第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ )
A． B． C． D．
2.已知复数为虚数单位），则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3.某疾病研究所想知道吸烟与患肺病是否有关，于是随机抽取名成年人调查是否抽烟及是否患有肺病得到列联表，经计算得，已知在假设吸烟与患肺病无关的前提条件下，.则该研究所可以（ ）
A．有以上的把握认为“吸烟与患肺病有关”
B．有以上的把握认为“吸烟与患肺病无关”
C．有以上的把握认为“吸烟与患肺病有关”
D．有以上的把握认为“吸烟与患肺病无关”
4.已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分条件 D．既不充分也不必要条件
5.若，按照如图所示的程序框图运行后，输出的结果是（ ）
A． B． C． D．
6.已知函数的部分图象如图所示，点是该图象与轴的交点，过点的直线与该图象交于两点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7.已知等比数列中，，等差数列中，则数列的前项和等于（ ）
A． B． C． D．
8.从装有若干个大小相同的红球、白球和黄球的袋中随机摸出个球，摸到红球、白球和黄球的概率分别为，从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，连续摸次，则记下的颜色中有红有白但没有黄的概率为（ ）
A． B． C． D．
9.在平行四边形中，，，若将其沿折成直二面角，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
10.过抛物线的焦点作两条垂直的弦、，则（ ）
A． B． C． D．
11.某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为的等腰直角三角形，俯视图是边长为的正方形，则此四面体的四个面中面积最大的为（ ）
A． B． C． D．
12.已知点为函数的图象上任意一点，点为圆上任意一点，则线段的长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知满足约束条件则的最大值为_______.
14.在长为厘米的线段上任取一点，现以线段为邻边作一矩形，则该矩形的面积大于平方厘米的概率为_____.
15.的展开式中，项的系数为_____.
16.已知函数是定义在上的偶函数，当时，
则函数的零点个数为____个.
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
18.（本小题满分12分）
某大学志愿者协会有名同学，成员构成如下表，其中表中部分数据不清楚，只知道从这名同学中随机抽取一位，抽到改名同学为“数学专业”的概率为.
中文
英语
数学
体育
男
n
1
m
1
女
1
1
1
1
现从这名同学中随机抽取名同学参加社会公益活动（每位同学被选到的可能性相同）.
（1）求的值；
（2）求选出的名同学恰为专业互不相同的男生的概率；
（3）设为选出的名同学中“女生或数学专业”的学生的人数，求随机变量的分布列及其数学期望.
19.（本小题满分12分）
如图，四棱锥中，平面平面，，且，.
（1）求证：平面；
（2）求直线和平面所成角的正弦值.
20.（本小题满分12分）
已知椭圆的一个焦点为，左右顶点分别为，经过点的直线与椭圆交于两点.
（1）求椭圆方程；
（2）记与的面积分别为和，求的最大值.
21.（本小题满分12分）
已知函数，其中，为自然对数的底数.
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）当时，求证：对任意的，.
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，⊙和⊙公切线和相交于点，为切点，直线交⊙于两点，直线交⊙于两点.
（1）求证：；
（2）若⊙和⊙的半径之比为，求的值.
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线的参数方程是，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线的极坐标方程为.
（1）判断直线与曲线的位置关系；
（2）过直线上的点作曲线的切线，求切线长的最小值.
24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知关于的不等式：的整数解有且仅有一个值为.
（1）求整数的值；
（2）已知，若，求的最大值.
吉林省实验中学2016届高三八模考试数学（理）答案
CAAAD DBCCD BC
13. 14. 15. 16.
因为，所以是锐角，所以.（6分）
（2）因为的面积，（7分）
所以当最大时，的面积最大.
因为，所以.（9分）
因为，所以，（11分）
所以（当时等号成立）.
所以面积的最大值为.（12分）
18.解：（1）设事件：从名同学中随机抽取一位，抽到该名同学为“数学专业”.
由题意可知，“数学专业”的学生共有人，则.
解得，所以.（3分）
（2）设事件：从这名同学中随机抽取名同学为专业互不相同的男生，
则.（6分）
（3）由题意，的可能取值为.由题意可知，“女生或数学专业”的学生共有人.
所以，，
，.
所以的分布列为
0
1
2
3
P
所以.（12分）
19.解：（1）由，，可得.
由，且，可得.
又，知，所以.
又平面平面，平面平面，
平面，所以平面.（6分）
（2）以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
得，
所以.
可求得平面的一个法向量是，设直线与平面所成的角为，
得.
故直线和平面所成角的正弦值为.（12分）
20.解：（1）因为为椭圆的焦点，所以，又，
所以，所以椭圆方程为.（4分）
（2）当直线无斜率时，直线方程为，此时，
，面积相等，.（5分）
当直线斜率存在时，设直线方程为，设，
和椭圆方程联立得，消掉得，
显然，方程有根，且.（8分）
此时.（10分）
因为，上式，（时等号成立），
所以的最大值为. （12分）
21.解：（1）当时，，，
，（2分）
∵当时，，∴.（3分）
∴在上为减函数.（4分）
（2）设，，，
令，，则，
当时，，有，
∴在上是减函数，即在上是减函数，（6分）
又∵，，
∴存在唯一的，使得，
∴当时，，在区间单调递增；
当时，，在区间单调递减，
因此在区间上，（9分）
∵，∴，将其代入上式得
，（10分）
令，，则，即有，，
∵的对称轴，∴函数在区间上是增函数，且，
∴，
即任意，，
∴，因此任意，.（12分）
22.解：（1）∵是两圆的公切线，∴，，
∴，∴，又∵，
∴.（5分）
（2）连接，∵是两圆的公切线，∴，
∴共线，∵和是⊙和⊙公切线，
平分，平分，∴，∴，
设⊙和⊙的半径分别为和，则，
∵，，
∴，
∴，∴.（10分）
23.解：（1）直线方程：，，
∴，
∴圆的直角坐标方程为，即，
∴圆心到直线的距离为，故直线与圆相离.（5分）
（2）直线的参数方程化为普通方程为，
则圆心到直线的距离为，
∴直线上的点向圆引的切线长的最小值为.（10分）
24.解：（1）由，得，
∴不等式的整数解为，∴，
又不等式仅有一个整数解，∴.（5分）
（2）显然，
由柯西不等式可知：，
所以即，
当且仅当时取等号，最大值为.（10分）
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