浙江省绍兴市绍兴县鲁迅中学城南校区2014-2015学年高三数学上学期期中试卷 理（含解析）.doc

绍兴县2014-2015高三数学上学期期中试卷（理科附解析）　‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．（5分）（2014•诸暨市模拟）已知集合A={x|y=+}，B={y|y=log2x，x∈A}，则（∁RA）∩B等于（　　）‎ ‎　 A． （0，1） B． [0，1） C． （0，1] D． [0，1]‎ 考点： 交、并、补集的混合运算．‎ 专题： 集合．‎ 分析： 求函数的定义域得到A，根据补集的定义求得∁RA，求函数的值域得到B，从而求得可得（∁RA）∩B．‎ 解答： 解：∵集合A={x|y=+}={x|}={x|1≤x≤2}，‎ ‎∴∁RA={x|x＜1，或x＞2}，‎ 又 B={y|y=log2x，x∈A}={y|0≤y≤1}，‎ ‎∴（∁RA）∩B=[0，1），‎ 故选：B．‎ 点评： 本题主要考查求函数的定义域、求函数的值域，求集合的补集，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）（2014秋•绍兴县校级期中）设等差数列{an}的前n和为Sn，若已知a3+‎3a5﹣a6的值，则下列可求的是（　　）‎ ‎　 A． S5 B． S‎6 C． S7 D． S8‎ 考点： 等差数列的前n项和．‎ 专题： 等差数列与等比数列．‎ 分析： 已知式子化简可得a4为定值，由求和公式和性质可得S7=‎7a4，可得答案．‎ 解答： 解：设等差数列{an}的公差为d，‎ 则a3+‎3a5﹣a6=a3+3（a3+2d）﹣（a3+3d）=3（a3+d）=‎3a4，‎ ‎∴S7===‎7a4，‎ 故选：C 点评： 本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）（2014•浙江模拟）已知a∈R，则“a＞‎2”‎是“a2＞‎2a”的（　　）‎ ‎　 A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 ‎　 C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件 考点： 不等关系与不等式．‎ 专题： 常规题型．‎ - 17 -‎ 分析： 我们分别判断“a＞2”⇒“a2＞‎2a”与“a2＞‎2a”⇒“a＞2”的真假，然后根据充要条件的定义，即可得到答案．‎ 解答： 解：∵当“a＞2”成立时，a2﹣‎2a=a（a﹣2）＞0‎ ‎∴“a2＞‎2a”成立 即“a＞2”⇒“a2＞‎2a”为真命题；‎ 而当“a2＞‎2a”成立时，a2﹣‎2a=a（a﹣2）＞0即a＞2或a＜0‎ ‎∴a＞2不一定成立 即“a2＞‎2a”⇒“a＞2”为假命题；‎ 故“a＞2”是“a2＞‎2a”的充分非必要条件 故选A 点评： 本题考查的知识点是必要条件、充分条件与充要条件的判断，即若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）（2014秋•绍兴县校级期中）将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，则所得图象对应的函数解析式是（　　）‎ ‎　 A． y=cos4x B． y=cosx C． y=sin（x+） D． y=sinx 考点： 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 函数y=sin2x的图象向左平移个单位，推出y=cos2x，横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y=cosx的图象即可．‎ 解答： 解：将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，‎ 得到函数y=sin2（x+）=cos2x的图象，‎ 再将其周期扩大为原来的2倍，得到函数y=cosx的图象，‎ 故选B．‎ 点评： 本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，基础题．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）（2014秋•绍兴县校级期中）设为向量，若+与的夹角为60°，与的夹角为45°，则=（　　）‎ ‎　 A． B． C． D． ‎ 考点： 平面向量数量积的运算．‎ 专题： 平面向量及应用．‎ - 17 -‎ 分析： 作，，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，可得=．利用已知及其正弦定理可得：=．‎ 解答： 解：作，，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，‎ 则=．‎ ‎∵+与的夹角为60°，与的夹角为45°，‎ 由正弦定理可得：==．‎ 故选：B．‎ 点评： 本题考查了向量的平行四边形法则、正弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）已知定义域为R的函数f（x）在（8，+∞）上为减函数，且函数y=f（x+8）函数为偶函数，则（　　）‎ ‎　 A． f（6）＞f（7） B． f（6）＞f（9） C． f（7）＞f（9） D． f（7）＞f（10）‎ 考点： 函数奇偶性的性质；函数单调性的性质．‎ 专题： 压轴题．‎ 分析： 根据y=f（x+8）为偶函数，则f（x+8）=f（﹣x+8），即y=f（x）关于直线x=8对称．又f（x）在（8，+∞）上为减函数，故在（﹣∞，8）上为增函数，故可得答案．‎ 解答： 解：∵y=f（x+8）为偶函数，‎ ‎∴f（x+8）=f（﹣x+8），即y=f（x）关于直线x=8对称．‎ 又∵f（x）在（8，+∞）上为减函数，‎ ‎∴f（x）在（﹣∞，8）上为增函数．‎ 由f（8+2）=f（8﹣2），即f（10）=f（6），‎ 又由6＜7＜8，则有f（6）＜f（7），即f（7）＞f（10）．‎ 故选D．‎ 点评： 本题主要考查偶函数的性质．对偶函数要知道f（﹣x）=f（x）．‎ ‎　‎ - 17 -‎ ‎7．（5分）已知，则f[f（x）]≥1的解集是（　　）‎ ‎　 A． B． C． D． ‎ 考点： 其他不等式的解法．‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 先对x分段讨论，求出f[f（x）]的表达式，然后代入不等式f[f（x）]≥1求出x的范围，写出集合形式即为解集．‎ 解答： 解：当x≥0时，有f[f（x）]=‎ ‎∴f[f（x）]≥1即 解得x≥4‎ 当x＜0时，有f[f（x）]=‎ ‎∴f[f（x）]≥1即 解得 ‎∴不等式的解集为 故选D 点评： 解决分段函数的有关问题，应该分段来解决，然后将各段的结果并起来即为函数的对应结果．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）（2014•杭州一模）若α∈（，π），且3cos2α=sin（﹣α），则sin2α的值为（　　）‎ ‎　 A． B． C． D． ‎ 考点： 二倍角的余弦；二倍角的正弦．‎ 专题： 三角函数的求值．‎ 分析： 由条件可得3（cos2α﹣sin2α）=cosα﹣sinα，化简求得cosα+sinα=，再平方即可求得sin2α的值．‎ 解答： 解：∵α∈（，π），3cos2α=sin（﹣α），‎ ‎∴3（cos2α﹣sin2α）=cosα﹣sinα，‎ 即3（cosα+sinα）•（cosα﹣sinα）=（cosα﹣sinα），‎ - 17 -‎ ‎∴cosα+sinα=，或cosα﹣sinα=0（不合题意，舍去），‎ ‎∴1+sin2α=，∴sin2α=﹣，‎ 故选：D．‎ 点评： 本题主要考查两角和差的正弦公式、二倍角公式的应用，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）（2014秋•绍兴县校级期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若△ABC的三边a，b，c成等比数列，则cos2B+cosB+cos（A﹣C）的值为（　　）‎ ‎　 A． 0 B． ‎1 C． 2 D． 不能确定 考点： 两角和与差的余弦函数．‎ 专题： 计算题；等差数列与等比数列；三角函数的求值；解三角形．‎ 分析： 运用等比数列的性质和正弦定理可得，sin2B=sinAsinC，利用三角形的内角和，两角和与差的三角函数化简cos（A﹣C）+cosB+cos2B，然后利用二倍角公式化简即可．‎ 解答： 解：∵在△ABC中，若a，b，c成等比数列，∴b2=ac，‎ 利用正弦定理可得sin2B=sinAsinC．‎ ‎∴cos（A﹣C）+cosB+cos2B=cos（A﹣C）﹣cos（A+C）+cos2B ‎=2sinAsinC+cos2B=2sin2B+（1﹣2sin2B）=1．‎ 故选B．‎ 点评： 本题考查三角函数和正弦定理及等比数列的知识，解题时要注意公式的合理选用，考查计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）（2014秋•绍兴县校级期中）已知向量均为单位向量，它们的夹角为600，实数x，y满足|x+y|=，那么x+2y的最大值为（　　）‎ ‎　 A． 3 B． C． D． ‎ 考点： 平面向量数量积的运算．‎ 专题： 等差数列与等比数列．‎ 分析： 向量均为单位向量，它们的夹角为600，可得=1，=1×1×cos60°=．由|x+y|=，可得x2+y2+xy=3，设x+2y=t，则x=t﹣2y，可得3y2﹣3ty+t2﹣3=0，利用△≥0，解出即可．‎ 解答： 解：∵向量均为单位向量，它们的夹角为600，‎ ‎∴=1，=1×1×cos60°=．‎ ‎∵|x+y|=，‎ ‎∴=，‎ - 17 -‎ 化为x2+y2+xy=3，‎ 设x+2y=t，则x=t﹣2y，‎ ‎∴（t﹣2y）2+y2+（t﹣2y）y=3，‎ 化为3y2﹣3ty+t2﹣3=0，‎ ‎∵y∈R，‎ ‎∴△=9t2﹣12（t2﹣3）≥0，‎ 解得，‎ ‎∴t即x+2y的最大值为2．‎ 故选：C．‎ 点评： 本题考查了向量的数量积定义及其运算性质、一元二次方程有实数根与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分 ‎11．（4分）（2012•江苏模拟）已知，向量与垂直，则实数λ=　　．‎ 考点： 数量积判断两个平面向量的垂直关系．‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 首先由向量坐标运算表示出λ 与 的坐标，再由它们垂直列方程解之即可．‎ 解答： 解：由题意知 λ =λ（﹣3，2）+（﹣1，0）=（﹣3λ﹣1，2λ），‎ ‎=（﹣3，2）﹣2（﹣1，0）=（﹣1，2），‎ 又因为两向量垂直，‎ 所以（﹣3λ﹣1，2λ）（﹣1，2）=0，‎ 即3λ+1+4λ=0，‎ 解得λ=．‎ 故答案为解得 ．‎ 点评： 本题考查向量坐标运算及两向量垂直的条件，是一道基础题．‎ ‎　‎ ‎12．（4分）（2014秋•绍兴县校级期中）在各项均为正数的等比数列{an}中，若公比为，且满足a3•a11=16，则log‎2a16=　5　．‎ 考点： 等比数列的通项公式．‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 设出等比数列的首项，由a3•a11=16，得到首项与公比的关系，把首项用公比表示，然后代入要求的式子化简即可．‎ - 17 -‎ 解答： 解：设等比数列的首项为a1，由公比为，且满足a3•a11=16，得：，即，所以，‎ 所以==5．‎ 故答案为5．‎ 点评： 本题考查了等比数列的通项公式，考查了等比数列的概念，考查了学生的运算能力，此题是基础题．‎ ‎　‎ ‎13．（4分）（2014秋•绍兴县校级期中）已知lga=lg（‎2a+b）﹣lgb，则ab的最小值为　8　．‎ 考点： 基本不等式在最值问题中的应用；基本不等式．‎ 专题： 函数的性质及应用．‎ 分析： 先由对数的和等于乘积的对数化积，去掉对数符号后解得a与b的关系，然后求解log‎2a﹣log2b的值．‎ 解答： 解：由lga=lg（‎2a+b）﹣lgb，可得lga+lgb=lg（‎2a+b），得ab=‎2a+b，‎ 解得：ab≥8，当且仅当‎2a=b时取等号．‎ 则ab的最小值为：8．‎ 故答案为：8．‎ 点评： 本题考查了对数式的运算性质，考查了对数方程的解法，是基础的计算题．‎ ‎　‎ ‎14．（4分）（2014秋•绍兴县校级期中）若不等式≤k的解集是空集，则正整数k的取值集合为　{1}　．‎ 考点： 其他不等式的解法．‎ 专题： 不等式的解法及应用．‎ 分析： 根据不等式的解集是空集，转化为一元二次不等式，进行求解即可．‎ 解答： 解：不等式≤k的解集是空集，‎ 等价为3x2+2x+2≤k（x2+x+1），‎ 即（3﹣k）x2+（2﹣k）x+2﹣k≤0的解集是空集，‎ 若k=3，不等式等价为x≥1，此时不满足条件．‎ 若3﹣k＜0，即k＞3，不等式（3﹣k）x2+（2﹣k）x+2﹣k≤0的解集不是空集，不满足条件，‎ 若3﹣k＞0，即k＜3，若（3﹣k）x2+（2﹣k）x+2﹣k≤0的解集是空集，‎ 则等价为判别式△=（2﹣k）2﹣4（3﹣k）（2﹣k）=（2﹣k）（3k﹣10）＜0，‎ - 17 -‎ 解得k＞或k＜2，‎ ‎∵k＜3，‎ ‎∴k＜2，‎ ‎∵k是正整数，‎ ‎∴k=1，‎ 故答案为：{1}‎ 点评： 本题主要考查不等式的求解，根据不等式的解集，转化为不等式恒成立是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎15．（4分）（2014秋•绍兴县校级期中）若实数x，y满足，则z=|x|﹣2y的最大值为　　．‎ 考点： 简单线性规划．‎ 专题： 不等式的解法及应用．‎ 分析： 作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，利用数形结合即可得到结论．‎ 解答： 解：作出不等式组对应的平面区域如图：‎ 由z=|x|﹣2y，得y=|x|，‎ 作出直线y=|x|，‎ 平移直线y=|x|，由图象可知当直线y=|x|经过点C时，直线y=|x|的截距最小，‎ 此时z最大，‎ 由，解得，‎ 即C（，），‎ 此时zmax=||﹣2×==，‎ 故答案为：‎ - 17 -‎ 点评： 本题主要考查线性规划的应用，作出平面区域，利用数形结合是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎16．（4分）（2014•浙江二模）等差数列{an}中，a1=1，公差为d，a3＞0，当且仅当n=3时，|an|取到最小值，则d的取值范围是　　．‎ 考点： 等差数列的性质．‎ 专题： 等差数列与等比数列．‎ 分析： 根据已知条件：a3＞0，当且仅当n=3时，|an|取到最小值，利用等差数列的通项公式列出不等式组，求出d的范围．‎ 解答： 解：∵a3＞0，当且仅当n=3时，|an|取到最小值，‎ ‎∴a4＜0，且a4+a3＞0，‎ ‎∴解得，‎ 故答案为：．‎ 点评： 本题考查等差数列的性质及通项公式，解本题的关键是据已知条件，|an|取到最小值得到a4＜0，且a4+a3＞0，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎17．（4分）（2014秋•绍兴县校级期中）在△ABC中，已知•=9，sinB=cosA•sinC，S△ABC=6，P为线段AB上的点，且=x•+y•，则+的最小值为　3　．‎ 考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；平面向量的基本定理及其意义；平面向量数量积的运算．‎ 专题： 导数的综合应用；解三角形；平面向量及应用．‎ 分析： 由•=9，可得bccosA=9．又6=S△ABC=sinA，可得tanA=，bc=15．由sinB=cosA•sinC，利用正弦定理可得b=c，联立解得b，c．利用余弦定理可得a．‎ - 17 -‎ 由于=x•+y•，可得=+，利用向量共线定理可得x+y=1．可得+===f（x），利用导数研究函数的单调性即可得出．‎ 解答： 解：∵•=9，∴bccosA=9，‎ ‎∵6=S△ABC=sinA，‎ ‎∴tanA=，‎ ‎∴sinA=，cosA=．‎ ‎∴bc=15．‎ ‎∵sinB=cosA•sinC，‎ ‎∴b=c，‎ ‎，解得．‎ ‎∴a2=b2+c2﹣2bccosA=32+52﹣18=16．‎ ‎∴a=4．‎ ‎∵=x•+y•，‎ ‎∴=+，‎ ‎∴x+y=1．‎ ‎∴3y=12﹣4x＞0．解得0＜x＜3．‎ 则+===f（x），‎ f′（x）=﹣+=，‎ 当时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；当时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减．‎ ‎∴当x=时，f（x）取得最小值，=3．‎ 故答案为：3．‎ 点评： 本题考查了向量数量积运算性质、正弦定理、余弦定理、向量共线定理、利用导数研究函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．‎ ‎　‎ - 17 -‎ 三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或运算步骤．‎ ‎18．（14分）（2014秋•绍兴县校级期中）已知集合A={x|＜1}，B={x|log6（x+a）＜1}．‎ ‎（1）若A∪B=R，求实数a的取值范围；‎ ‎（2）若x∈A是x∈B的必要不充分的条件，求实数a的取值范围．‎ 考点： 集合的包含关系判断及应用；必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ 专题： 函数的性质及应用；集合．‎ 分析： （1）先求出集合A={x|x＜﹣2，或x＞3}，B={x|﹣a＜x＜6﹣a}，若A∪B=R，则有，解不等式组即可；‎ ‎（2）根据条件便知B⊊A，所以便有6﹣a≤﹣2，或﹣a≥3，所以解不等式即可得到a的取值范围．‎ 解答： 解：（1）A={x|x2﹣x﹣6＞0}={x|x＜﹣2，或x＞3}；‎ B={x|0＜x+a＜6}={x|﹣a＜x＜6﹣a}；‎ 若A∪B=R，则：；‎ 解得2＜a＜3；‎ ‎∴a的取值范围为（2，3）；‎ ‎（2）x∈A是x∈B的必要不充分条件；‎ ‎∴x∈B能得到x∈A，而x∈A得不到x∈B；‎ ‎∴B⊊A；‎ ‎∴6﹣a≤﹣2，或﹣a≥3；‎ ‎∴a≥8，或a≤﹣3；‎ ‎∴实数a的取值范围为（﹣∞，﹣3]∪[8，+∞）．‎ 点评： 考查指数函数的单调性，对数函数的定义域及单调性，以及并集、子集的概念．‎ ‎　‎ ‎19．（14分）（2014秋•绍兴县校级期中）已知函数f（x）=2sin2（x+）﹣cos2x﹣1，x∈[，]．‎ ‎（1）求f（x）的单调递增区间；‎ ‎（2）若存在x∈[，]，使得f（x）＜m成立，求实数m的取值范围．‎ 考点： 三角函数中的恒等变换应用；正弦定理．‎ 专题： 三角函数的求值；三角函数的图像与性质．‎ 分析： （1）首先对三角函数的关系式进行恒等变换，把函数关系式变形成正弦型函数，进一步利用正弦型函数的整体思想求出函数的单调区间．‎ ‎（2）首先根据函数的定义域求出函数的值域，进一步利用函数的恒成立问题求出参数的取值范围．‎ - 17 -‎ 解答： 解：（1）（x）=2sin2（x+）﹣cos2x﹣1‎ ‎=2（sin2x﹣cos2x）‎ ‎=‎ 所以：‎ 由x∈[，]．‎ 所以：，‎ 得，‎ 故递增区间为；‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴，‎ 使得f（x）＜m成立，‎ 只需满足m＞f（x）min即可，‎ 进一步求出f（x）的最小值为，‎ ‎∴m＞1‎ 点评： 本题考查的知识要点：三角函数的恒等变换，利用函数的整体思想求出函数的单调区间，恒成立问题的应用，属于基础题型．‎ ‎　‎ ‎20．（14分）（2014秋•绍兴县校级期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知角A，B，C成等差数列．‎ ‎（1）若b=，求a+c的取值范围；‎ ‎（2）若，，也成等差数列，求证：a=c．‎ 考点： 等差数列的性质；正弦定理．‎ 专题： 综合题；等差数列与等比数列；解三角形．‎ 分析： （1）由已知得B=60°，由正弦定理得，利用A的范围，即可求a+c的取值范围；‎ ‎（2）若，，成等差数列，，得，结合b2=a2+c2﹣2accos60°=a2+c2﹣ac，化简可得a=c．‎ - 17 -‎ 解答： （1）解：由已知得B=60°．‎ 由正弦定理，得，‎ ‎∵A∈（0°，120°），∴60°﹣A∈（﹣60°，60°），则，‎ 因此．‎ ‎（2）证明：由已知，得．‎ 又b2=a2+c2﹣2accos60°=a2+c2﹣ac，‎ 将代入此式得，‎ 化简此式得（a2+c2）2+ac（a2+c2）﹣‎6a2c2=0，‎ 即（a2+c2+‎3ac）（a2+c2﹣‎2ac）=0．‎ ‎∵a2+c2+‎3ac＞0，∴a2+c2﹣‎2ac=0，得a=c．‎ 点评： 本题考查正弦定理、余弦定理，考查等差数列的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎21．（15分）（2013•宁波模拟）数列{an}中，a3=1，a1+a2+…+an=an+1（n=1，2，3…）．‎ ‎（1）求a1，a2的值；‎ ‎（2）求数列{an}的前n项和Sn及数列{an}的通项公式；‎ ‎（3）设bn=log2Sn，存在数列{cn}使得cn•bn+3•bn+4=1+n（n+1）（n+2）Sn，试求数列{cn}的前n项和Tn．‎ 考点： 等差数列与等比数列的综合．‎ 专题： 计算题；等差数列与等比数列．‎ 分析： （1）由a1+a2+…+an=an+1，a3=1，分别令n=1可求a1，a2‎ ‎（2）由已知可得，sn=an+1=sn+1﹣sn，结合等比数列的通项公式可求sn，进而可求an ‎（3）由（2）可求bn=log2Sn=n﹣2，代入已知可求cn，然后利用分组求和及裂项求和、错位相减即可求解数列的和 解答： 解：（1）∵a1+a2+…+an=an+1，a3=1‎ 令n=1可得，a1=a2‎ 令n=2可得，a1+a2=a3=1‎ ‎∴；…．（2分）‎ ‎（2）∵a1+a2+…+an=an+1，即sn=an+1=sn+1﹣sn ‎∴sn+1=2sn ‎∵a1=s1=‎ ‎∴{sn}是以为首项，以2为公比的等比数列 - 17 -‎ ‎∴‎ 即；…．（3分）‎ ‎∴an+1=sn=2n﹣2‎ ‎∴…（3分）‎ ‎（3）∵bn=log2Sn=n﹣2‎ 又∵cn•bn+3•bn+4=1+n（n+1）（n+2）Sn，‎ ‎∴‎ ‎∴…（3分）‎ ‎∵‎ ‎=‎ ‎=‎ 设A=1•2﹣1+2•20+…+n•2n﹣2‎ ‎∴‎2A=1•20+2•2+…+（n﹣1）•2n﹣2+n•2n﹣1‎ 两式相减可得，﹣A=2﹣1+20+…+2n﹣2﹣n•2n﹣1=×2‎ ‎=×2=‎ ‎∴A=（n﹣1）•2n﹣1‎ ‎∴c1+c2+…+cn=+1•2﹣1+2•20+…+n•2n﹣2‎ ‎==‎ ‎∴…．（3分）‎ 点评： 本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项、等比数列的通项公式的应用及数列的分组求和、裂项求和、错位相减求和方法的应用．‎ ‎　‎ ‎22．（15分）（2014秋•绍兴县校级期中）已知函数f（x）=|x2﹣1|+x2+kx．‎ ‎（1）若函数f（x）在（﹣∞．﹣1]单调递减，求实数k的取值范围；‎ - 17 -‎ ‎（2）若关于x的方程f（x）=0在（0，2）上有两个不同的解x1，x2，求k的取值范围，并证明+＜4．‎ 考点： 绝对值不等式的解法．‎ 专题： 计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．‎ 分析： （1）运用绝对值的含义，化f（x）为分段函数，再由二次函数的单调性，解不等式即可得到k的范围；‎ ‎（2）运用参数分离，讨论0＜x＜1，1≤x＜2时，函数的单调性及值域，并求出相应方程的根，即可得到k的范围，以及两根的倒数之和小于4．‎ 解答： 解：（1），‎ 当x≥1或x≤﹣1时，f（x）=2（x+）2﹣1﹣，‎ 由函数f（x）在（﹣∞．﹣1]单调递减，‎ 则，‎ 可得k≤4．‎ ‎（2）方程f（x）=0，即为．‎ ‎∵x∈（0，1）时，单调递增，且；‎ x∈[1，2）时，单调递减，且．‎ ‎∴要使方程f（x）=0在（0，2）上有两个不同的解x1，x2，必须且只须．‎ 此时，．‎ 则．‎ 因为=在上单调递减，‎ 所以．‎ 即有+＜4．‎ 点评： 本题考查绝对值函数的单调性，考查函数与方程的转化思想的运用，考查一次函数和二次函数的单调性的运用，考查运算能力，属于中档题和易错题．‎ - 17 -‎ ‎　‎ 四、B卷 ‎23．（2014秋•绍兴县校级期中）某人制定了一项旅游计划，从7个旅游城市中选择5个进行游览．如果A，B为必选城市，并且在游览过程中必须先A后B的次序经过A，B两城市（A，B两城市可以不相邻），则有不同的游览路线　600　种．‎ 考点： 计数原理的应用．‎ 专题： 应用题；排列组合．‎ 分析： 首先确定5个入选的城市，需要再从剩下的5个城市中抽取3个，有C53=10种不同情况，再对5个入选的城市全排列，又由A、B顺序一定，要使用倍分法，结合根据分步计数原理，计算可得答案．‎ 解答： 解：已知AB必选，则从剩下的5个城市中，再抽取3个，有C53=10种不同情况，‎ 此时5个城市已确定，将其全排列，可得共A55=120种情况，‎ 又由A、B顺序一定，则根据分步计数原理，‎ 可得不同的游览线路有=600种．‎ 故答案为：600．‎ 点评： 本题考查排列、组合的综合运用，注意要根据题意，选用特殊的方法，如插空法、捆绑法、倍分法．‎ ‎　‎ ‎24．若二项式的展开式中各项系数的和是512，则展开式中的常数项为（　　）‎ ‎　 A． ﹣‎27C93 B． ‎27C93 C． ﹣‎9C94 D． ‎9C94‎ 考点： 二项式系数的性质．‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 在中，令x=1可得，其展开式各项系数的和，又由题意，可得2n=512，解可得n=9，进而可得其展开式的通项，在其中令x的指数为0，可得r的值为6，即可得其展开式中的常数项，即可得答案．‎ 解答： 解：在中，令x=1可得，其展开式各项系数的和是2n，‎ 又由题意，可得2n=512，解可得n=9，‎ 则二项式的展开式的通项为Tr+1=C9r（3x2）9﹣r（﹣）r=（﹣1）r•C9r•39﹣rx18﹣3r，‎ 令18﹣3r=0可得，r=6，‎ 则其展开式中的常数项为第7项，即T7=（﹣1）6•C96•33=‎27C93，‎ 故选B．‎ 点评： 本题考查二项式定理的应用，解题时需要区分展开式中各项系数的和与各二项式系数和．‎ ‎　‎ - 17 -‎ ‎25．（2014秋•绍兴县校级期中）将五名插班生安排到A，B，C三个班级，要求每个班级至少安排一人．‎ ‎（1）求A班恰好安排三人的概率；‎ ‎（2）求甲、乙不安排在同一个班级的概率．‎ 考点：‎ 古典概型及其概率计算公式．‎ 专题：‎ 排列组合．‎ 分析：‎ 五名学生分成（1，1，3），（1，2，2）两组，然后再分配到三个班级，共有150种，‎ ‎（1）A班恰好安排三人的种数为20种，根据概率公式计算即可；‎ ‎（2）先求出甲、乙安排在同一个班级的概率，根据互斥事件的概率公式计算即可．‎ 解答：‎ 解：五名学生分成（1，1，3），（1，2，2）两组，然后再分配到三个班级，共有（C53+）•A33=150种，‎ ‎（1）A班恰好安排三人，选3人分到A班，另外两人平均分配到B，C两个班，共有C‎53A22=20种，‎ 故A班恰好安排三人的概率P==；‎ ‎（2）甲、乙安排在同一个班级，当为（1，1，3）时，另外三人平均分配到A，B，C两个班，共有C‎31A33=18种，‎ 当为（1，2，2）时，先选1个班级，另外三人分配到两个班，共有C‎21C32A22=12种，‎ 根据分类计数原理，甲、乙安排在同一个班级的共有18+12=30种，‎ 故甲、乙不安排在同一个班级的概率p=1﹣=．‎ 点评：‎ 本题考查古典概率的计算公式以及排列组合的问题，考查学生的分析和计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ - 17 -‎