第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.已知全集，集合，，则集合可以表示为（ ）
A． B． C． D．
2.设复数在复平面内对应的点关于虚轴对称，且，则（ ）
A． B． C． D．
3.设向量是两个互相垂直的单位向量，且，则（ ）
A． B． C． D．
4.下列判断错误的是（ ）
A．命题“若，则”是假命题
B．命题“”的否定是“”
C．“若，则直线和直线互相垂直”的逆否命题为真命题
D．命题“为真”是命题“为真”的充分不必要条件
6.已知抛物线与双曲线的一个交点为，为抛物线的焦点，若，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
7.某地市高三理科学生有名，在一次调研测试中，数学成绩服从正态分布
，已知，若按成绩分层抽样的方式取份试卷进行分析，则应从分以上的试卷中抽取（ ）
A．份 B．份 C．份 D．份
8.如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各面中，面积的最大值是（ ）
A． B． C． D．
9.函数的图象向右平移个单位后的图象关于轴对称，则函数在上的最大值为（ ）
A． B． C． D．
10.如图所示的程序框图，若输入，则输出结果是（ ）
A． B． C． D．
11.已知直线过椭圆的上顶点和左焦点，且被圆截得的弦长为，若，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12.已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.设满足约束条件，则的最大值为_______.
14.数列满足：，则数列前项的和为______.
15.若的展开式中各项的系数之和为，且常数项为，则直线与曲线所围成的封闭区域的面积为______.
16.三棱柱的底面是直角三角形，侧棱垂直于底面，面积最大的侧面是正方形，且正方形的中心是该三棱柱的外接球的球心，若外接球的表面积为，则三棱柱的最大体积为______.
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分12分）
在中，分别为内角的对边，且.
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）设函数，，时，求边长.
18.（本小题满分12分）
某小学对五年级的学生进行体质测试.已知五年级一班共有学生人，测试立定跳远的成绩用茎叶图表示如下：（单位：）：
男生成绩在以上（包括）定义为“合格”，成绩在以下（不包含）定义为“不合格”.女生成绩在以上（包括）定义为“合格”，成绩在以下（不包含）定义为“不合格”.
（Ⅰ）在五年级一班的男生中任意选取人，求至少有人的成绩是合格的概率；
（Ⅱ）若从五年级一班成绩“合格”的学生中选取人参加复试.用表示其中男生的人数，写出的分布列，并求的数学期望.
19.（本小题满分12分）
在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为棱的中点.
（Ⅰ）求直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅱ）若为的中点，棱上是否存在一点，使得，若存在，求出
的值，若不存在，说明理由.
20.（本小题满分12分）
动点在抛物线上，过点作垂直于轴，垂足为，设.
（Ⅰ）求点的轨迹的方程；
（Ⅱ）设点，过点的直线交轨迹于两点，设直线的斜率分别为，求的最小值.
21.（本小题满分12分）
已知函数.
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若函数的图象在点处的切线的倾斜角为，对于任意的，函数在区间上总不是单调函数，求的取值范围；
（Ⅲ）求证：.
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.ⅠⅡⅢ-
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
已知四边形为圆的内接四边形，且，其对角线与相交于点.过点作圆的切线交的延长线于点.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若，求证：.
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线的参数方程是，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，的极坐标分别为.
（Ⅰ）求直线的直角坐标方程；
（Ⅱ）设为曲线上的点，求点到直线距离的最大值.
24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设的最大值为.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，求的最大值.
商丘市2016年高三第三次模拟考试参考答案
数学（理科）
一、选择题（每小题5分，共60分）
（1）C （2）D （3）B （4）D （5）A （6）A
（7）C （8）C （9）B （10）A （11）B （12）D
二、填空题（每小题5分，共20分）
（13） （14） （15） （16）
三、解答题
（17）解：（Ⅰ）在中，因为，
由余弦定理可得， ………………………3分
∵，∴． ……………………………………6分
（Ⅱ），
，∴， ………………………9分
∵，即：，
∴． ………………………………………12分
（18）解：（Ⅰ）设 “仅有两人的成绩合格”为事件，“有三人的成绩合格”为事件，
至少有两人的成绩是合格的概率为，则，又男生共12人，
其中有8人合格，从而， …………………………2分
， ………………………………4分
所以. ………………………………6分
（Ⅱ）因为女生共有18人，其中有10人合格，依题意，的取值为0,1,2.
则，，
，(每项1分) ……………………………10分
因此，的分布列如下：
0
1
2
∴（人）．（未化简不扣分）……12分
（或是，因为服从超几何分布，所以（人）．
（19）解（Ⅰ）依题意，以点为原点建立如图的空间直角坐标系 ，…………………1分
不妨设，
则，
为棱的中点，得，，
，，
设平面的一个法向量为，
则，即，
不妨令，得， ………………………………………4分
所以， …………………………………………………5分
∴直线与平面所成角的正弦值为． …………………………6分
（Ⅱ）向量，，
由点在棱上，设（），
∴，
∵，∴，
∴，解得，…………………10分
∴ ． ………………………………………………………12分
（20）解：（Ⅰ）设点，，则由，得，
因为点在抛物线上，∴. ………………………4分
（Ⅱ）方法一：
由已知，直线的斜率一定存在，
设点，，则联立，
得，，
由韦达定理，得. ………………………………………6分
当直线经过点即或时，
当时，直线的斜率看作抛物线在点处的切线斜率，
则 ，，此时；
同理，当点与点重合时，（学生如果没有讨论，不扣分）
直线不经过点即且时，∵，
……………………………………8分
， …………………………………………………10分
故，
所以的最小值为1． ………………………………………12分
方法二：同上
，……………8分
， ………………………10分
所以的最小值为1． ……………………………………12分
方法三：
设点，，由直线过交轨迹于两点得:
,化简整理得:
，………………8分
. ……………10分
而
．……………………12分
（21）解：（Ⅰ）由（）， …………………………………1分
①当时，显然时，；当时，，
所以此时的单调增区间为，减区间为；
②当时， 的单调增区间为，减区间为；
③当时，不是单调函数． …………………………………4分
（Ⅱ）由题知，得，
所以， ……………………………5分
所以（），
． …………………………………………6分
∵，∴一定有两个不等的实根，
又∵．
不妨设，由已知时，时，
即在上递减，在上递增，依题意知，
于是只需，得．……………………………8分
（Ⅲ）由（Ⅰ）知当时，在上递增，
∴，…………………9分
在上式中分别令
得，………………………10分
以上不等式相乘
得，…………………11分
两边同除以
得（），即证……………………12分
（22）解：（Ⅰ）由，可知， …………………………………2分
由角分线定理可知，，即，得证. ………5分
∴（内错角），
又（弦切角），
∴，∴. …………………………………10分
（23）解：（Ⅰ）将、化为直角坐标为，
即，， ………………………3分
∴直线的方程为，即．………5分
（Ⅱ）设，它到直线的距离为
，
（其中）， …………………………………………8分
∴． …………………………………………10分
（24）解：（Ⅰ）画出图象如图，∴.
………………………………5分
（Ⅱ）∵，∴，
∴，∴的最大值为2，
当且仅当时，等号成立. …………………………………………10分
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