第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.已知全集，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2.若复数（其中是虚数单位）的实部与虚部相等，则（ ）
A． B． C． D．
3.下列函数中，满足的单调递增函数是（ ）
A． B． C． D．
4.若四点共线，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
5.要计算的结果，下面程序框图中的判断框内可以填（ ）
A． B． C． D．
6.已知，点满足则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7.函数的部分图象如图所示，则的解析式可以为（ ）
A． B．
C． D．
8.已知抛物线与双曲线的一个交点为，为抛物线的焦点，若，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
9.如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各面中，面积最大的值是（ ）
A． B． C． D．
11.已知数列，则（ ）
A． B． C． D．
12.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数被称为狄利克雷函数，其中为实数集，为有理数集，则关于函数
有如下四个命题：①；②函数是偶函数；③任取一个不为零的有理数，对任意的恒成立；④存在三个点使得为等边三角形.其中真命题的个数为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知的取值如下表所示：从散点图分析，与线性相关，且，则_______.
x
0
1
3
4
y
0.9
1.9
3.2
4.4
14.在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一.请问尖头几盏灯”.这首古诗描述的这个宝塔其古称浮屠，本题说它一共有层，每层悬挂的红灯数是上一层的倍，共有盏灯，问塔顶有几盏灯？你算出顶层有______盏灯.
15.已知抛物线的焦点恰好是椭圆的右焦点，且这两条曲线交点的连线过点，则该椭圆的离心率为______.
16.设函数.有下列五个命题：
①若对任意，关于的不等式恒成立，则；
②若存在，使得不等式成立，则；
③若对任意及任意，不等式恒成立，则；
④若对任意，存在，使得不等式成立，则；
⑤若存在及，使得不等式成立，则.
其中，所有正确结论的序号为______.
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分12分）
在中，分别为内角的对边，且.
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若的面积为，求边长的最小值.
18.（本小题满分12分）
如图所示，茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学完成某道数学题的得分情况，该题满分为分.已知甲、乙两组的平均成绩相同，乙组某个数据的个位数模糊，记为.
（Ⅰ）求的值，并判断哪组学生成绩更稳定；
（Ⅱ）在甲、乙两组中各抽出一名同学，求这两名同学的得分之和低于分的概率.
19.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，底面，是的中点，是的中点.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求三棱锥的体积.
20.（本小题满分12分）
过点作直线与圆交于两点，在线段上取满足的点.
（Ⅰ）求点的轨迹方程；
（Ⅱ）设直线与圆交于两点，求为圆心）面积的最大值.
21.（本小题满分12分）
已知函数.
（Ⅰ）求函数的单调区间和极值；
（Ⅱ）若时，恒成立，求实数的取值范围.
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.ⅠⅡⅢ-
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
已知四边形为圆的内接四边形，且，其对角线与相交于点.过点作圆的切线交的延长线于点.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若，求证：.
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线的参数方程是，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，的极坐标分别为.
（Ⅰ）求直线的直角坐标方程；
（Ⅱ）设为曲线上的点，求点到直线距离的最大值.
24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设的最大值为.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，求的最大值.
商丘市2016年高三第三次模拟考试参考答案
数学（文科）
一、选择题（每小题5分，共60分） C A C B B D D A B D A C
二、填空题（每小题5分，共20分）
(13) (14) (15) (16) ①②③④⑤
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
（17）解：（Ⅰ）由正弦定理，可得，……………2分
∴，………………………………………………3分
∴，……………………………………………………4分
∴，…………………………………………………………………5分
所以，…………………………8分
由余弦定理…………………………………………9分
∴，…………………………………………10分
∴（当且仅当时取等号）．
∴的最小值为.…………………………………………………………12分
（18） 解：（I）， …………………………………………………1分
∴， ∴.……………………………………2分
……………………3分
，………………4分
∴，
∴ 甲组成绩比乙组稳定. ………………………………………………………6分
（II）记甲组名同学为：；乙组名同学为：，分别从甲乙两组
中各抽取一名同学所有可能的结果为：
共个基本事件，……………………………………………………8分
其中得分之和低于分的共个，……………………………………………10分
所以得分之和低于分的概率为,………………………………12分
（19）解：（I）取的中点为，连结，，
是的中点， ………………………2分
又是的中点，且由于是菱形，
………………………………………………………3分
四边形是平行四边形，……………………………4分
．…………………………………………………5分
又平面，平面[Z-X-X-K]
平面．……………………………………………6分
（II）是的中点
点到平面的距离与点到平面的距离相等，……………7分
故＝＝，…………………………………………………8分
又＝×2×＝，………………………………………………9分
到平面的距离，……………………………………10分
所以＝＝××＝…………………………………12分
(20)解：（I）设方程为，与圆的方程联立得
设两点坐标分别为，则，………2分
设点坐标为，∵，∴ …………………………3分
∴， ∴……………………………4分
消去，得，∴ 点轨迹方程是（在圆内部分）.……6分
（II）圆心到直线的距离为……………………………………7分
∴ ……………………………………………………………8分
∴……….10分
∵ ∴ 当时，取得最大，最大值为 …………12分
（21）解：（Ⅰ） …………………………………………………………………1分
① 时，恒成立，此时在上单调递增,无极值；…………2分
② 当时，由，得；由，得
此时在上递减，在上递增. 在处取得极小值，…………………………………3分
综上可得：时，单调递增区间为,无极值；时，单调递减区间为，
递增区间为，在处取得极小值，，无极大值…………………………… 4分
（Ⅱ）令
则，又令，则[Z-X-X-K]
在上递增，且 …………………………………6分
①当时，恒成立，即函数在上递增，
从而须满足，解得
又 …………………………………………………… 8分
②当时，则使且
时，，即，即递减，
时，，即，即递增。
，又
从而， 解得…………………………10 分
由，
令
则，在上递减，
则，又，
故
综上 ……………………………………………………………12 分
（22） 解：（Ⅰ）由，可知，……………………………………………2分
由角分线定理可知，，即，得证. ………5分
（Ⅱ）由，可知，
又，所以，
∴. ………………………………………………………………8分
所以（内错角），又（弦切角），
所以，所以. ………………………………………10分
（23）解：（Ⅰ）将、化为直角坐标为，
即，…………………………………………………………2分
………………………………………………………………3分
∴直线的方程为，
即………………………………………………………………5分
（Ⅱ）设，它到直线的距离为
，（其中）……8分
当时，取最大值，…………………………………………………9分
∴…………………………………………………………………10分
(24)解：（Ⅰ） ………………1分
画出图象如图，………………………………3分
∴………………………………………5分
（Ⅱ）∵，∴
∴，∴的最大值为2，
当且仅当时，等号成立. …………………………………………10分
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