2015-2016学年度九年级数学期中试卷
考试时间：120分钟 总分120分
一、填空题（2X12=24分）
1．一元二次方程的解是 _▲_ ；
2. 已知是关于的方程的一个根，则= __▲____；
3. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则其外接圆的半径为 __▲____；
4. 已知圆的内接正六边形的周长为18，那么圆的半径为 _▲_ .
5.如图，圆内接四边形ABCD中，∠ADC=60°，则∠ABC的度数是___▲____；
第5题 第6题 第9题 第11题
6．如图，CD是⊙O的直径，AE切⊙O于点B，DC的延长线交AB于点A，∠A =， 则∠DBE＝___▲___；
7．⊙O到直线的距离为d，⊙O的半径为R，当d、R是方程的根，且直线与⊙O相切时，m的值为___▲___；
8．某市2013年投入教育经费2500万元，预计2015年要投入教育经费3600万元。设2014、2015年平均每年的增长率为x，那么x满足的方程是 _▲_ ；
9．如图，点O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，与AC、BC分别交于点E、F，则线段EF、BE、CF三者间的数量关系是___▲___；
10. 已知⊙O的半径是3,OP=3,过点P的直线记为L,则圆心O到直线L的距离d的取值范围是__▲____；
11．如图，在圆的内接五边形ABCDE中，∠B+∠E=2200,则∠CAD=_▲_ ；
12. 如图，圆心都在x轴正半轴上的半圆，半圆，…，半圆与直线L相切设半圆，半圆，…，半圆的半径分别是，，…，，则当直线L与x轴所成锐角为300，且时，＝
二、选择题（3X7=21分）
13．下列命题中,假命题是（ ▲）
A. 直径所对的圆周角是直角 B.等弧所对的圆周角相等
C. 两条弧的长度相等,它们是等弧 D.一条弧所对的圆心角等于它所对圆周角的2倍.
14. 欣赏著名作家巴金在他的作品《海上日出》中对日出状况的描写：“果然，过了一会儿，那里出现了太阳的小半边脸，红是红得很，却没有亮光。”这段文字中，给我们呈现了直线与圆的哪一种位置关系（ ▲ ）
A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 无法确定
15.若关于的方程有两个实数根，则实数的取值范围是（ ▲）
A. ≥-1且 ≠0 B. ≤-1且≠0 C. ＞-1 D. ﹤-1且≠0
16.如图，AB为⊙O直径，弦CD⊥AB于E，则下面结论中错误的是（ ▲）
A．CE＝DE B．＝ C．∠BAC＝∠BAD D．OE=BE
17. 如图，圆周角∠BAC＝55°，分别过B，C两点作⊙O的切线，两切线相交与点P，则∠BPC＝（ ▲）
A.50° B.60° C.65° D.70°
S
R
Q
O
P
L
第16题 第17题 第18题 第19题
18. 如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的顶点A、C分别在y轴、x轴上,以AB为弦的⊙M与x轴相切.若点A的坐标为(0, 8),则圆心M的坐标为 ( ▲ )
A.(-4,5) B.(-5,4) C.( -4,6) D.( -5,6)
19. ⊙O是半径为1的圆，点O到直线L的距离为3，过直线L上的任一点P作⊙O的切线，切点为Q;若以PQ为边作正方形PQRS，则正方形PQRS的面积最小为（ ▲ ）
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
三．解答题
20．（8分）解方程（1） （2）
21. （8分）已知关于x的一元二次方程
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若Rt△ABC的两边长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5，求k的值。
22.（8分）已知，如图，在Rt△ABC中，∠C=90º，∠BAC的角平分线AD交BC边于D。
（1）以AB边上一点O为圆心，过A，D两点作⊙O（不写作法，保留作图痕迹），再判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）AB=6，BD=,求（1）中⊙O的半径
23. （8分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC的延长线与AD的延长线交于点E，且DC=DE．
（1）求证：∠A=∠AEB；
（2）连接OE，交CD于点F，OE⊥CD，求证：△ABE是等边三角形．
24. （8分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AD垂直于过C点的切线，垂足为D。
（1）求证：AC平分∠BAD；（2）若AC=，CD=2，求⊙O的直径。
25. （8分）如图，△ABC中，AB＞AC，∠BAC的平分线交外接圆于D，DE⊥AB于E，DM⊥AC于M．
（1）求证：BE=CM． （2）求证：AB-AC=2BE
26（8分）某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为250元，每桶水的进价是5元，规定销售单价不得高于12元/桶，也不得低于7元/桶，调查发现日均销售量p（桶）与销售单价x（元）的函数图象如图所示。
（1）求日均销售量p（桶）与销售单价x（元）的函数关系；
（2）若该经营部希望日均获利1350元，请你根据以上信息，就该桶装水的销售单价或销售数量，提出一个用一元二次方程解决的问题，并写出解答过程。
27（9分）在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C所对的边，我们称关于x的一元二次方程为“△ABC的☆方程”．根据规定解答下列问题：
（1）“△ABC的☆方程” 的根的情况是______（填序号）：
①有两个相等的实数根；②有两个不相等的实数根；③没有实数根；
（2）如图，AD为⊙O的直径，BC为弦，BC⊥AD于E，∠DBC=30°，求“△ABC的☆方程” 的解；
（3）若x=是“△ABC的☆方程” 的一个根，其中a，b，c均为整数，且，求方程的另一个根。
28. （12分） 在直角坐标系xoy中，已知点P是反比例函数
图象上一个动点，以P为圆心的圆始终与y轴相切，设切点为A．
（1）如图1，⊙P运动到与x轴相切，设切点为K，试判断四边形OKPA的形状，并说明理由．
（2）如图2，⊙P运动到与x轴相交，设交点为B，C．当四边形ABCP是菱形时：
①求出点A，B，C的坐标．
②在P点右侧的反比例函数图像是否存在上点M，使△MBP的面积等于菱形ABCP面积．若存在，试求出满足条件的M点的坐标，若不存在，试说明理由．
A
C
B
O
P
x
y
图2
2015-2016学年第一学期九年级期中考试数学试卷
答题卷
一、填空题（每空2分共24分）：
1． 0 ;-2 ； 2． 1 ;-2 ； 3． 5 ； 4． 3 ；
5． 1200 ； 6． 550 ； 7． 4 ； 8．2500(1+x)2=3600 ；
9． EF=BE+CF ； 10． 0≤d≤3 ； 11． 400 ； 12． 32014 ；
二、选择题（每题3分共21分）：
13． C ； 14． C ； 15． A ； 16． D ；
17． D ； 18． A ； 19． B ；
三、解答题（共75分）：
20．（本题满分6分）
（1）解方程 （2）解方程
解：
21. （本题满分8分）
解：（1）△=1＞0，∴方程有两个不相等的实数根。
（2）解方程得：。∴三角形三边为：
①当5为斜边时，，解之得：
②当为斜边时，，解之得：
综上：，
22．（本题满分8分）
解：（1）如图，作AD的垂直平分线交AB于点O，O为圆心，OA为半径作圆。
判断结果：BC是⊙O的切线。
(2) （2）半径为2
23. （本题满分8分）
证明：略
24．（本题满分8分）
解：（1）连OC，证明略
(2)作OG⊥AD,垂足为G，设圆的半径为r，
可在Rt△OAG中，由勾股定理列方程：，解之得：r=2.5
25．（本题满分8分）
证明：（1）连接BD，DC，证Rt△DEB≌Rt△DMC（HL）即可
（2）证Rt△DEA≌Rt△DMA（HL），得AE=AM，
AB-AC=AE+BE-AC=AM+BE-AC=AC+CM+BE-AC，
=BE+CM=2BE．
26．（本题满分8分）
解：（1）p=-50x+850；
（2）问题“若该经营部希望日均获利1350元，那么日均销售多少桶水？”或“若该经营部希望日均获利1350元，那么销售单价是多少？”
根据题意得一元二次方程
解得 （不合题意，舍去）
当x=9时，p=-50x+850=400（桶）
答：若该经营部希望日均获利1350元，那么日均销售400桶水。
27. （本题9分）
解：（1） 选②
（2）由角度推导出△ABC为等边三角形，等a=b=c
△ABC的☆方程”ax2+bx-c=0可以变为：ax2+ax-a=0，
∵a≠0,方程进一步化简为：x2+x-1=0解之得：
（3）将x=代入☆方程中可得：化简可得：ac+4b-16=0，
结合ac-4b＜0，可得出0＜ac＜8，
由ac+4b=16，可知ac需能被4整除，又0＜ac＜8；
∴ac=4，从而b=3，
又因为a，c为正整数，则a=1，c=4（不能构成三角形，舍去）或者a=c=2，
所以☆方程为2x2+3x-2=0， 解得：x1=，x2=-2．
A
C
B
O
P
x
y
28．（本题满分12分）
解：（1）四边形为正方形，理由略
（2）①连接PB过点P作PG⊥BC于G．
可求得：A（0，），B（1，0） C（3，0）．
（3）利用B（1，0），P（2， ）易得BP:y= x-
过M作ME∥x轴，交线段BP于点E
设M（m,）,则E(+1 , )
ME=m--1
由MBP的面积=菱形ABCP的面积得：（m--1）=
化简得，解得（舍）
所以M(,)
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