衡阳八中永州四中2016年下期高二年级文科实验班
第一次联考
（试题卷）
注意事项：
1.本卷为衡阳八中永州四中高二年级文科实验班第一次联考试卷，分两卷。其中共22题，满分150分，考试时间为120分钟。
2.考生领取到试卷后，应检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，如有请立即向监考老师通报。开考15分钟后，考生禁止入场，监考老师处理余卷。
3.请考生将答案填写在答题卡上，选择题部分请用2B铅笔填涂，非选择题部分请用黑色0.5mm签字笔书写。考试结束后，试题卷与答题卡一并交回。
★预祝考生考试顺利★
第I卷 选择题（每题5分，共60分）
本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的。
1.已知命题p：对任意x∈R，总有2x＞0；q：“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（ ）
A．p∧q B．￢p∧￢q C．￢p∧q D．p∧￢q
2.椭圆的焦距为2，则m的值等于（ ）
A．5或3 B．8 C．5 D．或
3.已知圆M：x2+（y+1）2=1，圆N：x2+（y﹣1）2=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C，则C的方程为（ ）
A． +=1（y≠﹣2） B． +=1
C． +=1（x≠﹣2） D． +=1
4.已知椭圆的左右焦点分别为、，过点的直线与椭圆交于两点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（ ）
A. B.
C. D.
5.下列有关命题的说法正确的是（ ）
A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”
B．若p∨q为真命题，则p，q均为真命题
C．命题“存在x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“对任意x∈R，均有x2+x+1＜0”
D．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题
6.设F1，F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|=4|PF2|，则△PF1F2的面积等于（ ）
A． B． C．24 D．48
7.如图，已知椭圆C1： +y2=1，双曲线C2：﹣=1（a＞0，b＞0），若以C1的长轴为直径的圆与C2的一条渐近线交于A、B两点，且C1与该渐近线的两交点将线段AB三等分，则C2的离心率为（ ）
A． B．5 C． D．
8.已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧， •=2（其中O为坐标原点），则△AFO与△BFO面积之和的最小值是（ ）
A． B． C． D．
9.设双曲线的中心为点，若有且只有一对相交于点.所成的角为的直线和，使，其中.和.分别是这对直线与双曲线的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是
（ ）
A. B. C.D.
10.已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x﹣4y=0交椭圆E于A，B两点，若|AF|+|BF|=4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是( )
A．（0，] B．（0，] C．[，1） D．[，1）
11.已知椭圆C： +y2=1，点M1，M2…，M5为其长轴AB的6等分点，分别过这五点作斜率为k（k≠0）的一组平行线，交椭圆C于P1，P2，…，P10，则直线AP1，AP2，…，AP10这10条直线的斜率乘积为（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．﹣
12.如图，长方体中，.设长方体的截面四边形的内切圆为O，圆O的正视图是椭圆，则椭圆的离心率等于
A. B. C. D.
第II卷 非选择题（共90分）
二.填空题（每题5分，共20分）
13.已知条件p：x＞a，条件q：x2+x﹣2＞0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 ．
14.已知命题p：∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0；命题q：∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是 .
15.设O为坐标原点，抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线为l，焦点为F，过F斜率为的直线与抛物线C相交于A，B两点，直线AO与l相交于D，若|AF|＞|BF|，则= ．
16.已知椭圆：，点与的焦点不重合，若关于的两焦点的对称点分别为，，线段的中点在上，则 ．
三.解答题（共6题，共70分）
17.（本题满分10分）已知p：x2﹣2x﹣8≤0，q：x2+mx﹣2m2≤0，m＞0．
（1）若q是p的必要不充分条件，求m的取值范围；
（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求m的取值范围．
18.（本题满分12分）已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）与双曲线﹣y2=1的离心率互为倒数，且直线x﹣y﹣2=0经过椭圆的右顶点．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设不过原点O的直线与椭圆C交于M、N两点，且直线OM、MN、ON的斜率依次成等比数列，求△OMN面积的取值范围．
19.（本题满分12分）已知双曲线的离心率为，实轴长为2.
（1）求双曲线C的方程；
（2）已知直线与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆上，求的值．
20.（本题满分12分）平面直角坐标系xOy中，过椭圆C：（a＞b＞0）右焦点的直线l：y=kx﹣k交C于A，B两点，P为AB的中点，当k=1时OP的斜率为．
（Ⅰ） 求C的方程；
（Ⅱ） x轴上是否存在点Q，使得k变化时总有∠AQO=∠BQO，若存在请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
21.（本题满分12分）在平面直角坐标系x0y中，已知点A（﹣，0），B（），E为动点，且直线EA与直线EB的斜率之积为﹣．
（Ⅰ）求动点E的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设过点F（1，0）的直线l与曲线C相交于不同的两点M，N．若点P在y轴上，且|PM|=|PN|，求点P的纵坐标的取值范围．
22.（本题满分12分）已知椭圆C 上点到两焦点的距离和为，短轴长为，直线l与椭圆C交于M、 N两点.
（Ⅰ）求椭圆C方程；
（Ⅱ）若直线MN与圆O 相切，证明：为定值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求的取值范围．
衡阳八中永州四中2016年下期高二年级文科实验班第一次联考数学答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
A
A
D
D
C
A
B
A
A
B
B
13.[1，+∞）
14.a≤﹣2或a=1
15.
16.16
17.∵p：x2﹣2x﹣8≤0，∴﹣2≤x≤4，
∵q：x2+mx﹣2m2≤0，m＞0，∴﹣2m≤x≤m；
（1）若q是p的必要不充分条件，
则p⇒q，
∴，（=不同时成立），
解得：m≥4；
（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，
则q是p的充分不必要条件，
故（=不同时成立），
解得：m≤1．
18.（Ⅰ）∵双曲线的离心率为，所以椭圆的离心率，
又∵直线x﹣y﹣2=0经过椭圆的右顶点，
∴右顶点为（2，0），即a=2，c=，b=1，
∴椭圆方程为：．
（Ⅱ）由题意可设直线的方程为：y=kx+m•（k≠0，m≠0），M（x1，y1）、N（x2，y2）
联立消去y并整理得：（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0
则，
于是
又直线OM、MN、ON的斜率依次成等比数列．
∴
由m≠0得：
又由△=64k2m2﹣16（1+4k2）（m2﹣1）=16（4k2﹣m2+1）＞0，得：0＜m2＜2
显然m2≠1（否则：x1x2=0，则x1，x2中至少有一个为0，
直线OM、ON中至少有一个斜率不存在，与已知矛盾）
设原点O到直线的距离为d，则
∴故由m的取值范围可得△OMN面积的取值范围为（0，1）
19.（1）由题意，得，解得，
∴，∴所求双曲线的方程为.………………5分
（2）设A、B两点的坐标分别为，线段AB的中点为，
由得（判别式）, ………………8分
∴,………………10分
∵点在圆上， ∴，∴.………………12分
20.（Ⅰ）因为l：y=kx﹣k过定点（1，0），所以c=1，a2=b2+1．
当k=1时，直线l：y=kx﹣k，联立，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
化简得（2b2+1）x2﹣2（b2+1）x+1﹣b4=0，
则，
于是，
所以AB中点P的坐标为，
OP的斜率为，所以b=1，．
从而椭圆C的方程为；
（Ⅱ）假设存在点Q设坐标为（m，0），联立，
化简得：（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，
所以，，
直线AQ的斜率，直线BQ的斜率．，
当m=2时，kAQ+kBQ=0，
所以存有点Q（2，0），使得∠AQO=∠BQO．
21.
（Ⅰ）设动点E的坐标为（x，y），
∵点A（﹣，0），B（），E为动点，且直线EA与直线EB的斜率之积为﹣，
∴，
整理，得，x≠，
∴动点E的轨迹C的方程为，x．
（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，满足条件的点P的纵坐标为0，
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x﹣1），
将y=k（x﹣1）代入，并整理，得
（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，
△=8k2+8＞0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），则，x1x2=，
设MN的中点为Q，则，，
∴Q（，﹣），
由题意知k≠0，
又直线MN的垂直平分线的方程为y+=﹣，
令x=0，得yP=，
当k＞0时，∵2k+，∴0＜；
当k＜0时，因为2k+≤﹣2，所以0＞yP≥﹣=﹣．
综上所述，点P纵坐标的取值范围是[﹣]．
22.（Ⅰ）由椭圆C 上点到两焦点的距离和为，
得2a=，即 ；由短轴长为，得2b=，即
所以椭圆C方程：
（Ⅱ）当直线MN轴时，因为直线MN与圆O相切，所以直线MN方程：x=或x=-，当直线方程为x=，得两点分别为（，）和（，-），故=0，可证=；同理可证当x=-，=；
当直线MN与x轴不垂直时，设直线MN：y=kx+b，直线MN与圆O的交点M，N
由直线MN与圆O相切得：d=，即25 ①;
联立y=kx+b，，得，
因此，=-，=；
由=+=+
=（1+k）+kb（）+b= ②；
由①②得=0，即=；
综上=（定值）.
（Ⅲ）不妨设，则，
由三角函数定义可知M（cos，sin），N（sin，cos）
因为点M、N都在上，
所以=， =
=
=（）（）
=916+（9-16）2
=916+（9-16），
又[0，1]，故（）[916，（）]
因此 [].
微信/支付宝扫码支付