东阳中学2015年下学期期中考试卷
（高二数学）
参考公式：
球的表面积公式 棱柱的体积公式
S=4πR2 V=Sh
球的体积公式 其中S表示棱柱的底面积，h表示棱柱的高．
V=πR3 棱台的体积公式
其中R表示球的半径 V=h(S1++S2)
棱锥的体积公式 其中S1、S2表示棱台的上、下底面积，h表示棱
V=Sh 台的高．
其中S表示棱锥的底面积，h表示棱锥的高．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设u=(-2,2,5)，v=(6,-4,4)分别是平面a，b 的法向量，则平面a，b 的位置关系是 （ ）
A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．不能确定
2. 如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，则系数a= （ ）
A．-3 B． C．-6 D．
3． l1，l2表示空间中的两条直线，若p：l1，l2是异面直线，q：l1，l2不相交，则 （ ）
A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件
B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件
C．p是q的充分必要条件
D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
4．圆（x+2）2+y2=5关于直线x﹣y+1=0对称的圆的方程为 （ ）
A．（x﹣2）2+y2=5 B．x2+（y﹣2）2=5
C．（x﹣1）2+（y﹣1）2=5 D．（x+1）2+（y+1）2=5
5. 已知两点M(0，2)，N(-3，6)到直线l的距离分别为1和3，则满足条件的直线l的条数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6. 在空间中，三条不重合的直线m，n，l，两个不重合的平面a，b，下列命题正确的是（ ）
A．若则
B．若且则
- 8 -
C．若则
D．若，则
7．已知点A（﹣1.0），B（1，0），若圆 （x﹣2）2+y2=r2上存在点P．使得∠APB=90°，则实数r的取值范围为 （ ）
A．（1，3） B．[1，3] C．（1，2] D．[2，3]
8．如图，直线l⊥平面α，垂足为O，已知边长为2的等边三角形ABC在空间做符合以下条件的自由运动：①A∈l，②C∈α，则B，O两点间的最大距离为 （ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题有7小题，9-12题每题6分，13-15题每题4分，共36分.把答案填在答题卷的相应位置.
9. 已知圆C：x2+y2-2x-2y+1=0，其半径r= ，圆心C到直线x-y=2的距离为 ，
圆C上的点到直线x-y=2距离的最小值为 .
10. 由三条直线x=0,x+y-2=0,x-y-2=0围成一个封闭的平面图形，则该平面图形的面积是 ，
若将此平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体的表面积是 .
11．某空间几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积V= cm3，表面积S= cm2．
12.已知MN为长宽高分别为3,4,5的长方体ABCD-A1B1C1D1的外接球的一条直径，P为该长方体表面上任一点，则|MN|= ，的最小值为 .
- 8 -
13．若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为 ．
14．已知点，，若圆上恰有两点，，使得 和 的面积均为，则的取值范围是 ．
15．在侧棱长为的正三棱锥中，,为内一动点，且到三个
侧面, ,的距离为．若，则点形成曲线的长度为 ．
三.解答题：本大题共5小题,满分74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
16．（本题满分15分）
设命题p：“直线x+y﹣m=0与圆（x﹣1）2+y2=1没有公共点”，命题q：“mx2﹣x﹣4=0有一正根和一负根．”如果p与q有且仅有一个命题为真，求m的取值范围．
17. （本题满分15分）
如图，侧棱与底面垂直的三棱柱ABC-A1B1C1各侧棱和底面边长均为2， D、P分别是CC1、AB的中点，连结A1B，BD，A1D.
A
B1
C1
A1
B
C
D
P
(第17题图)
(Ⅰ)求证：直线CP∥平面A1 BD；
(Ⅱ)求直线A1B与平面ACC1A1所成角的正弦值.
18．（本题满分15分）
已知圆过点，，并且直线平分圆的面积．
（1）求圆的方程；
（2）若过点，且斜率为的直线与圆有两个不同的公共点．
- 8 -
①求实数的取值范围； ②若，求的值．
19. （本题满分15分）
已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD为菱形，且ÐABC=60°， AB=SC=2，SA=SB=.
(Ⅰ)求证：平面SAB⊥平面ABCD；
S
A
B
C
D
(Ⅱ)求二面角A-SC-D的余弦值.
20．（本题满分14分）
如图，圆与坐标轴交于点.
⑴求与直线垂直的圆的切线方程；
⑵设点是圆上任意一点（不在坐标轴上），直线交轴于点，直线交直线于点，
①若点坐标为，求弦的长；②求证：为定值.
- 8 -
高二数学期中答案
一、BCADD DAC
二、
9. 1 ， ， 10. 4 ， .
11． ， 12. ， .
13． ． 14． （1，5） 15．
三.解答题：本大题共5小题,满分74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
16．（本题满分15分）
设命题p：“直线x+y﹣m=0与圆（x﹣1）2+y2=1没有公共点”，命题q：“mx2﹣x﹣4=0有一正根和一负根．”如果p与q有且仅有一个命题为真，求m的取值范围．
解：对命题P：直线x+y﹣m=0与圆（x﹣1）2+y2=1不相交，∴≥1，解得或m＜1﹣．
p为真命题时m的取值范围是：A=．
对命题q：则由题意得m≠0，△=1+16m＞0，＜0，解得m＞0．
q为真命题时m的取值范围是：B={m|m＞0}．
∵p∨q为真且p∧q为假，
可知P与q有且只有一个命题为真命题．
若P假q真时，∁RA∩B={m|m}；
若P真q假时，A∩∁RB={m|}，
综述：m的取值范围是：{m|m或}．
17. （本题满分15分）
如图，侧棱与底面垂直的三棱柱ABC-A1B1C1各侧棱和底面边长均为2， D、P分别是CC1、AB的中点，连结A1B，BD，A1D.
A
B1
C1
A1
B
C
D
P
(第17题图)
(Ⅰ)求证：直线CP∥平面A1 BD；
(Ⅱ)求直线A1B与平面ACC1A1所成角的正弦值.
- 8 -
A
B1
C1
A1
B
C
D
P
E
F
17. 解法一：(Ⅰ)取A1B的中点E，连接PE，DE，
∵点D，P分别是CC1，AB的中点，
∴四边形PEDC为平行四边形，即∥PC.
又平面A1 BD，DE平面A1 BD，
∴CP∥平面A1 BD. ……………………… 6分
(Ⅱ)取AC的中点F，连，BF，则，
因为侧面ACC1A1⊥底面ABC，所以BF⊥平面ACC1A1.
即就是A1B与平面ACC1A1所成角. ……………………………………… 10分
∵直三棱柱ABC-A1B1C1各侧棱和底面边长均为2，
∴A1B，，∴
即直线A1B与平面ACC1A1所成角的正弦值.………………………………… 15分
解法二：以P为原点，CP,PB所在直线分别为x,y轴建立空间空间直角坐标系.… 2分
A
B1
C1
A1
B
C
D
P
y
x
z
则A(0,-1,0)，B(0，1，0)，C(-
D，，
(Ⅰ) ∵,，
∴平面的法向量为m=(0,1,1) .……… 5分
又，
所以.…………………………………………… 7分
因为CP平面，∴CP∥平面A1 BD.……………………………………… 9分
(Ⅱ)因为，，
所以平面的法向量为n=. ……………………………………… 11分
∴.
即直线A1B与平面ACC1A1所成角的正弦值为. …………………………… 15分
18．（本题满分15分）
已知圆过点，，并且直线平分圆的面积．
- 8 -
（1）求圆的方程；
（2）若过点，且斜率为的直线与圆有两个不同的公共点．
①求实数的取值范围； ②若，求的值．
18．（1）；（2）①：实数的取值范围是，②：.
19. （本题满分14分）
已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD为菱形，且ÐABC=60°， AB=SC=2，SA=SB=.
S
A
B
C
D
(Ⅰ)求证：平面SAB⊥平面ABCD；
(Ⅱ)求二面角A-SC-D的余弦值.
19. 解：（Ⅰ）作SH⊥AB于H，连CH，
∵SA=SB=，AB=2，∴SA⊥SB，∴AH=BH=SH=1，
又由ABCD为菱形，∠ABC=60°，∴CH=，
又SC=2，∴SC2=CH2+SH2，∴SH⊥CH. …………………………………… 3分
S
A
B
C
D
H
x
y
z
又SH⊥AB，CH、AB是面ABCD内两条相交直线，
∴SH⊥面ABCD，…………………………………………………………… 5分
又SH面SAB，∴面SAB⊥面ABCD. ……………………………… 7分
(Ⅱ)以H点为坐标原点，HC、HB、HS所在直线分别
为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则C(,0,0)，
A(0,-1,0)，S(0,0,1)，D(,-2,0). …………9分
∴，，
∴平面ASC的法向量n1=， ………………………………………… 12分
又，， ∴平面SCD的法向量n2=，… 14分
- 8 -
∴，
即二面角A-SC-D的余弦值为. …………………………………………… 15分
20．如图，圆与坐标轴交于点.
⑴求与直线垂直的圆的切线方程；
⑵设点是圆上任意一点（不在坐标轴上），直线交轴于点，直线交直线于点，
①若点坐标为，求弦的长；②求证：为定值.
20．（1），（2）①：2，②：证明略.
- 8 -
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