1
圆的周长和弧长
1. 弧长公式：
圆周长 C=2 R（其中 R 为圆的半径），即为圆心角是 360°的弧长。因此圆心角是 1°
的弧长等于圆周长的 ，即 ，所以 n°的圆心角所对的弧长为 。即在
半径为 R 的圆中，n°的圆心角所对的弧长的计算公式为：l= 。
说明：（1）在应用公式进行计算时，要注意公式中 n 的意义：n 表示 1°的圆心角的
倍数。公式中的 n、180 都不带单位。（2）同圆中圆心角 n°越大，弧长越长；相等的圆心
角半径越大，所对的弧长越大，L 与 n、R 两个因素有关。
2. 易错点：扇形的弧长和扇形的周长不一样，扇形的周长是扇形的弧长与两个半径的和。
直接利用公式求弧长
例题 1 如图，AB 与⊙O 相切于点 B，AO 的延长线交⊙O 于点 C，连接 BC，若
∠ABC=120°，OC=3，则 的长为（ ）
A. B. 2 C. 3 D. 5
解析：连接 OB，由于 AB 是切线，那么∠ABO=90°，而∠ABC=120°，易求∠OBC，而
OB=OC，那么∠OBC=∠OCB，进而求出∠BOC 的度数，在利用弧长公式即可求出 的长。
解：连接 OB。
∵AB 与⊙O 相切于点 B，∴∠ABO=90°。∵∠ABC=120°，∴∠OBC=30°。
∵OB=OC，∴∠OCB=30°。∴∠BOC=120°。∴ 的长为 ，故
选 B。
答案：B
点拨：利用弧长公式计算弧长时，关键是根据题意得出圆心角、半径，而本题解题的关
键是连接 OB，构造直角三角形。
例题 2 如图，在边长为 1 的正方形组成的网格中，△ABC 的顶点都在格点上，将△ABC
绕点 C 顺时针旋转 60°，则顶点 A 所经过的路径长为（ ）
π
1
360
2 R
360 180
Rπ π=
180
n Rπ
180
n Rπ
∩
BC
π π π π
∩
BC
∩
BC 120 3 2180 180
n rπ π π× ×= =2
A. 10π B. C. π D. π
解析：由题意得点 A 所经过的路径是以 C 为圆心，CA 长为半径，圆心角为 60°的弧，
而要求的顶点 A 所经过 的路径长就是求以 C 为圆心，CA 长为半径，圆心角为 60°的弧长，
利用弧长公式 计算可得。
解：∵在 Rt△ACD 中，AD=3，DC=1，∴根据勾股定理得：AC= ，
∵△ABC 绕点 C 顺时针旋转 60°，
∴顶点 A 所经过的路径长为
l= = π。故选 C。
答案：C
点拨：求动点所经过的路径长，必须先分析清楚动点所经过的路径是什么。此题中的动
点绕一定点在旋转，故动点所经过的路径是以定点为圆心，动点到定点的长度为半径的一条
弧，从而把求长度问题转化为求弧长问题，直接利用弧长公式 计算。
弧长公式的逆用
例题 3 一条弧所对的圆心角为 135°、弧长等于半径为 5cm 的圆的周长的 3 倍，则这
条弧的半径为 cm。
解析：已知圆半径可由圆周长公式 得圆周长。弧长的计算为公式： ，已知
圆心角为 135°，故弧长为 ，由题意列方程可解得弧所在圆的半径。
解：设弧所在圆的半径为 rcm，由题意得： ，解得 r=40，
故这条弧的半径为 40cm。
答案：40
点拨：注意区别圆周长的计算公式： （ ）与弧长的计算公式：
弧长公式在滚动问题中的应用
在旋转变换中，有时就隐含着弧长的计算，准确理解弧长公式各个量的含义，是解题的
关键。
满分训练 如图，矩形 ABCD 中，AB=4，BC=3，边 CD 在直线 l 上，将矩形 ABCD 沿直线 l
做无滑动翻滚，当点 A 第一次翻滚到点 A1 位置时，则点 A 经过的路线长为 。
10
3
10
3
180
rnl
π=
1013 22 =+
180
1060
180
××= ππrn 10
3
180
n rl
π=
rπ2 180
rnl
π=
180
135 rπ
352180
135 ××= ππr
rπ2 dπ
180
rnl
π=3
解析：从点 A 第一次翻滚到点 A1 位置时，先确定翻转过程中点 A 每一次转角及旋转半
径大小，再求各弧长，最后求和。
解：如图，由 =5，则 = = ， = =2 ，
= = ，则点 A 第一 次翻滚到点 A1 位置时，则点 A 经过的路线长为 + +
= =6 。
答案：6
点拨：根据弧长公式 l＝ 可知，确定弧长的关键是弄清圆心角和半径大小。
弧长公式 中包含三个量，已知其中的两个可以求出第三个。所以利用弧长公式
进行计算一般有三种类型：①已知 、 ，代入公式直接求 ；②已知 、 ，代入公式借
助方程求 ；③已知 、 ，代入公式借助方程求 。
（答题时间：45 分钟）
1. 如图，某厂生产横截面直径为 7 的圆柱形罐头，需将“蘑菇罐头”字样贴在罐头侧
面，为了获得较佳视觉效果，字样在罐头侧面所形成的弧的度数为 90°，则“蘑菇罐头”
字样的长度为（ ）
A. B. C. D.
2. （聊城中考）把地球看成一个表面光滑的球体，假设沿地球赤道绕紧一圈钢丝，然后
把钢丝加长，使钢丝圈沿赤道处处高出球面 16 厘米，那么钢丝大约需加长（ ）
A. 厘米 B. 厘米 C. 厘米 D. 厘米
3. 一个扇形的圆心角为 60°，它所对的弧长为 2πcm，则这个扇形的半径为（ ）
2 2
1 3 4A C′′ = + AA
∩
′ 90 3
180
π × 3
2
π A A
∩
′ ′′ 90 4
180
π × π 1''A A
∩
90 5
180
π × 5
2
π AA
∩
′ A A
∩
′ ′′ 1''A A
∩
3 522 2
π π π+ + π
π
180
n rπ
180
n rl
π=
r n l n l
r r l n
cm
cm4
π
cm4
7π
cm2
7π π7 cm
210 410 610 8104
A. 6cm B. 12cm C. 2 3cm D. 6cm
4. 已知一个扇形的半径为 60 厘米，圆心角为 150°。用它围成一个圆锥的侧面，那么圆
锥的底面半径为 厘米。
*5. 如图，⊙O 的半径为 6cm，直线 AB 是⊙O 的切线，切点 为点 B，弦 BC∥AO，若∠A＝
30°，则劣弧 的长为 cm。
6. （四川中考）点 A、B、C 是半径为 15cm 的圆上三点，∠BAC=36°，则弧 BC 的长为
______cm。
*7. 点 O 在直线 AB 上，点 A1、A2、A3…在射线 OA 上，点 B1、B2、B3…在射线 OB 上，图中
的每一个实线段和虚线段的长均为 1 个单位长度。一个动点 M 从 O 点出发，按如图所示的箭
头方向沿实线段和以 O 为圆心的半圆匀速运动，速度为每秒 1 个单位长度。按此规律，则动
点 M 到达 A101 点处所需时间为 。
**8. 如图，在扇形 OAB 中，∠AOB=110°，半径 OA=18，将扇形 OAB 沿着过点 B 的直线折
叠，点 O 恰好落在AB⌒
上的点 D 处，折痕交 OA 于点 C，则AD⌒
的长为 。
**9. 如图，已知 CB 是⊙O 的弦，CD 是⊙O 的直径，点 A 为 CD 延长线上一点，B C=AB，
∠CAB=30°。（1 ）求证：AB 是⊙O 的切线；（2）若⊙O 的半径为 2，求 的长。
**10. 如图所示，AC⊥AB，AB= ，AC=2，点 D 是以 AB 为直径的半圆 O 上一动点，DE⊥CD
交直线 AB 于点 E，设∠DAB= ，（0°＜ ＜90°）。
（1）当 =18°时，求 的长。（2）当 =30°时，求线段 BE 的长。
（3）若要使点 E 在线段 BA 的延长线上，则 的取值范围是 （直接写出答案）。
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
BC
∩
BD
∩
2 2
α α
α BD
∩ α
α5
*11. 如图，实线部分是半径为 15m 的两条等弧组成的游泳池，若每条弧所在的圆都经过
另一个圆的圆心，求游泳池的周长。6
1. B 解析：∵字样在罐头侧面所形成的弧的度数为 90°，∴此弧所对的圆心角为 90°，
由题意可得， = cm，则“蘑菇罐头”字样的长= 。故选 B。
2. A 解析：先设地球的半径为 r，则赤道的长近似为 2πr cm，当钢丝圈沿赤道处处高出
球面 16 厘米时，钢丝的长度近似为 2π（r+16）cm，则钢丝大约需加长 2π（r+16）﹣2πr
=32π≈100 cm，故选 A。
3. A 解析：根据弧长公式， πr=2π，解得 r=6，故选 A。
4. 25 解析：设圆锥的底面半径为 r，则圆锥的母线长 R=60cm，因为圆锥的底面周长等
于其侧面展开图的弧长，所以 2πr= ，解得 r=25cm。
5. 解 析 ： ∵AB 是 ⊙O 的 切 线 ， ∴AB⊥BO 。 ∵∠A=30° ， ∴∠AOB=60° 。
∵BC∥AO ， ∴∠OBC=∠AOB=60° 。 在 等 腰 △OBC 中 ， ∠BOC=180° ﹣ 2∠OBC=180° ﹣
2×60°=60°。∴弧 BC 的长为 cm。
6. 6π 解析：如图，在⊙O 中，∠BAC=36°，∴∠BOC=72°，∴根据弧长公式计算弧 BC
的长为： =6π。
7. （ 5050 π ＋ 101 ） s 解 析 ： 动 点 M 到 达 A1 的 时 间 为 1s ， 到 达 A2 的 时 间 为
[ ]s ， 到 达 A3 的 时 间 为 [ ]s ， 到 达 A4 的 时 间 为
[ ]s，……，所以到达 A 101 的时间为[ ]s=(5050 π＋
101)s 。
8. 5π 解析：如图，连接 OD。由折叠可得 OB=DB=OD，∴△ODB 是等边三角形，从而
DOB=60°。
∴∠AOD=∠AOB－∠DOB=50°，因此AD⌒
的长为 = 5π。
9. 解析：（1）∵BC=AB，∴∠C=∠A=30°，∴∠BOA=2∠C=60°，
∴∠OBA=180°－∠A－∠BOA=180°－30°－60°=90°，∴AB 是⊙O 的切线。
⑵ 的长= 。
10.解析：（1）连接 OD，∵ =18°，∴∠BOD=36°，又∵AB= ，∴OB= ，∴ 的
r 2
7 =
×
180
2
790π
cm4
7π
180
60
180
Rnπ
π2
ππ
2180
660 =××
°
××°
180
1572 π
(1 2) 2π+ + (1 2) 3π+ +
(1 2 3) 4π+ + + (1 2 100) 101π+ + + +
180
1850 ×π
BD
∩ 60 2 2
180 3
π π× =
α 2 2 2 BD
∩7
长= = 。
（2）∵AB 是半圆 O 的直径，∴∠ADB=90°，又∵ =30°，∴∠B=60°，又∵AC 为半
圆 O 的切线，∴∠CAD=60°，∴∠CAD=∠B，又∵DE⊥CD，∴∠ADC+∠ADE=90°，又∵∠ADE+∠
BDE=90°，∴∠BDE=∠ADC，∴△BDE∽△ADC，∴ ，即 ，∴BE= 。
（3）60°＜ ＜90°。
11. 解析：如图，连接 O1O2，O1A，O1B，O2A，O2B，
因 为 ⊙O1 和 ⊙O2 是 等 圆 ， ∴△O1O2A ， △O1O2B 都 是 等 边 三 角 形 ，
∴∠AO1B=∠AO2B=120°，
∴周长为：2× ×2π×15=40π，所以游泳池的周长为 40πm。
36 2
180
π× × 2
5
π
α
BE BD
AC AD
= 3
2 3
BE = 2 3
3
α
240
360
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