,然后根据切线的判定定理得到结论. 【答案】证明：(1)延长 CD 交⊙O 于点 G. ∵CD⊥AB,∴BC︵ ＝BG︵ . ∵BC︵ ＝CE︵ ,∴CE︵ ＝BG︵ , ∴∠CBE＝∠GCB,∴CF＝BF； (2)连接 OC 交 BE 于点 H,如图. ∵BC︵ ＝CE︵ ,∴OC⊥BE. 在 Rt△OBH 中,cos ∠OBH＝ BH OB＝ 4 5,∴BH＝ 4 5×6＝ 24 5 ,∴OH＝ 62－(24 5 ) 2 ＝ 18 5 .3 ∵ OH OC＝ 18 5 6 ＝ 3 5, OB OM＝ 6 6＋4＝ 3 5,∴ OH OC＝ OB OM. 又∵∠HOB＝∠COM,∴△OHB∽△OCM, ∴∠OCM＝∠OHB＝90°,∴OC⊥CM, ∴直线 CM 是⊙O 的切线. 1.(2018·宿迁中考)如图,AB,AC 分别是⊙O 的直径和弦,OD⊥AC 于点 D,过点 A 作⊙O 的切线与 OD 的延长线交 于点 P,PC,AB 的延长线交于点 F. (1)求证：PC 是⊙O 的切线； (2)若∠ABC＝60°,AB＝10,求线段 CF 的长. (1)证明：连接 OC. ∵OD⊥AC,OD 经过圆心 O, ∴AD＝CD,∴PA＝PC. 在△OAP 和△OCP 中, {OA＝OC， PA＝PC， OP＝OP， ∴△OAP≌△OCP(SSS),∴∠OCP＝∠OAP. ∵PA 是⊙O 的切线,∴∠OAP＝90°. ∴∠OCP＝90°,即 OC⊥PC, ∴PC 是⊙O 的切线； (2)解：∵AB 是直径,∴∠ACB＝90°. ∵∠ABC＝60°,∴∠CAB＝30°,∴∠COF＝60°. ∵PC 是⊙O 的切线,AB＝10, ∴OC⊥PF,OC＝OB＝ 1 2AB＝5, ∴CF＝OC·tan ∠COF＝5 3. 2.(2018·白银中考)如图,在△ABC 中,∠ABC＝90°.4 (1)作∠ACB 的平分线交 AB 边于点 O,再以点 O 为圆心,OB 的长为半径作⊙O；(要求：不写作法,保留作图痕迹) (2)判断(1)中 AC 与⊙O 的位置关系,直接写出结果. 解：(1)如图； (2)相切.过点 O 作 OD⊥AC 于点 D. ∵CO 平分∠ACB, ∴OB＝OD,即圆心 O 到直线 AC 的距离 d＝r, ∴⊙O 与直线 AC 相切.3.(2018·玉林中考)如图,在△ABC 中,以 AB 为直径作⊙O 交 BC 于点 D,∠DAC＝∠B. (1)求证：AC 是⊙O 的切线； (2)点 E 是 AB 上一点,若∠BCE＝∠B,tan ∠B＝ 1 2,⊙O 的半径是 4,求 EC 的长. (1)证明：∵AB 是直径, ∴∠ADB＝90°,∴∠B＋∠BAD＝90°. ∵∠DAC＝∠B,∴∠DAC＋∠BAD＝90°, ∴∠BAC＝90°,∴AB⊥AC.又∵AB 是直径, ∴AC 是⊙O 的切线； (2)解：∵∠BCE＝∠B,∴EC＝EB. 设 EC＝EB＝x. 在 Rt△ABC 中,tan ∠B＝ AC AB＝ 1 2,AB＝8, ∴AC＝4. 在 Rt△AEC 中,EC2＝AE2＋AC2, ∴x2＝(8－x)2＋42,解得 x＝5, ∴EC＝5. 　直角三角形模型 例 3　(2018·聊城中考)如图,在 Rt△ABC 中,∠C＝90°,BE 平分∠ABC 交 AC 于点 E,作 ED⊥EB 交 AB 于点 D, ⊙O 是△BED 的外接圆.5 (1)求证：AC 是⊙O 的切线； (2)已知⊙O 的半径为 2.5,BE＝4,求 BC,AD 的长. 【解析】(1)连接 OE,由 OB＝OE 知∠OBE＝∠OEB,又由 BE 平分∠ABC 知∠OBE＝∠CBE,据此得∠OEB＝∠CBE,从 而得出 OE∥BC,进一步即可得证； (2)证△BDE∽△BEC 得 BD BE＝ BE BC,据此可求得 BC 的长度,再证△AOE∽△ABC 得 AO AB＝ OE BC,据此可得 AD 的长. 【答案】(1)证明：连接 OE. ∵OB＝OE, ∴∠OBE＝∠OEB. ∵BE 平分∠ABC, ∴∠OBE＝∠CBE. ∴∠OEB＝∠CBE, ∴OE∥BC. 又∵∠C＝90°,∴∠AEO＝90°,即 OE⊥AC. ∴AC 是⊙O 的切线； (2)解：∵ED⊥BE,∴∠BED＝∠C＝90°. 又∵∠DBE＝∠EBC,∴△BDE∽△BEC, ∴ BD BE＝ BE BC,即 5 4＝ 4 BC,∴BC ＝ 16 5 . ∵∠AEO＝∠C＝90°,∠A＝∠A, ∴△AOE∽△ABC,∴ AO AB＝ OE BC,即 AD＋2.5 AD＋5 ＝ 2.5 16 5 , ∴AD＝ 45 7 . 4.(2018·柳州中考)如图,△ABC 为⊙O 的内接三角形,AB 为⊙O 的直径,过点 A 作⊙O 的切线交 BC 的延长线于 点 D. (1)求证：△DAC∽△DBA；6 (2)过点 C 作⊙O 的切线 CE 交 AD 于点 E,求证：CE＝ 1 2AD； (3)若点 F 为直径 AB 下方半圆的中点,连接 CF 交 AB 于点 G,且 AD＝6,AB＝3,求 CG 的长. (1)证明：∵AB 是⊙O 直径, ∴∠ACD＝∠ACB＝90°. ∵AD 是⊙O 的切线, ∴∠BAD＝90°, ∴∠ACD＝∠BAD＝90°. ∵∠D＝∠D, ∴△DA C∽△DBA； (2)证明：∵EA,EC 是⊙O 的切线, ∴AE＝CE(切线长定理).∴∠DAC＝∠ECA. ∵∠ACD＝90°, ∴∠ACE＋∠DCE＝90°,∠DAC＋∠D＝90°. ∴∠D＝∠DCE.∴DE＝CE. ∴AD＝AE＋DE＝CE＋CE＝2CE. ∴CE＝ 1 2AD； (3)解：在 Rt△ABD 中, AD＝6,AB＝3, ∴tan ∠ABD＝ AD AB＝2. 过点 G 作 GH⊥BD 于点 H, 则 tan ∠ABD＝ GH BH＝2,∴GH＝2BH. ∵点 F 是直径 AB 下方半圆的中点,∴∠BCF＝45°.∴∠CGH＝∠CHG－∠BCF＝45°, ∴CH＝GH＝2BH,∴BC＝BH＋CH＝3BH. 在 Rt△ABC 中,tan ∠ABC＝ AC BC＝2,∴AC＝2BC. 根据勾股定理,得 AC2＋BC2＝AB2, ∴4BC2＋BC2＝9,∴BC＝ 3 5 5 .7 ∴BH＝ 5 5 ,∴GH＝2B H＝ 2 5 5 . 在 Rt△CHG 中,∠BCF＝45°, ∴CG＝ 2GH＝ 2 10 5 . 毕节中考专题过关 1.(2018·昆明中考)如图,AB 是⊙O 的直径,ED 切⊙O 于点 C,AD 交⊙O 于点 F,AC 平分∠BAD,连接 BF. (1)求证：AD⊥ED； (2)若 CD＝4,AF＝2,求⊙O 的半径. (1)证明：连接 OC,如图. ∵AC 平分∠BAD,∴∠OAC＝∠CAD. ∵OA＝OC,∴∠OAC＝∠OCA, ∴∠CAD＝∠OCA,∴OC∥AD. ∵ED 切⊙O 于点 C,∴OC⊥ED, ∴AD⊥ED； (2)解：设 OC 交 BF 于点 H,如图. ∵AB 为直径,∴∠AFB＝90°, 易得四边形 CDFH 为矩形, ∴FH＝CD＝4,∠CHF＝90°, ∴OH⊥BF,∴BH＝FH＝4,∴ BF＝8. 在 Rt△ABF 中, AB＝ AF2＋BF2＝ 22＋82＝2 17, ∴⊙O 的半径为 17. 2.(2018·北部湾中考)如图,△ABC 内接于⊙O,∠CBG＝∠A,CD 为直径,OC 与 AB 相交于点 E,过点 E 作 EF⊥BC, 垂足为点 F,延长 CD 交 GB 的延长线于点 P,连接 BD. (1)求证：PG 与⊙O 相切； (2)若 EF AC＝ 5 8,求 BE OC的值； (3)在(2)的条件下,若⊙O 的半径为 8,PD＝OD,求 OE 的长. 　　8 (1)证明：连接 OB,则 OB＝OD, ∴∠BDC＝∠DBO. ∵∠BDC＝∠BAC＝∠CBG, ∴∠CBG＝∠DBO. ∵CD 是⊙O 的直径,∴∠DBO＋∠OBC＝90°, ∴∠CBG＋∠OBC＝90°,∴∠OBG＝90°, ∴PG 与⊙O 相切； (2)解：过点 O 作 OM⊥AC 于点 M,连接 OA, 则∠AOM＝∠COM＝ 1 2∠AOC. 又∵∠BFE＝∠OMA＝90°, ∠EBF＝ 1 2∠AOC＝∠AOM, ∴△BEF∽△OAM,∴ EF AM＝ BE OA. ∵AM＝ 1 2AC,OA＝OC,∴ EF 1 2AC ＝ BE OC. 又∵ EF AC＝ 5 8,∴ BE OC＝2× EF AC＝2× 5 8＝ 5 4； (3)解：∵PD＝OD,∠PBO＝90°,∴BD＝OD＝8. 在 Rt△DBC 中,BC＝ DC2－BD2＝8 3, cos ∠BDO＝ BD CD＝ 8 16＝ 1 2,∴∠BDO＝60°, ∴∠OCB＝30°,∴ EF EC＝ 1 2, FC EF＝ 3. 设 EF＝x,则 EC＝2x,FC＝ 3x, ∴BF＝8 3－ 3x. 在 Rt△BEF 中,BE2＝EF2＋BF2,BE＝ 5 4OC＝10. ∴100＝x2＋(8 3－ 3x)2,解得 x＝6± 13. ∵6＋ 13＞8(舍去),∴x＝6－ 13, ∴EC＝12－2 13. ∴OE＝8－(12－2 13)＝2 13－4. 3. (2018·襄阳中考)如图,AB 是⊙O 的直径,AM 和 BN 是⊙O 的两条切线, E 为⊙O 上一点,过点 E 作直线 DC 分 别交 AM,BN 于点 D,C,且 CB＝CE. 9 (1)求证：DA＝DE； (2)若 AB＝6,CD＝4 3,求图中阴影部分的面积. (1)证明：连接 OE,OC,BE. ∵OB＝OE,∴∠OBE＝∠OEB. ∵CB＝CE,∴∠CBE＝∠CEB, ∴∠OBC＝∠OEC. ∵BC 为⊙O 的切线, ∴∠OEC＝∠OBC＝90°. ∵OE 为半径,∴CD 为⊙O 的切线. ∵AD 切⊙O 于点 A,∴DA＝DE； (2)解：过点 D 作 DF⊥BC 于点 F,则四边形 ABFD 是矩形, ∴AD＝BF,DF＝AB＝6, ∴DC＝BC＋AD＝4 3. ∵FC＝ DC2－DF2＝2 3,∴BC－AD＝2 3,∴BC＝3 3. 在 Rt△OBC 中,tan ∠BOC＝ BC BO＝ 3, ∴∠BOC＝60°. 在△OEC 与△OBC 中, {OE＝OB， OC＝OC， CE＝CB， ∴△OEC≌△OBC(SSS), ∴∠BOE＝2∠BOC＝120°. ∴S 阴影＝S 四边形 BCEO－S 扇形 OBE＝2× 1 2BC·OB－ 120 × π × OB2 360 ＝9 3－3π.