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协作体高三考试卷
理 科 数 学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．复数等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，故选C．
2．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】集合，，
∴，故选C．
3．函数的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题得，所以函数是偶函数，
所以图像关于y轴对称，所以排除A，C．由题得，所以D错误，
故答案为B．
4．已知两个单位向量和夹角为，则向量在向量方向上的投影为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，
则向量在向量方向上的投影为：．
故选D．
5．已知双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，
可得，解得，则双曲线的标准方程是．故选D．
6．在中，，，，则角等于（ ）
A．或 B． C． D．
【答案】A
【解析】∵，，，∴由正弦定理得：．
则，
又∵，，∴或．故选A．
7．学校就如程序中的循环体，送走一届，又会招来一级。老师们目送着大家远去，渐行渐远．．．．．．执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的结果为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】输入，，，，；
，，；
，，；
，结束运算，输出，故选C．
8．从装有3个白球，4个红球的箱子中，随机取出了3个球，恰好是2个白球，1个红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题得恰好是2个白球1个红球的概率为．故答案为C．
9．在长方体中，，与所成的角为，
则（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】D
【解析】如图所示，连接，
∵，∴是异面直线与所成的角，即，
在中，，
在中，有，
即．故选D．
10．将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图像，若在上为增函数，则的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】函数
，
的图象向左平移个单位，得的图象，
∴函数；
又在上为增函数，∴，即，解得，
所以的最大值为2．故选B．
11．函数对任意的实数都有，若的图像关于对称，且，则（ ）
A．0 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】因为的图像关于对称，
所以的图像关于对称，即为偶函数，
因为，
所以，所以，，
因此，，，故选B．
12．设，分别为椭圆的右焦点和上顶点，为坐标原点，是直线与椭圆在第一象限内的交点，若，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
根据，由平面向量加法法则，
则有为平行四边形的对角线，故，
联立椭圆、直线方程，
可得，∵，则，
，
可得，∴，故选A．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．曲线在点处的切线方程为__________．
【答案】．
【解析】的导数，
则在处的切线斜率为，切点为，
则在处的切线方程为，即为．
故答案为．
14．若变量，满足约束条件，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】作出不等式组对应的平面区域如图所示阴影部分；
由得，即直线的截距最大，也最大；
平移直线，可得直线经过点时，截距最大，此时最大，
即；经过点时，截距最小，由，得，
即，此时最小，为；
即的取值范围是，故答案为．
15．已知，，则__________．
【答案】
【解析】∵，，∴，
则，解得．
∴．
故答案为．
16．四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面是以为斜边的等腰直角三角形，若四棱锥的体积取值范围为，则该四棱锥外接球表面积的取值范围是______．
【答案】
【解析】四棱锥中，
可得：；平面平面平面，
过作于，则平面，
设，故，
所以，，
在中，，则有，，
所以的外接圆半径，
将该四棱锥补成一个以为一个底面的直三棱柱，
得外接球的半径，，
所以．
故答案为．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（12分）设为数列的前项和，已知，．
（1）证明：为等比数列；
（2）求的通项公式，并判断，，是否成等差数列？
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】（1）证明：∵，，∴，∴，
∴，，
∴是首项为2，公比为2的等比数列．
（2）由（1）知，，∴，
∴，
∴∴，
即，，成等差数列．
18．（12分）某体育公司对最近6个月内的市场占有率进行了统计，结果如表：
（1）可用线性回归模型拟合与之间的关系吗？如果能，请求出关于的线性回归方程，如果不能，请说明理由；
（2）公司决定再采购，两款车扩大市场，，两款车各100辆的资料如表：
平均每辆车每年可为公司带来收入500元，不考虑采购成本之外的其他成本，假设每辆车的使用寿命都是整数年，用每辆车使用寿命的频率作为概率，以每辆车产生利润的期望值作为决策依据，应选择采购哪款车型？
参考数据：，，，．
参考公式：相关系数；
回归直线方程，其中，．
【答案】（1）；（2）见解析．
【解析】（1）∵，，，．
∴，
所以两变量之间具有较强的线性相关关系，
故可用线性回归模型拟合两变量之间的关系．
，
又，，
∴，∴回归直线方程为．
（2）用频率估计概率，款车的利润的分布列为：
∴（元）．
款车的利润的分布列为：
∴（元）．
以每辆车产生利润俄期望值为决策依据，故应选择款车型．
19．（12分）如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点．
（1）证明：；
（2）若为棱上一点，满足，求二面角的余弦值．
【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）依题意，以点为原点，以为轴建立空间直角坐标系如图，可得，，，，
由为棱的中点，得．
向量，，
故，．
（2），，，，
由点在棱上，设，，
故，
由，得，
因此，，即，
设为平面的法向量，则，即，
不妨令，可得为平面的一个法向量
取平面的法向量，则，
所以二面角的余弦值为．
20．（12分）已知的直角顶点在轴上，点，为斜边的中点，且平行于轴．
（1）求点的轨迹方程；
（2）设点的轨迹为曲线，直线与的另一个交点为．以为直径的圆交轴于、，记此圆的圆心为，，求的最大值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）设点的坐标为，
则的中点的坐标为，点的坐标为．
，，
由，得，即，
经检验，当点运动至原点时，与重合，不合题意舍去．
所以轨迹的方程为．
（2）依题意，可知直线不与轴重合，设直线的方程为，
点、的坐标分别为、，圆心的坐标为．
由，可得，
∴，．
∴，∴．
∴圆的半径．
过圆心作于点，则．
在中，，
当，即垂直于轴时，取得最小值为，取得最大值为，
所以的最大值为．
21．（12分）已知函数．
（1）若，证明：当时，；
（2）若在有两个零点，求的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）证明：当时，函数．则，
令，则，令，得．
当时，，当时，
∴在单调递增，∴．
（2）解：在有两个零点方程在有两个根，
在有两个根，
即函数与的图像在有两个交点．，
当时，，在递增
当时，，在递增
所以最小值为，
当时，，当时，，
∴在有两个零点时，的取值范围是．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】
在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线的参数方程为．以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程是．
（1）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）已知点．若点的极坐标为，直线经过点且与曲线相交于，两点，求，两点间的距离的值．
【答案】（1）见解析；（2）8．
【解析】（1）； 曲线的直角坐标方程为；
（2）∵的极坐标为，∴点的直角坐标为．
∴，直线的倾斜角．
∴直线的参数方程为．
代入，得．
设，两点对应的参数为，，则，
∴．
23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】
已知函数
（1）求不等式的解集；
（2）关于的不等式的解集不是空集，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）∵，∴，
当时，不等式可化为，解得，所以；
当，不等式可化为，解得，无解；
当时，不等式可化为，解得，所以
综上所述，．
（2）因为，
且的解集不是空集，
所以，即的取值范围是．
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