2016年高考模拟考试试题
数 学（文科）
考生注意：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2．考生作答时，请将答案答在答题卡上。第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；第Ⅱ卷请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合A=│-1，集合B=，则= （ ）
A． B． C． D．
2. 复数 （ ）
A. B. C. D.
3. 已知向量，若∥，则= （ ）
A. 或2 B. 或1 C. 1或2 D. 或
4. “sinA=”是“A=30°”的 （ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 实数x，y满足则的最大值是（ ）
A. B. 0 C. 3 D. 4
6. 阅读如图的程序框图，则输出的S为 （ ）
A. B.
C. 2 D.
7. log2sin + log2cos的值为 （ ）
A. B. C. D. 1
8. 已知函数 对任意实数都有成立，若当时，恒成立，则的取值范围是 （ ）
A. B. C. D.
9. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a,b,c，已知（ ）
A. B. C. D.
10. 函数在区间（0，1）内的零点个数是 （ ）
A. 0 B.1 C.2 D.3
11. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的体积为
（ ）
A. π B. π
C.π D. π
12. 过双曲线的右顶点A作斜率为-1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B，C.若，则双曲线的离心率是 （ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分.第（13）题～第（21）题为必考题，每个题目考生都必须作答.第（22）题～第（24）题为选考题，考生根据要求作答.
一、 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知F是抛物线的焦点，A，B是该抛物线上的两点，若│AF│+│BF│=5，则线段AB的中点到y轴的距离为 .
14. 在区间［,］上任取一个数a,则函数有极值的概率为 .
15. 对于大于或等于2的自然数n的二次方幂有如下分解方式：22=1+3,32=1+3+5,42=1+3+5+7,…，根据上述分解规律，对任意自然数n,当n≥2时，有n2= .
16. 已知四棱柱ABCD - A1B1C1D1中，侧棱A A1⊥底面ABCD，且A A1 = 2，底面ABCD的边长均
大于2 ，且∠DAB=45°，点P在底面ABCD内运动，且在AB，AD上射影分别为M ，N ，若│PA│= 2，则三棱锥P-D1MN的体积的最大值为 .
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. （本小题满分12分）
已知数列为公差不为零的等差数列，a1=1,各项均为正数的等比数列的第1项、第
3项、第5项分别是a1，a3，a21.
（1）求数列与的通项公式；
（2）求数列的前n项和.
18. （本小题满分12分）
为考察性别是否对喜欢数学课程有影响，从某学校随机调查了1100名学生，得到如下列联表：
男
女
总计
喜欢
400
200
600
不喜欢
200
300
500
总计
600
500
1100
（1）利用等高条形图判断性别是否对喜欢数学课程有影响？
（2）能否有99%的把握认为性别对喜欢数学课程有影响？
P（K2≥k）
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
k
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
19. （本小题满分12分）
如图，PC⊥平面ABC，DA∥PC，PD⊥CD，AC=BC=1，PC=2，AB=.
（1）求证：PD⊥平面BCD；
（2）设Q为PB的中点，求三棱锥Q－BCD的体积.
20. （本小题满分12分）
已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率是，且过点P（）.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）直线l过点E（-1，0）且与椭圆C交于A，B两点，若│EA│=2│EB│，求直线l的方程.
21. （本小题满分12分）
已知函数（a为常数）.
（1）若曲线y=f(x)在x=1处的切线过坐标原点，求a的值；
（2）试讨论函数f(x)的单调性.
请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分，作做答时请写清题号.
22. （本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图所示，过圆O外一点M作它的一条切线，切点为A，
过A点作直线AP垂直于直线OM，垂足为P.
（1）证明：OM·OP=OA2；
（2）N为线段AP上一点，直线NB垂直于直线ON，且交圆
O于B点.过B点的切线交直线ON于K点.
证明：∠OKM=90°.
23. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为
（ 为参数），直线l经过定点P（3，5），倾斜角为.
（1）写出直线l的参数方程和曲线C的标准方程；
（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，求│PA│·│PB│的值.
24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
设││││.
（1）若不等式≤a的解集为，求a的值；
（2）若，＜m2，求m的取值范围.
2016年高考模拟考试数学（文科）试题
参考答案
1. A 【解析】A=│-1≤x≤2}={-1，0，1，2}，B={0，2，4}，则A∩B={0，2}.
2. A 【解析】
3. A 【解析】∵=(1,x),=(x-1,2),∥，∴1×2-x(x-1)=0,∴x=2或x=-1,故选A.
4. B 【解析】本题考查充分必要条件，由“A=30°”能推出“”，反过来不能得出.
5. C 【解析】画出可行域，如图所示，将目标函数z=x-y变形为y=x-z,当z取最大值时，直线y=x-z的纵截距最小，故将直线平移到点B（3，0）时，z取到最大值3.
6. C 【解析】本题考查程序框图等基础知识，i=1,∵1≤2012,
∴∵2≤2012,∴;∵3≤2012，∴，i=4；∵4≤2012,∴,i=5;…，可知其周期为4，因为2012=4×503,所以i=2012,∵2012≤2012，∴S=2，i=2013,∵2013＞2012,∴输出的S=2，应选C.
7. A 【解析】
8. B 【解析】由任意实数x都有f(1-x)=f(1+x)成立，故函数f(x)的图象关于直线x=1对称，所以a=2，则在［-1,1］上，f(x)=-x2+2x+b2-b+1＞0，即x2-2x＜b2-b+1,等价于（x2-2x）max＜b2-b+1,所以3＜b2-b+1,解得b＞2或b＜-1.
9. D 【解析】本题考查正弦定理的应用，由正弦定理知，即
∴∴
10. B 【解析】本题考查函数的零点定理的应用，因为函数f(x)=2x+x3-2单调递增，又f(0)=1-2=-1＜0，f(1)=2+1-2=1＞0，所以根据根的存在定理可知在区间（0，1）内函数的零点个数为1个，故选B.
11. A 【解析】本题考查三视图、几何体的体积.利用几何体的特征求解，由三视图可得该几何体是三条长度分别是3，4，5的侧棱两两垂直的三棱锥，设其外接球的半径为R
，则（2R）2=32+42+52=50，解得所以该几何体外接的体积为
12. C 【解析】由已知得A点坐标为（a，0），直线AB的方程为x+y-a=0,双曲线的渐近线的方程为,联立上述两直线方程可得B，C两点的坐标分别为.由得b=2a,所以离心率.答案选C.
13. 【解析】本题考查抛物线定义、几何性质，利用抛物线定义求解，设A(x1,y1),B(x2,y2),则由抛物线定义可得│AF│+│BF│=5,即,解得所以线段AB的中点到y轴的距离
14. 【解析】本题考查几何概型，利用导数求出函数有极值的a的范围，代入几何概型的概率公式求解，由函数f(x)=有极值得f′(x)=x2-2ax+a+2=0有两个不等的实根，所以（-2a）2-4(a+2)＞0,解得a＜-1或a＞2.又a∈［-2,3］，故所求概率为.
15. 1+3+…+(2n-1) 【解析】本题考查考生的归纳推理能力，等式的右边依次为n个奇数和，所以由归纳推理得，当≥2时，有n2=1+3+…+(2n-1).
16. 【解析】根据条件得三棱锥P-D1MN的体积最大，即底面△PMN的面积最大，再在平面上应用正弦定理、余弦定理、基本不等式求面积的最大值.由条件可得=2,△PMN中，由余弦定理可得MN2=PM2+PN2-2PM·PNcos135°≥(2+)PM·PN,当且仅当PM=PN时取等号，所以PM·PN≤，所以底面△PMN的面积≤，当且仅当PM=PN时取最大值，故三棱锥P-D1MN的体积S△PMN·DD1≤.
17. (1)设数列{an}的公差为d(d≠0)，数列{bn}的公式比为q(q＞0)，……(1分)由题意得=a1a21,∴(1+2d)2=1×（1+20d）,∴4d2-16d=0.∵d≠0，∴d=4,∴an=4n-3.……（4分）于是b1=1,b3=9,b5=81,{bn}的各项均为正数，∴q=3，∴bn=3n-1.……（6分） （2）anbn=(4n-3)3n-1, ……（7分）∴Sn=30+5×31+9×32+…+(4n-7)×3n-2+(4n-3)×3n-1，3Sn=31+5×32+9×33+…+(4n-7)×3n-1+(4n-3)×3n,
两式两边分别相减得
-2Sn=1+4×3+4×32+4×33+…+4×3n-1-(4n-3)×3n ……（9分）
=1+4(3+32+33+…+3n-1)-(4n-3)×3n
=1+
=(5-4n)×3n-5，……（11分）∴……（12分）
18. 解：（1）男生喜欢数学的人数比例是，女生喜欢数学的人数比例是……（2分）
故等高条形图如图所示 ……（4分）
比较图中两个深色条的高可以发现男生喜欢数学的频率明显高于女生喜欢数学的频率，因此可以认为是否喜欢数学与性别有关. ……（6分）
（2）根据列联表的数据，得到
＞10.828, ……（10分）
因此，在犯错误的概率不超过0.001的前提下即能有99%的把握认为性别对喜欢数学课程有影响. （12分）
19. 解：（1）证明：因为PC⊥平面ABC，所以PC⊥BC.在△ABC中，AC=BC=1，AB=，所以AC2+BC2=AB2，所以BC⊥AC.因为所以BC⊥平面PDAC，又PD平面PDAC，所以BC⊥PD.（3分）因为CD平面BCD，BC平面BCD，CDBC=C，所以PD⊥平面BCD.（6分）
（2）由（1）知，BC⊥平面PDAC，所以BC⊥CD.因为AD2+AC2=CD2，CD2+PD2=PC2，PC2+BC2=PB2，PD2+BD2=PB2，AC=BC=1，PC=2，AB=，解得CD=.（9分）所以BC·CD·PD=(12分)
20. 解：（1）由已知可得（3分）解得(6分)
（2）若直线的斜率不存在，显然│EA│=2│EB│不成立.(7分)若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k(x+1).则整理得(4k2+1)x2+8k2x+4k2-4=0.(9分)由△=(8k2)2-4(4k2+1)(4k2-4)=48k2+16＞0.
设A（x1,y1），B(x2,y2),则x1+x2=-① ②（10分）
因为│EA│=2│EB│,即x1+2x2=-3.③
①②③联立解得(11分)所以直线l的方程为y-0=即(12分)
21. 解：（1）函数f(x)的定义域为（0，+∞），f′(x)=2ax+4-,由题意得，f′(1)=2a+2，f(1)=a+4,所以曲线在处切成方程为,(3分) 因为曲线y=f(x)在x=1处的切线过坐标原点，所以0-（a+4）=(2a+2)(0-1)，解得a=2. ……(5分)
（2）函数f(x)的定义域为（0,+∞），f′(x)=当a=0时，令f′(x)＞0得x＞令f′(x)＜0得0＜x＜（6分）当a≠0时，令2ax2+4x-2=0,得判别式△=16+16a=16(1+a),(7分)
①当a≤-1时，△≤0, f′(x)≤0（当且仅当a=-1,x=1时，等号成立）.
②当a＞-1且a≠0时，△＞0，方程2ax2+4x-2=0的两根分别为
（i）当-1＜a＜0时，x1＞x2＞0,令 f′(x)＞0得x2＜x＜x1;
（ii）当a＜0时，x2＞0＞x1,令f′(x)＞0得x＞x2;令f′(x)＜0得0＜x＜x2, ……（10分）
综上所述，当a=0时，函数f(x)在区间（0，）上单调递减，在区间（）上单调递增；
当a≤-1时，函数f(x)在区间（0，+∞）上单调递减；当-1＜a＜0时，函数f(x)在区间（0，）和（）上单调递减，在区间（
）上单调递增；当a＞0时，函数f(x)
在区间（0，）上单调递减，在区间（）上单调递增.（12分）
22.(1)证明：因为MA是圆O的切线，所以OA⊥AM.又因为AP⊥OM，在Rt△OAM中，由射影定理知OA2=OM·OP.(5分)（2）因为BK是圆O的切线，BN⊥OK，同（1）有OB2=ON·OK，又OB=OA，所以OP·OM=ON·OK，即(8分)又∠NOP=∠MOK,所以△ONP∽△OMK,故∠OKM=∠OPN=90°.(10分)
23. 解：（1）曲线C：(x-1)2+(y-2)2=16,直线l:(t为参数). ……（4分）
（2）将直线l的参数方程代入圆C的方程可得t2+(2+)t-3=0, ……（6分）设t1、t2是方程的两个根，则t1t2=-3, ……（8分）所以│PA││PB│=│t1││t2│=│t1t2│=3. ……（10分）
24. 解：（1）f(x)= ……（2分）
当x=时, f(x)=0；当x＜时，f(x)＜0;当x＞时，f(x)＞0，所以a=0. （5分）
（2）不等式f(x)+4m＜m2，即f(x)＜m2-4m，因为f(x)的最小值为-3，
所以问题等价于-3＜m2-4m，(8分）解得m＜1或m＞3,故m的取值范围是（-∞,1）∪(3,+∞）. (10分）
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