汕头市金山中学2015-2016学年度第一学期期中考试
高二文科数学 试题卷
本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分150分,时间120分钟.
第Ⅰ卷 (选择题 共60分)
一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合,
则的元素个数为( )A.0 B.1 C.2 D.3
2.一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),
画该四面体三视图中的正视图时,以zOx平面为投影面,则得到的正视图可以为( )
3.圆与圆的位置关系为 ( )
A.内切 B. 相交 C. 外切 D. 相离
4.下列命题中正确的有( )个。
①若两条直线和第三条直线所成的角相等,则这两条直线互相平行。
②空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补。
③四面体的四个面中,最多有四个直角三角形。
④若两个平面垂直,则一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线。
A.1 B.2 C.3 D.4
5.已知过点和的直线与直线平行,则的值为( )
A. B. C. D.
6.已知满足约束条件,则的最大值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
7.直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,若∠BAC=90°,AB=AC=AA1,则异面直线
10
BA1与AC1所成的角等于( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
8. 如果直线l经过圆的圆心,且直线l不通过第四象限,那么直线l的斜率的取值范围是( )
A、[0,2] B、[0,1] C、 D、
9.过点可作圆的两条切线,则实数的取值范围为( )
A.或 B. C. D.或
10.若是球的球面上两点,,为该球面上的动点,若三棱锥体积的最大值为36,则球的表面积为( )
A. B. C. D.
11.已知矩形,=1,.将沿矩形的对角线所在的直线进行翻折,
在翻折过程中
A.存在某个位置,使得直线与直线垂直
B.存在某个位置,使得直线与直线垂直
C.存在某个位置,使得直线与直线垂直
D.对任意位置,三对直线“与”,“与”,“与”均不垂直
12.在平面直角坐标系中,两点,间的“﹣距离”定义为
.则平面内与x轴上两个不同的定点的“﹣距离”之和等于定值(大于||)的点的轨迹可以是( )
A B C D
10
第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)
二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.已知两直线。当时,。
14.若圆心在轴上、半径为的圆位于轴左侧,且与直线相切,则圆的标准方程是 .
15.已知则的取值范围是__________.
16.设,过定点的动直线和过定点的动直线交于点,则||·||的最大值是________.
三、解答题:(本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.在中,已知,。
(1)求的长; (2)求的值。
18.为数列的前项和,已知,且。
(1)求证:为等差数列;
(2)设,求数列的前项和。
19.如图,在三棱柱中,,
在底面的射影为的中点,是的中点。
(1)证明:平面;
(2)求点B到平面的距离。
10
20. 圆C过点M(-2,0)及原点,且圆心C在直线上。
(1)求圆C的方程;
(2)定点,由圆C外一点向圆引切线,切点为,且满足.
①求的最小值及此刻点的坐标;
②求的最大值。
A
P
Q
O
x
y
A
P
Q
O
x
y
A
P
Q
O
x
y
21.在平面直角坐标系中,已知圆
和圆
(1)若直线过点且被圆截得的弦长为,求直线的方程;
(2)设为平面上的点,满足:存在过点的无穷多对互相垂直的直线和,它们分别与圆和圆相交,且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等,试求所有满足条件的点的坐标。
10
高二文科数学期中考试参考答案
CABCB DCAAC BA
13. 14. 15. 16.
16. 解析:易求定点A(0,0),B(1,3).当P与A和B均不重合时,因为P为直线x+my=0与mx-y-m+3=0的交点,且易知两直线垂直,则PA⊥PB,所以|PA|2+|PB|2=|AB|2=10,所以|PA|·|PB|≤=5(当且仅当|PA|=|PB|=时,等号成立),当P与A或B重合时,|PA|·|PB|=0,故|PA|·|PB|的最大值是5.
17.解(1)由余弦定理得
……………………4分
(2) 由正弦定理得
, ……………………7分
, ……………………8分
……………………11分
……………………12分
……………………14分
18. (1)由, ①
10
可得 ② ……………………2分
②- ①得, ……………………3分
即, ……………………4分
∵an>2,∴an+1﹣2=an ……………………5分
即an+1﹣an=2,
∴{an}为等差数列 ……………………6分
(2)由已知得a12+4=4a1+1,
即 ……………………7分
解得a1=1(舍)或a1=3 ……………………9分
∴ an=3+2(n﹣1)=2n+1 ……………………10分
∴bn===(﹣), ……………………12分
∴数列{bn}的前n项和Tn=(﹣+…+﹣)
=(﹣)
=. ……………………14分
19. (1)设E为BC的中点,由题意得.
因为AB=AC,所以.
又、平面
故. ……………………4分
由D,E分别为的中点,得
又
从而,所以为平行四边形.
故 ……………………6分
又因为,所以 ……………………7分
(2)
10
又E为BC的中点 故 ………………………8分
………………………9分
中边上的高为
而,
………………………12分
设B到平面的距离为
由
得 ………………………14分
20.A
P
Q
O
x
y
(1)线段OM的垂直平分线方程为 ………………………1分
又圆心C在直线上 的坐标为(-1,1) ………………………2分
…………………………3分
的方程为 ……………………………4分
(2)①设,连结,
为切点,
由勾股定理得
10
…………………………5分
化简得 ………………………6分
法一:
………………………7分
当时, ……………………………8分
此时P点坐标为 ……………………………9分
法二:点在直线:上
即求点到直线的距离
…………………………8分
经过点A(1,3)与直线:垂直的直线方程为
与方程联立,可得此时P点坐标为 ………………………9分
②设关于直线:的对称点为
则 …………………………11分
解得 …………………………12分
10
的最大值为 ……………………………14分
21.解:(1)设直线的方程为:,即 ………………………1分
圆的圆心为(-3,1),半径长为2
被圆截得的弦长为
圆心到直线的距离,
由点到直线距离公式,得: ………………………3分
即
解得 …………………………5分
所求直线的方程为:或,
即或 …………………………6分
(2) 设点P坐标为,直线、的方程分别为:
,即: …………………………7分
因为直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等,两圆半径相等。
由垂径定理,得:圆心到直线与直线的距离相等。
故有:, …………………………8分
化简得: …………………………10分
关于的方程有无穷多解,有:
10
,或 ………………………12分
解之得:点P坐标为或。 …………………………14分
10