广东湛江2016届高三数学上学期第一次联考试卷(理科带答案)
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资料简介
‎ “四校”2015—2016学年度高三第一次联考 理科数学试题 ‎ 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,其中第Ⅱ卷第22~24题为选考题,其它题为必考题。全卷满分150分。考试时间120分钟。‎ 注意事项:‎ ‎⒈答题前,考生务必把自己的姓名、考生号等填写在答题卡相应的位置上。‎ ‎⒉做选择题时,必须用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。‎ ‎⒊非选择题必须使用黑色字迹钢笔或签字笔,将答案写在答题卡规定的位置上。‎ ‎⒋所有题目必须在答题卡上指定位置作答,不按以上要求作答的答案无效。‎ ‎⒌考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将答题卡交回。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ 开始 否 n=3n+1‎ n为偶数 k=k+1‎ 结束 n=5,k=0‎ 是 输出k ‎ n =1?‎ 否 是 ‎1、已知集合,,则( ). ‎ A. B. C. D. ‎ ‎2、在复平面内,复数的共轭复数的虚部为( ). ‎ A. B. C. D. ‎ ‎3、下列命题中的假命题是( ).‎ A. B.‎ C. D. ‎ ‎4、若程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是( ). ‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎5、已知,则下列不等式一定成立的是( ).‎ A. B. C. D. ‎ ‎6、下列函数既是奇函数,又在区间上单调递减的是( ).‎ A.  B.   ‎ - 13 -‎ C.    D.‎ ‎7、已知是实数,则函数的图像不可能是( ). ‎ ‎ ‎ A. B.           C. D.‎ ‎8、已知点,若动点满足,则的最小值为( ). ‎ ‎ A. (B. C.5 D.以上都不正确 ‎9、已知实数构成一个等比数列,则圆锥曲线的离心率为( ).‎ ‎ A. B. C. 或 D. 或 ‎ ‎10、某三棱锥的三视图如图所示,图中网格小正方形的边长为1,‎ ‎ 则该三棱锥的体积为( ).‎ ‎ A. 5 B. 4 C. 3 D. 2‎ ‎11、定义在R上的奇函数,当时,,则关于的函数的所有零点之和为 ‎ A. B. C. D.‎ - 13 -‎ ‎12.已知函数,,若对任意的,存在实数满足 ‎,使得,则的最大值为( )‎ A. B. C. D. ‎ 第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分.‎ ‎13、在等比数列中,,,则 . ‎ ‎14、设A=,则= ‎ ‎15、已知矩形的周长为,把它沿图中的虚线折成正六棱柱,当这个正六棱柱的体积最大时,它的外接球的表面积为 .‎ ‎16、设 为实数,若 则的最大值是_________. ‎ 三、解答题:解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.‎ ‎17. (本题满分12分)在中,角的对边分别是满足 ‎ ‎ ‎(1)求角的大小;‎ ‎(2)若等差数列的公差不为零,且,且成等比数列,‎ 求的前项和.‎ ‎ ‎ ‎18、(本题满分12分)某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动.为了了解本次竞赛学生成绩情况,从中抽取了部分学生的分数(得分取正整数,满分为100分)作为样本(样本容量为 - 13 -‎ ‎)进行统计.按照,,,,的分组作出频率分布直方图,并作出样本分数的茎叶图(图中仅列出了得分在,的数据).‎ ‎(Ⅰ)求样本容量和频率分布直方图中的值;‎ ‎(Ⅱ)在选取的样本中,从竞赛成绩是80分以上(含80分)的同学中随机抽取3名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动,设表示所抽取的3名同学中得分在的学生个数,求的分布列及其数学期望.‎ ‎19.(本小题满分12分)‎ O 在三棱柱中,侧面为矩形,,,是的中点,与交于点,且平面.‎ ‎(1)证明:;‎ ‎(2)若,求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎20、(本小题满分12分)在平面直角坐标系中,已知椭圆,设 是椭圆上任一点,从原点向圆作两条切线,切点分别为.‎ ‎(1)若直线互相垂直,且在第一象限,求圆的方程;‎ - 13 -‎ ‎(2)若直线的斜率都存在,并记为,求证:‎ ‎21.(本小题12分)设函数.‎ ‎(I)若处的切线为,的值;‎ ‎(II)求的单调区间;‎ ‎(Ⅲ)若,求证:在时,‎ 请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如果多做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。‎ ‎22、(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲.‎ 如图,⊙的半径为 6,线段与⊙相交于点、,,,与⊙相交于点.‎ ‎(1) 求长;‎ ‎(2)当 ⊥时,求证:.‎ ‎(23)(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程 在直角坐标系中,直线的参数方程为为参数),以该直角坐标系的原点为极点,轴的非负半轴为极轴的极坐标系下,圆的方程为.‎ ‎(Ⅰ)求直线的普通方程和圆的圆心的极坐标; ‎ ‎(Ⅱ)设直线和圆的交点为、,求弦的长.‎ - 13 -‎ ‎(24)(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 已知函数.‎ ‎(Ⅰ)当时,解不等式;‎ ‎(Ⅱ)若时,,求的取值范围.‎ - 13 -‎ ‎“四校”2015—2016学年度高三第一次联考 理科数学评分标准 一、选择题:(本大题共12个小题,每小题5分,共60分)‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C D B B B B ‎ C C C C B A 二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分)‎ ‎13. 14. 15. 16.‎ 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。‎ ‎17、【解】(1)∵, ∴. …………1分 ‎∴. …………2分 又 …………3分 ‎∴. …………4分 ‎(2)设的公差为, 由已知得, …………5分 且.∴ . …………6分 又, ∴. ∴. …………7分 ‎ ∴. …………9分 ‎∴ …………10分 ‎ …………12分 ‎18、【解】(Ⅰ)由题意可知,样本容量,,‎ ‎. …………3分 ‎(Ⅱ)由题意可知,分数在 有5人,‎ 分数在 有2人,共7人. …………4分 - 13 -‎ 抽取的3名同学中得分在的学生个数的可能取值为,…………5分 则, …………6分 ‎, …………7分 ‎. …………8分 所以,的分布列为 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎…………10分 ‎ ‎ 所以,. …………12分 ‎19、【解】(1)由题意,,…………1分 又,,‎ ‎,,‎ ‎,. …………3分 又, , …………4分 ‎, ‎ ‎, …………5分 又,. …………6分 ‎(2)如图,分别以所在直线为轴,以为坐标原点,建立如图所示的 空间直角坐标系, …………7分 则,, …………8分 - 13 -‎ ‎,‎ 设平面的法向量为,‎ 则,即,‎ 令,则,,所以. …………10分 设直线与平面所成角为,则 ‎ ‎ ‎, …………11分 所以直线与平面所成角的正弦值为. ……………………12分 ‎20、【解】(1)由题圆的半径为因为直线互相垂直,且与圆相切,‎ 所以,即① …………1分 又在椭圆上,所以② …………2分 由①②及在第一象限,解得 …………3分 所以圆的方程为: …………4分 ‎ ‎(2)证明:因为直线均与圆相切,‎ 所以 …………5分 - 13 -‎ 化简得 …………6分 同理有 所以是方程的两个不相等的实数根,‎ 所以 …………8分 又因为在椭圆上,所以即…………10分 所以 …………11分 即 …………12分 ‎21、【解】(I)∵‎ ‎∴ …………1分 又的切线的斜率为 ‎∴ ∴ …………2分 ‎∴切点为把切点代入切线方程得: …………3分 ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知:‎ ‎①当时,在上恒成立 在上是单调减函数 …………4分 ‎②当时,令 解得: …………5分 当变化时,随变化情况如下表:‎ - 13 -‎ ‎0‎ 由表可知:在上是单调减函数,在上是单调增函数 …………6分 综上所述:当时,的单调减区间为;‎ 当时,的单调减区间为,单调增区间为 …………7分 ‎(Ⅲ)当时,要证,即证 …………8分 令,只需证 ‎ ‎ …………9分 由指数函数及幂函数的性质知:在上是增函数 又 ∴‎ 在内存在唯一的零点,也即在上有唯一零点 设的零点为,则即 …………10分 由的单调性知:‎ ‎…………11分 当时,,为减函数 当时,,为增函数,‎ 所以当时,‎ 又,等号不成立∴ …………12分 ‎22、【解】(1) , …………1分 ‎ .[中国教∵,∴ . …………3分 - 13 -‎ ‎ ∴,∵ ,‎ ‎∴,∴. ……………5分 ‎(2)证明:∵ ,.∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ……………………10分 ‎23、【解】(Ⅰ)由的参数方程消去参数得普通方程为 ………2分 圆的直角坐标方程, …………3分 所以圆心的直角坐标为, …………4分 因此圆心的一个极坐标为. …………5分 ‎ ‎(答案不唯一,只要符合要求就给分)‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知圆心到直线的距离 ‎, ………8分 所以. ………………10分 ‎24.【解】‎ ‎(Ⅰ)当时,不等式为 …………1分 当,不等式转化为,不等式解集为空集; …………2分 当,不等式转化为,解之得;…………3分 当时,不等式转化为,恒成立; …………4分 综上不等式的解集为. …………5分 - 13 -‎ ‎(Ⅱ)若时,恒成立,即, …………7分 亦即恒成立, …………8分 又因为,所以, …………9分 所以的取值范围为. …………10分 - 13 -‎

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